1、4.4. 比例线段（）比例线段（） 浙教版九年级浙教版九年级数学数学上册上册 第四章第四章 相似图形相似图形 数 学 缔 造 完 美 数 学 缔 造 完 美 取一张长与宽之比为取一张长与宽之比为 的长方形，将它对折，的长方形，将它对折， 请判断图中两个长方形长与宽这条线段是否成比例，请判断图中两个长方形长与宽这条线段是否成比例， 如果成比例，请写出比例式如果成比例，请写出比例式 1:2 a b b c 这个比例式这个比例式 有什么有什么特别特别 之处之处吗？吗？ 一、动手折一折一、动手折一折 , 1 2 b a 1 2 2 2 1 c b c b b a 解：这四条线段成比例解：这四条线段成比
2、例 一般地，如果三个数一般地，如果三个数a,b,c满足比例式满足比例式 ， 则则b就就 叫叫a,c的的比例中项比例中项 ):(cbba c b b a acb c b b a 2 用符号语言表示为：用符号语言表示为： 定义：定义： 例题例题分析分析 例例1. (1) 1是不是是不是 和的比例中项？如果是和的比例中项？如果是 比例中项，请写出相应的比例式比例中项，请写出相应的比例式. (2) 2和和8的比例中项是的比例中项是_ 3 2 2 1 1和和 温馨提示温馨提示: .,33,3. 2的比例中项的比例中项，求线段，求线段已知线段已知线段例例baba 线段比例中项与数的比例中项是两个不同的概念
3、线段比例中项与数的比例中项是两个不同的概念,前者是一个正前者是一个正 数数,而后者是一对互为相反数而后者是一对互为相反数. 1.求下列线段求下列线段a、b的比例中项的比例中项. （1）a3，b27； 2 15 , 2 15 2 ( ba） 课内练习课内练习: 4 FA= BF= BF FABF AB 3 . 2 42. 12.3 3.72 62. 062. 0 AB BF BF FA 1.42 2.3 二二、探索交流、探索交流 点F：线段AB的黄金分割点 如图，如果点把线段分成条线段和，使如图，如果点把线段分成条线段和，使 ，那么称线段被点，那么称线段被点黄金分割黄金分割，线段，线段 与的比叫
4、与的比叫黄金比黄金比，点叫线段的，点叫线段的黄金分割点黄金分割点 AB AP AP BP 黄金黄金 分割分割 利用一元二次方程的知识，可以求出黄金比的数值几，即利用一元二次方程的知识，可以求出黄金比的数值几，即 的值的值 AB AP 设设a, AP=x oaaxx axax ABAPABABBPAP AB AP AP BP 22 2 2 )( )( ax 2 51 1 ax 2 51 2 ax x 2 15 0 618. 0 2 15 AB AP x a-x 51 0.618 2 BFBC ABAB 历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比 率。率。
5、 她的上半身她的上半身( (以肚脐以肚脐 眼为分界点眼为分界点) )和下半身的比和下半身的比 值接近值接近0.6180.618. . 世界艺术珍品世界艺术珍品维纳斯维纳斯 女神女神, , 她是西元前一百多她是西元前一百多 年希年希腊腊雕塑雕塑鼎鼎盛盛时时期的代期的代 表作表作， 请你欣赏请你欣赏 感受匀称感受匀称 协调之美协调之美 欣赏之一欣赏之一: 芭蕾舞演员的身段是苗条芭蕾舞演员的身段是苗条 的，但下半身与身高的比的，但下半身与身高的比 值也只有值也只有0.580.58左右，演员左右，演员 在表演时掂起脚尖，身高在表演时掂起脚尖，身高 就可以增加就可以增加6 6- -8cm.8cm.这时比
6、这时比 值就接近值就接近0.6180.618了了, ,给人以给人以 更为优美的艺术形象更为优美的艺术形象. . 芭蕾舞芭蕾舞 欣赏之二欣赏之二: 468m468m 289.2m 上海东方明珠电视塔高上海东方明珠电视塔高 468m,上球体到塔底的上球体到塔底的 距离约为距离约为289.2m, 289.2 与与468的比值是一个神奇的比值是一个神奇 的数字的数字,这个塔的设计精这个塔的设计精 巧巧,外型匀称、漂亮、美外型匀称、漂亮、美 观、大方观、大方. 欣赏之三欣赏之三: 上海东方明珠塔上海东方明珠塔 例例3.已知点已知点C是线段是线段AB的黄金分割点，且的黄金分割点，且ACCB则下列等式则下列
7、等式 成立的是成立的是（ ） (A) AB2=ACCB (B) CB2=ACAB (C) AC2=CBAB (D) AC2=ABBC 例题分析例题分析 例例4.如图如图,点点P是线段是线段AB的黄金分割点的黄金分割点，且且APBP （1）请写出黄金分割的比例式，并指出比例中项）请写出黄金分割的比例式，并指出比例中项 个有效数字）个有效数字）的值（结果保留的值（结果保留）求）求（22 PB AP （3）若）若AB=2，求，求PB A B P D . 2 1 ABBD 1.经过经过点点B作作BDAB,使使 2.连接连接AD,在在AD上截取上截取DE=DB. 3.在在AB上截取上截取AC=AE. 你
8、能验证这个结论吗你能验证这个结论吗?相信你完成下列相信你完成下列 两个小题后就会有答案两个小题后就会有答案. AC BC AB AC , 三、动手画一画三、动手画一画 找黄金分割点找黄金分割点 已知线段已知线段AB=a,用直尺和圆规作出它的黄金分割点用直尺和圆规作出它的黄金分割点 作法作法: 2请计算请计算 1如果设如果设AB=1,那那BD,AD,AC,BC分别分别 等于多少等于多少? 点点C就是所求线段就是所求线段AB的黄金分割点的黄金分割点 A E BC D 黄金分割的深远意义黄金分割的深远意义 历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的 几何比率，广泛应用于
9、建筑和雕刻中，如几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如 古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上 海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽 与长之比也设计成与长之比也设计成0.618，在自然界中也有，在自然界中也有 很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后 的长度之比约为的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与许多美丽的形状都与 0.618这个比值有关。这个比值有关。 古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也是按古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也是按 黄金比黄金比0.618来建立，他们认为这样的长方形来
10、建立，他们认为这样的长方形 看来是较美观；其大理石柱廓，就是根据黄金看来是较美观；其大理石柱廓，就是根据黄金 分割律分割整个神庙的分割律分割整个神庙的. 帕 特 农 神 庙 帕 特 农 神 庙 五、应用新知五、应用新知 体验成功体验成功 你能用所学你能用所学 的知识解释的知识解释 帕特农神庙帕特农神庙 建筑中所蕴建筑中所蕴 含的数学道含的数学道 理吗理吗? 积累就是知识积累就是知识 请用请用所学知识所学知识回答上面的问题回答上面的问题 AEBC AB BC BC BE ，）解：（ 1 AB AE AE BE 的黄金分割点是点ABE A B C D E F 618. 02 AB BC BC BE
11、 ）（ 的宽与长的比是黄金比矩形ABCD 这时的矩形这时的矩形ABCD称称黄金矩形黄金矩形 1.1.作顶角为作顶角为3636的等腰的等腰ABC;ABC;量出量出 底底BCBC与腰与腰ABAB的长度的长度, ,计算计算: : ; ; 2.2.作作B B的平分线的平分线, ,交交ACAC于点于点D,D,量出量出CDCD的长度的长度, , 再计算再计算: : . (. (精确到精确到0.001)0.001) D D C C A A B B E E BC AB CD BC 尝试尝试 0.6180.618 0.6180.618 再作再作C C的平分线的平分线, ,交交BDBD于于E,E, CDECDE也
12、是也是黄金三角形黄金三角形 顶角为顶角为3636的等腰三角形称为的等腰三角形称为 黄金三角形黄金三角形 点点D D是线段是线段ACAC的黄金分割点的黄金分割点. . 六、拓展新知六、拓展新知 七、生活中的黄金分割七、生活中的黄金分割 1.小明家的房间高小明家的房间高3M,他打算在四周墙中他打算在四周墙中 涂上涂料美化居室涂上涂料美化居室,从地面算起从地面算起,涂到多高涂到多高 时才使人感到舒适时才使人感到舒适? 2在人体下半身与身高的比例上，越接近在人体下半身与身高的比例上，越接近 0.618，越给人美感，遗憾的是，即使是身体，越给人美感，遗憾的是，即使是身体 修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完
13、美。某修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美。某 女士身高女士身高1.68米，下半身米，下半身1.02米，她应该选米，她应该选 择多高的高跟鞋看起来更美呢？择多高的高跟鞋看起来更美呢？ 八、读一读八、读一读 神奇的神奇的0.618 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬3030度度 左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁 门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬北纬 3030度度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，有关的地方。奇石异
14、峰，名川秀水的黄山，庐山， 九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好 在在这黄金分割的纬度这黄金分割的纬度上。上。 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, , 普通树叶的宽与普通树叶的宽与 长之比也接近长之比也接近0.6180.618; ; 节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站而总是站 在舞台的在舞台的1 13 3处，站在处，站在舞台上侧近于舞台上侧近于0.6180.618的位置才是最的位置才是最 佳的位置佳的位置; ; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看
15、起来生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来 舒服顺眼，舒服顺眼，正规裁法得到的纸张正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于，不管其大小，如对于8 8 开、开、1616开、开、3232开等，都仍然是近似的开等，都仍然是近似的黄金矩形黄金矩形。 九、谈谈感受九、谈谈感受 清点收获清点收获 2.线段的比例中项与数的比例中项的区别；线段的比例中项与数的比例中项的区别； 1.比例中项的概念比例中项的概念. 3.什么是什么是黄金分割黄金分割. 4.如何去确定如何去确定黄金分割点黄金分割点或或黄金比黄金比. 5.用数学美去装点和用数学美去装点和美化生活美化生活. 十、布置作业十、布置作业 : 课本课本P102 1、3、4、5 课外作业课外作业:请同学们收集建筑、雕刻和自然界请同学们收集建筑、雕刻和自然界 的黄金分割的黄金分割 知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的 谢 谢 合 作 谢 谢 合 作 再 见 再 见
