1、第一讲 函数及其表示第二章第二章 函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数考点帮必备知识通关考点1 函数的概念及表示考点2 分段函数考法帮解题能力提升考法1 求函数的定义域考法2 求函数的解析式考法3 已知定义域（值域）求参数的值或取值范围考法4 分段函数的应用高分帮 “双一流”名校冲刺 通思想 方法指导提能力 数学探索数学探索 与函数有关的新定义问题思想方法 分类与整合思想在函数中的应用 考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养1.函数的概念及表示了解2020北京,T11 课程学习 考法1数学运算逻辑推理2015全国,T10课程学习 考法22.分段函数理解 201
2、8全国,T12课程学习 考法3,4数学运算逻辑推理 考情解读命题分析预测从近几年的考查情况来看,本讲是高考中的一个热点,常以基本初等函数为载体,考查函数的表示法、定义域、值域.其中分段函数的求值、求参问题是高考的热点,常以选择题或填空题的形式出现,分值5分,属于中低档题.考点1 函数的概念及表示考点2 分段函数考点帮必备知识通关 考点1 函数的概念及表示1.函数的概念 函数两个集合A,B集合A,B是两个非空的数集.对应关系按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应.名称称f:AB为从集合A到集合B的一个函数.记法y=f(x),xA.考点1
3、 函数的概念及表示2.构成函数的三要素在函数y=f(x),xA中,自变量 x的取值范围A叫作定义域,与x的值对应的y值叫作函数值,函数值的集合f(x)|xA叫作值域.定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素.注意 两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时,才是相同函数,若是值域和对应关系相同,两函数不一定相同.考点1 函数的概念及表示3.函数的表示法方法注意事项解析法 一般情况下,必须注明函数的定义域.列表法 选取的自变量要有代表性,能反映定义域的特征.图象法注意定义域对图象的影响:与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点.考点2 分段函数在函数的定义域内,对于自变量x取值的不同区间,有着不同
4、的对应关系,这样的函数称为分段函数.分段函数的定义域是各段定义区间的并集,值域是各段函数值区间的并集.注意 分段函数虽由几个部分构成,但它表示的是一个函数,各部分函数定义区间不可以相交.考法1 求函数的定义域考法2 求函数的解析式考法3 已知定义域（值域）求参数的值 或取值范围考法4 分段函数的应用考法帮解题能力提升 考法1 求函数的定义域 考法1 求函数的定义域 考法1 求函数的定义域 考法1 求函数的定义域 考法1 求函数的定义域 考法1 求函数的定义域方法技巧 求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出;(2)若
5、已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在a,b上的值域.易错警示(1)函数f(g(x)的定义域指的是x的取值范围,而不是g(x)的取值范围;(2)求函数的定义域时,先不要对函数解析式化简;(3)求出函数的定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式;(4)函数f(x)g(x)的定义域是函数f(x),g(x)的定义域的交集.考法2 求函数的解析式 考法2 求函数的解析式 考法2 求函数的解析式 考法2 求函数的解析式方法技巧 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法:若已知函数类型(如一次函数、二次函数等),则可用待定系数法求解,例如,二次函数可设为f(x)=ax2+bx+
6、c(a0),其中a,b,c是待定系数,根据对应项系数相同,列出方程组,解出a,b,c即可.(2)换元法:主要用于解决已知复合函数f(g(x)的解析式求解函数f(x)的解析式的问题,先令g(x)=t,解出x,即用含t 的代数式表示x,然后代入f(g(x)中即可求得f(t),从而求得f(x).要注意新元的取值范围.(3)配凑法:配凑法是将函数f(g(x)的解析式配凑成关于g(x)的形式,进而求出函数f(x)的解析式.考法2 求函数的解析式 考法3 已知定义域(值域)求参数的值或取值范围示例6 已知函数f(x)=-x2+4x+1,其中x-1,t ,函数的值域为-4,5,则实数t的取值范围是.解析 函
7、数f(x)=-x2+4x+1=-(x-2)2+5,对称轴方程为x=2,所以f(x)在-1,2上单调递增,f(-1)=-4,f(2)=5,由-x2+4x+1=-4,可得x=-1或x=5,因为x-1,t 时,f(x)的值域为-4,5,所以2t5,所以实数t的取值范围是2,5.考法3 已知定义域(值域)求参数的值或取值范围方法技巧 已知函数的定义域(值域)求参数的值或取值范围的解题步骤 (1)将问题转化为含参方程或不等式的解集问题;(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或取值范围.考法3 已知定义域(值域)求参数的值或取值范围 考法4 分段函数的应用 考法4 分段函数的应用 考法4 分段函数
8、的应用方法技巧 求分段函数的函数值的步骤(1)确定要求值的自变量属于哪一个区间;(2)代入相应的函数解析式求值,直到求出具体值为止.注意 自变量的值不确定时,必须分类讨论,分类标准可参照分段函数不同段的端点;求值时注意函数奇偶性、周期性的应用;当出现f(f(a)求值形式时,应由内到外逐层求值;当求最值时,应分别求出每段上的最值,然后比较大小得到最值.考法4 分段函数的应用 考法4 分段函数的应用图2-1-2 考法4 分段函数的应用方法技巧 求参数或自变量的值(范围)的解题思路(1)解决此类问题时,先在分段函数的各段上分别求解,然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集,最后取各段结
9、果的并集即可.(2)如果分段函数的图象易得,也可以画出函数图象后结合图象求解.注意 (1)弄清参数或自变量所在区间是解决分段函数有关问题的先决条件;(2)自变量的取值属于哪一段范围,就用哪一段的解析式来解决问题,即“分段归类”.解得值(范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围.高分帮“双一流”名校冲刺提能力 数学探索数学探索 与函数有关的新定义问题通思想 方法指导思想方法 分类与整合思想在函数中的应用数学探索 与函数有关的新定义问题数学探索 与函数有关的新定义问题给什么得什么(1)新定义n阶整点函数,即其图象恰好经过n个整点(其横、纵坐标均为整数的点),注意这里“恰好”指的是经过且
10、仅经过n个整点.(2)4个具体的函数.求什么想什么判定给出的4个具体函数中哪几个为一阶整点函数.差什么找什么分别判定有关函数是否为一阶整点函数,并结合选项排除得解.思维导引数学探索 与函数有关的新定义问题数学探索 与函数有关的新定义问题方法技巧 与函数有关的新定义问题的一般形式:由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则,或者给出一个抽象函数的性质等,然后按照这种“新定义”去解决相关的问题.解题的关键是:紧扣新定义的函数的含义,学会语言的翻译、新旧知识的转化,便可使问题顺利获解.如本示例,若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过一个整点,问题便可迎刃而解.思想方法 分类与整合思想在函数中的应用思想方法 分类与整合思想在函数中的应用方法技巧 分类与整合思想是在所给变量不能进行统一研究时,要分类研究,再整合得到结论的思想.分段函数体现了数学的分类与整合思想,求解分段函数问题时应注意以下三点.(1)明确分段函数的分段区间.(2)依据自变量的取值范围,选好分类讨论的切入点,并建立等量或不等量关系.(3)在通过上述方法求得结果后,应注意检验所求值(范围)是否落在相应的分段区间内.
