1、第二章 有理数及其运算 知识点知识点一：有理数概念：（整数）与（分数）统称有理数。有理数的二分类：知识点二：数轴概念：规定了大小、方向、单位长度的直线叫数轴。 任何一个有理数都可以在数轴上用一个点来表示。画数轴的步骤： （一）画一条直线、取原点0。 （二）取正方向，一般往右为正方向。 （三）选取适当长度为单位长度，标示出数。知识点三：相反数的概念：如果两个数只有符号不同，那么就称其中一个数是另一个数的相反数，或者说这两个数互为相反数。 相反数的性质：表示互为相反数两个点位于原点两侧，且与原点的距离相等。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是相反数。 知识点四：绝对值的概念：在数
2、轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。 （一）正数的绝对值是他本身。 如：3=3 （二）负数的绝对值是他的相反数。 如：7=7 （三）0的绝对值是0。如：0=0 （四）经典例题：一个数的绝对值是m，这个数有两个，+m和m。 如果正数可用a0表示，负数可用a0表示，所以上述三条可表述成： (1)如果a0，那么|a|a (2)如果a0，那么|a|a (3)如果a0，那么|a|0知识点五：两个负数比较，绝对值大的反而小。如：比较-1和 5的大小，步骤为： 解：因为| 1| = 1， |5 | = 5 ， 15， 所以 1 5 知识点六：有理数加法的四个法则 （一）同号两数相加，取相同
3、符号，并把绝对值相加。 （二）异号两数相加，取较大绝对值的数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。 （三）互为相反数两数的和为0。 （四）一个数与0相加等于他本身。 如：（一）5+5 （3.5）+（6.5） =+（5+5） =（3.5+6.5） =10 =10 （二）13+（4） （15）+7 =+（134） =（157） =9 =8 （三）5+（5）=0 （四）2+0=2 3+0=3知识点七：做有理数加法计算的步骤 ： （一）先求和的符号。（依据：加法法则） （二）再求出和的数值。 做多个有理数加法的技巧： （一）没有简便算法的可以先同号相加。 （二）有互为相反数的，可以互为相反数的两数相加
4、。 （三）同分母的数可以相加。 （四）能凑成整数或者整十，整百的数相加。知识点八：有理数减法法则 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 第一步：减号变加号。 4（8） 第二步：减数变相反数。 =4+8 有理数减法技巧：先把减法转换成加法，再按加法法则计算。知识点九：有理数混合运算注意点问题： （一）先统一转换成加法运算。 （二）负数最好都用小括号括起来，以免出现102的情况。 （三）运算结合律要加括号体现出结合。 （四）要根据情况选择把分数化成小数，还是把小数化成分数。知识点十：股票问题解题步骤： 解：收益=（卖出成交额手续费和交易税）（买入成交额+手续费） （1）买入时 买入
5、成交额= （用股数单价） 手续费= （用买入成交额手续费所占的百分数或千分数） （2）卖出时 卖出成交额= （股数卖出时的单价） 手续费和交易税= （卖出成交额手续费和交易税所占的百分数或千分数） （3）带入公式 收益=知识点十一：有理数乘法法则： （一）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （二）任何数与0相乘都得0。 有理数乘法计算步骤： （一）先求积的符号。 （依据：乘法法则） （二）再求积的数值。 多个不为0的有理数相乘，积的符号判断方法：负因数的个数为奇数个，积为 负；负因数的个数为偶数个，积为正。知识点十二：有理数乘法计算时要注意的问题： （一）带分数要先化成假分数再去运
6、算，约分。 （二）计算时不要丢掉负号，负数最好加上括号避免出现：85的现象。 （三）根据情况把小数化成分数，或把分数化成小数。 （四）约分过程不要在原题上写。知识点十三：倒数：两个有理数的积为1，那么称其中一个是另一个的倒数，或称这两个数 互为倒数。 （一）互为倒数的两数符号相同，即：正数的倒数是正数，负数的的倒数是负数。 （二）应用：若两个数互为倒数，那么他们的积为1。（若互为相反数，则和为0） （三）一个数的倒数等于它本身的数是：+1或者1。 （四）0没有倒数，因为0不能做除数。知识点十四：乘法运算律 （一）乘法交换律：ab=ba （二）乘法交换律：（ab）c=a（bc） （三）乘法分配律
7、：（a+b）c=ac+bc （四）乘法分配率逆运算：ac+bc=（a+b）c知识点十五：有理数的除法法则 （一）两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （二）0除以任何非0的数都得0；0不能作除数。 （三）除以一个数等于乘以这个数的倒数。 计算有理数除法的步骤：先把除法转换成乘法，再按乘法法则和步骤进行计算。知识点十六：有理数的乘方 （一）定义：求n个相同因数a的积的运算。 （二）形式：a2 其中a为底数，2为指数。 （三）乘方的运算法则： 正数的任何次幂都是正数。 负数的奇次幂为负数，偶次幂为正数。 0的正整数次幂任然为0。（因为不管几个0相乘，都得0） 任何数的1次幂任然是它
8、本身。知识点十七：有理数乘方运算的步骤： （一）先找出底数和指数分别是多少。 （二）将乘方运算展开。 （三）计算展开式，先确定符号，再求数值。知识点十八：几个特殊的乘方运算 （一）52=55=25 （-5）2=（5）（5）= 25 52=（55）= 25 （5）2= （5）（5）=25 （二）（）2 = = （三）一个数的平方是它本身的数是：1、0。 （四）一个数的立方是它本身的数是：1、-1、0。 （五）已知一个数的平方，求这个数，这个数有两个，且互为相反数。如，一个数的平方是4，那么这个数有两个：2和-2。 （六）已知一个数的立方，求这个数，这个数只有一个。如一个数的立方为8，那么这个数只
9、有2,；一个数的立方为-8，那么这个数只有-2。 知识点十九：课本第62页的第三题。 求2345n =1n =1 =知识点二十：有理数的混合运算运算法则 先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的；能简算的简算。（一步步依次计算，不要着急） 注意的几个地方： （一）每一步的运算都按照各自的运算法则和运算步骤进行计算。 （二）带分数需要化成假分数的要化成假分数。 （三）看情况选择是分数化成小数还是小数化成分数。 （四）能简算的简算，如果实在没有简单算法或者不会用简单算法，就按照运算顺序去计算。知识点二十一：科学计数法 （一）概念：一般的，一个大于10的数可以表示成a10n的形式，其中1a 10，n为正整数，这种计数方法就叫做科学计数法。如：8500000=8.5106。 （二）如何用科学计数法表示数？（找出a和n） 找出a的方法：从左边数在第一个数字后面放小数点。 找出n的方法：从右边数小数点向前移了几位，n就是几。 （三）如何根据科学计数法写出原数？ n是几，a的小数点就向右移动几位。 （四）如何通过科学计数法改写名数。 方法一：先改写成科学计数法的形式，再乘以或除以相应的进率。 方法二：先乘以或除以相应的进率，再改写成科学计数法的形式。
