1、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第二章第二章 2.3 抛物线抛物线 第第2课时课时 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 第二章第二章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 大家都比较熟悉抛物线，二次函数的图象就是抛物线，但 你知道抛物线与椭圆、双曲线有哪些相似的性质吗？ 1.抛物线的定义是什么？ 答案：平面内到一个定点F和一条直线l(Fl) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫 做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准 线 2抛物线的四种标准方程是什么？ 答案：y22px，y22px，x22py，x2 2py(p0) 一
2、抛物线的几何性质 1抛物线的范围(以标准方程y22px(p0) 为例，下同) (1)范围：x0，yR； (2)抛物线在y轴右侧； (3)开口与x轴正向相同； (4)当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物 线向右上方和右下方无限延伸 注意：抛物线标准方程中的p影响抛物线的 开口大小，p越大，开口越大； 当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线 向右上方和右下方无限延伸，但它与双曲线 的一支是有区别的，双曲线有渐近线，抛物 线无渐近线 2抛物线的对称性 (1)抛物线的对称轴的方程为：y0； (2)我们把抛物线的对称轴称为抛物线的轴 注意：把抛物线标准方程中的y换成y， 方程并未发生改变，所以抛
3、物线的图象关于x 轴成轴对称； 把抛物线标准方程中的x换成x，方程发 生了改变，所以抛物线的图象不关于y轴成轴 对称 3抛物线的顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点， 抛物线的顶点为O(0,0) 4抛物线的离心率 抛物线上的点到焦点和到准线距离的比，叫 抛物线的离心率，用e表示由抛物线定义可 知，e1. 注意：抛物线的离心率是确定的，为1.这 与椭圆、双曲线不同 注意三种圆锥曲线的离心率范围 椭圆的离心率：00) y22px (p0) x22py(p0) x22py (p0) 图形 顶点 (0,0) 标准 方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py(p0) x22py
4、(p0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 F(p 2，0) F(p 2，0) F(0，p 2) F(0，p 2) 准线 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 离心率 e1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 范围 x0 x0 y0 y0 抛物线 y1 4x 2 的准线方程是( ) Ay1 B. y2 C. x1 D. x2 答案 A 解析 y1 4x 2，x24y，准线方程为 y1. 二 直线与抛物线的位置关系 1位置关系的判定 联立直线和抛物线方程得ax2bxc0.当 a0时，0直线与抛物线相交，有两个不 同的交点；0直线与抛物线相切，只有 一个公共点；0)的对称轴上的一个定 点，
5、在抛物线上求一点 N 使得|MN|最小其解法如下：设 y2 2px(p0)上一点 N(x0， y0)， 则 y2 02px0， |MN| 2(x 0a) 2y2 0 x2 02ax0a 22px 0x0(ap) 2p22ap(x 00) 当ap时， x0ap使|MN|最小， 则N(ap， 2pap) 当 ap 时，x00 使|MN|最小，则 N(0,0) (3)除了上述几何法、二次函数法解决此类最值问题外，还 要注意均值不等式方法的应用及利用函数的单调性求最值 如图所示，P为圆M:(x3)2 y21上的动点，Q为抛物 线y2x上的动点，试求|PQ| 的最小值 解析 如图所示，连结PM， QM，
6、QM交圆M于R，设点 Q坐标为(x，y)， |PQ|PM|QR|RM|，|PQ|QR|， |PQ|min|QR|min|QM|min1. |QM| x32y2 x25x9 x5 2 211 4 11 2 ， 当 x5 2时，|PQ|min|QM|min1 11 2 1， 即|PQ|的最小值为 11 2 1. 课堂典例探究课堂典例探究 抛物线的顶点在原点，对称轴重合 于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线 焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛 物线的准线方程 解题提示 解答本题可先确定椭圆的短 轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准 方程即可 由抛物线的几何性质求标准方程 解析 椭圆
7、的方程可化为x 2 4 y 2 9 1， 其短轴在 x 轴上， 抛物线的对称轴为 x 轴， 设抛物线的方程为 y22px 或 y22px(p0) 抛物线的焦点到顶点的距离为 3， 即p 23，p6， 抛物线的标准方程为 y212x 或 y212x， 其准线方程分别为 x3 和 x3. 已知抛物线关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经 过点 M( 3，2 3)，求它的标准方程 解析 抛物线关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点， 并且经过点 M( 3，2 3)， 可设它的标准方程为 x22py(p0) 又点 M 在抛物线上， ( 3)22p(2 3)，解得 p 3 4 . 故所求方程是 x2
8、 3 2 y. 抛物线的几何性质的应用 正三角形的一个顶点位于坐标原 点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上， 求这个正三角形的边长 解题提示 因为正三角形与抛物线都是轴 对称图形，所以可以证明正三角形的另外两个 顶点关于x轴对称，进而求出边长 解析 如图，设正三角形 OAB 的顶点 A、B 在抛物线上， 且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则 y2 12px1，y 2 22px2， 又|OA|OB|，所以 x2 1y 2 1x 2 2y 2 2， 即 x2 1x 2 22px12px20， (x1x2)(x1x22p)0， x10，x20,2p0，x1x2， 由此可得|y
9、1|y2|，即线段 AB 关于 x 轴对称 由于 AB 垂直于 x 轴，且AOx30 ， y1 x1tan30 3 3 ，而 y2 12px1，y12 3p， 于是|AB|2y14 3p. 方法总结 本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴 这一性质，但往往会直观上承认而忽略了它的证明 若将本例改为直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两 个顶点在抛物线 y22px(p0)上，且一直角边的方程是 y2x， 斜边长是 5 3，求此抛物线方程 解析 如图，设直角三角形为 AOB，直角顶点为 O，AO 边的方程为 y2x， 则 OB 边的方程为 y1 2x. 由 y2x y22px 得 A 点坐标为(p
10、 2，p)， 由 y1 2x y22px 得 B 点坐标为(8p，4p)|AB|5 3， p4p2p 28p 25 3. p0，解得 p2 39 13 .所求抛物线方程为 y24 39 13 x. 抛物线中的最值问题 已知抛物线 y22x. (1)设点 A 的坐标为(2 3，0)，求抛物线上距离点 A 最近的点 P 的坐标及相应的|PA|. (2)在抛物线上求一点 P， 使 P 到直线 xy30 的距离最 短，并求出距离的最小值 解题提示 利用抛物线方程设出P点坐标， 然后结合抛物线方程利用二次函数求最值 解析 (1)设抛物线上任一点 P 的坐标为(x，y)， 则|PA|2(x2 3) 2y2
11、(x2 3) 22x(x1 3) 21 3. x0 且在此区间上函数单调递增，故当 x0 时， |PA|min2 3，故距离 A 最近的点的坐标为(0,0) (2)方法一：设点 P(x0，y0)是 y22x 上任一点， 则 P 到直线 xy30 的距离为 d|x 0y03| 2 |y 2 0 2 y03| 2 |y 01 25| 2 2 ， 当 y01 时，dmin 5 2 2 5 4 2，点 P 的坐标为(1 2，1) 方法二：设与直线 xy30 平行的抛物线的切线为 x yt0，与 y22x 联立，消去 x，得 y22y2t0，由 0 得 t1 2，此时 y1，x 1 2，点 P 的坐标为
12、( 1 2，1)，两平行线 间的距离就是点 P 到直线的最小距离，即 dmin5 4 2. 设P是抛物线y24x上的一个动点 (1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x 1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值 解析 (1)如图(1)，抛物线的焦点为F(1,0)， 准线方程为x1. 点P到直线x1的距离等于P到点F(1,0) 的距离， 将点P到A(1,1)的距离与到直线的距离之 和转化为在曲线上求一点P，使点P到点A( 1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小 显然 P 是 A，F 的连线与抛物线的交点，所求距离和的最 小值为|AF| 5. (2)如图(2)，过 B 作 BH 垂直于准线 l 于 H 点，交抛物线于 P1点 |P1H|P1F|， |PB|PF|P1B|P1H|BH|4. |PB|PF|的最小值为 4. 若抛物线 x22y 上距离点 A(0， a)的最近点恰好 是抛物线的顶点，则 a 的取值范围是( ) Aa0 B00，即a1时， ya1时d2取到最小值，不符合题意 综上可知a1. 抛物线的 几何性质 几何性质了解范围、顶点、对称性、 离心率 直线与抛物线了解 位置关系 焦点弦、焦半径 相交弦
