1、1.3.3 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 课件课件 （人教（人教B版必修版必修4） 13.3 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 课堂互动讲练课堂互动讲练 知能优化训练知能优化训练 1 .3.3 课前自主学案课前自主学案 学习目标学习目标 学习目标学习目标 1.掌握已知三角函数值求角的方法，会用已知的掌握已知三角函数值求角的方法，会用已知的 三角函数值求角，并会用符号三角函数值求角，并会用符号 arcsinx，arccosx， arctanx 表示角表示角 2 牢记一些比较常见的三角函数值， 在以后的学牢记一些比较常见的三角函数值， 在以后的学 习中会带来很大的方便习中会带来很大的方
2、便 课前自主学案课前自主学案 温故夯基温故夯基 1与任意角与任意角 终边相同的角终边相同的角 可表示为：可表示为： _. 2正弦函数正弦函数 ysinx 在在_ 上是增函数，上是增函数， 2k，kZ 2 2k， 2 2k(kZ) 在在_上是减函数，余弦函数上是减函数，余弦函数 ycosx 在在_上是减函数，在上是减函数，在 _上是增函数上是增函数 正切函数正切函数 ytanx 在在_上是增函数上是增函数 2k，(2k1)(kZ) 2 2k，3 2 2k(kZ) (2k1)，2(k1)(kZ) ( 2 k， 2 k)(kZ) 知新益能知新益能 1已知正弦值，求角已知正弦值，求角 对于正弦函数对于
3、正弦函数 ysinx，如果已知函数值，如果已知函数值 y(y1,1) ，那么在，那么在_上有唯一的上有唯一的 x 值和它对应，记值和它对应，记 作作 x_ (1y1， 2 x 2 ) 2已知余弦值，求角已知余弦值，求角 对于余弦函数对于余弦函数 ycosx，如果已知函数值，如果已知函数值 y(y1,1) ，那么在，那么在_上有唯一的上有唯一的 x 值和它对值和它对 2， ， 2 arcsiny 0， 应，记作应，记作 x_ (1y1,0x) 3已知正切值，求角已知正切值，求角 如果正切函数如果正切函数 ytanx(yR)且且 x( 2， ， 2 )， 那么对每一个正， 那么对每一个正 切值切值
4、 y， 在开区间， 在开区间_内有且只有一个角内有且只有一个角 x， 使， 使 tanx y，记作，记作 x_ (yR， 20，x0， 当当 x0， 2 2 ， 2 时，时，xarcsin 3 3 . 当当 x 2 ，时，时，0x 2 ，即，即 x 0， 2 2 ， 2， ， 且且 sin(x)sinx 3 3 ， xarcsin 3 3 ，即，即 xarcsin 3 3 . 当当 x0,2时，时，xarcsin 3 3 或或 xarcsin 3 3 . (3)由终边相同角的正弦值知，当由终边相同角的正弦值知，当 xR 且且 sinx 3 3 时，时， x2karcsin 3 3 (kZ)或或
5、 x2karcsin 3 3 (kZ) 已知余弦值，求角已知余弦值，求角 根据余弦函数图象的性质，为了使符合条件根据余弦函数图象的性质，为了使符合条件 cosxa(1a1)的角的角 x 有且只有一个，选有且只有一个，选 择闭区间择闭区间0，作为基本的范围作为基本的范围 在这个闭区在这个闭区 间上，符合条件间上，符合条件 cosxa(1a1)的角的角 x， 记作记作 arccosa， 即， 即 xarccosa， 其中， 其中 x0， ， 且且 acosx. 例例2 已知已知cosx0.287. (1)当当x0，时时，求求x； (2)当当xR时时，求求x的取值集合的取值集合 【思路点拨思路点拨】
6、 由题目可获取以下主要信息：由题目可获取以下主要信息： 已知角已知角x的余弦值；的余弦值； 分别给出了分别给出了x0，和和xR两个不同的范围两个不同的范围 解答本题可先求出定义解答本题可先求出定义arccosa的范围内的角的范围内的角x，然然 后再根据题目要求后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角利用诱导公式求出相应的角x 的集合的集合 【解】【解】 (1)cosx0.287， 且且 x0，xarccos(0.287) (2)当当 xR 时，先求出时，先求出 x0,2上的解上的解 cosx0.287，故，故 x 是第二或第三象限角，是第二或第三象限角， 由由(1)知知 x1arccos(0
7、.287)是第二象限角是第二象限角 cos(2arccos(0.287)cos(arccos(0.287) 0.287 且且 2arccos(0.287)(，3 2 )， x22arccos(0.287) 由余弦函数的周期性知，由余弦函数的周期性知， 当当 x2kx1或或 x2kx2，kZ时，时， cosx0.287. 即所求即所求 x 值的集合是：值的集合是：x|x2karccos( 0.287)，kZ 【点评】【点评】 cosxa(1a1)，当，当 x0， 时，则时，则 xarccosa，当，当 xR 时，可先求得时，可先求得0,2 内的所有解，再利用周期性可求得：内的所有解，再利用周期性
8、可求得：x|x 2karccosa，kZ 变式训练变式训练 2 求求 arccos1arccos(1 2) arccos 2 2 的值的值 解 ：解 ： 0arccos1， 0arccos( 1 2 )， 0arccos 2 2 ， 且， 且cos(arccos1) 1 ， cos(arccos(1 2) 1 2， ， cos(arccos 2 2 ) 2 2 ， arccos10，arcos(1 2) 2 3 ，arccos 2 2 4. 原式原式02 3 4 11 12 . 已知正切值，求角已知正切值，求角 已知正切值求角与已知正已知正切值求角与已知正(余余)弦值求角的思弦值求角的思 路相
9、同点是找角路相同点是找角、表示角表示角、确定角确定角 例例3 已知已知tanx1，求求 x x，并写出在区间并写出在区间 2，0内满足条件的内满足条件的 x. . 【思路点拨思路点拨】 应用最简单的三角函数解集直应用最简单的三角函数解集直 接写出在接写出在R上的解集上的解集，再用赋值法写出再用赋值法写出2， 0内的解内的解 【解】【解】 因为因为 tan x1，所以满足条件的，所以满足条件的 x 的解的解 集为集为 x|xkarctan(1)， kZx|xk 4， ， kZ 在在 xk 4 中，令中，令 k0 或或1， 得得 x 4 或或 x5 4， ， 即在即在2， 0内且正切值为内且正切值
10、为1 的角的角 x 有有 4 与与5 4. 【点评】【点评】 已知正切值求角与已知正已知正切值求角与已知正(余余)弦值求角弦值求角 的不同点是：的不同点是：(1)已知正已知正(余余)弦值求角中的找角范围弦值求角中的找角范围 一般是在一般是在0,2(，)，而已知正切值求角中的，而已知正切值求角中的 找角范围一般是在找角范围一般是在( 2 ， 2 )；(2)在表示角中，已知在表示角中，已知 正正(余余)弦值求角中加弦值求角中加“2k， kZ”， 而在已知正切， 而在已知正切 值求角中加值求角中加“k，kZ” 方法感悟方法感悟 1三角函数值与角都在某一范围内变化时，三角三角函数值与角都在某一范围内变
11、化时，三角 函数值与角之间的对应关系函数值与角之间的对应关系 sinxa (|a|1) x 2 ， 2 x0,2 x arcsina 0a1 1a0 x1arcsina x2 arcsina x1 arcsina x22 arcsina cosx a(|a|1) x0， x0,2 cosx a(|a|1) xarccosa x1arccosa x22arccosa tanxa(a R) x( 2， ， 2) x0,2 xarctana a0 a0 x1 arctana x2 arctana x1 arctana x22 arctana 2.已知三角函数值求角时应注意的问题已知三角函数值求角时应
12、注意的问题 在一定范围内已知三角函数值对应的角不一定只在一定范围内已知三角函数值对应的角不一定只 有一个，可分为以下几步求解有一个，可分为以下几步求解 第一步：确定角可能在第几象限；第一步：确定角可能在第几象限； 第二步：如果函数值为正数，则先求出对应的锐第二步：如果函数值为正数，则先求出对应的锐 角角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值 对应的锐角对应的锐角x1； 第三步：如果函数值为负数，则根据角第三步：如果函数值为负数，则根据角x可能是第可能是第 几象限角得出几象限角得出(0,2)内对应的角；内对应的角； 第四步：如果要求出第四步：如果要求出(0,2)以外对应的角，则可利以外对应的角，则可利 用终边相同的角有相同的三角函数这一规律写出用终边相同的角有相同的三角函数这一规律写出 结果结果
