1、HS八(上)教学课件第第1111章章 数的开方数的开方11.1 平方根与立方根平方根与立方根第1课时 平方根1.理解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根.（重点）2.会求某些数的平方根、算术平方根.（难点）3.会用计算器求一个非负数的算术平方根.学习目标【问题1】学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 cm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？13456【问题2】若正方形的面积如下，请填表：你能指出“面积边长”这些数据变化的共同点吗？如果一个数的平方等于a，即x2=a，那么这个数叫做a 的平方根.5的平方等于25，所以5叫做
2、25的平方根.25的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于25？【概念】【概念】1 平方根【举例】【举例】因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和-3是9的平方根.也可以说:9的平方根是3和-3.根据平方根的意义，可以利用平方运算来求一个数的平方根.【探究】【探究】【求法】【求法】1.144的平方根是什么？2.0的平方根是什么？3.的平方根是什么？2544.-4有没有平方根？为什么？12025没有，因为一个数的平方不可能是负数【试一试】【试一试】【想一想】【想一想】通过这些题目的解答，你能发现什么?【问题】（1）正数有几个平方根？（2）0有几个平方根？（3）负数呢？有没有一个数的平方是负
3、数？因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根方根，也没有算术平方根.平方根的性质：平方根的性质：1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.2.0的平方根还是0.3.负数没有平方根.特殊：0的算术平方根是0.记作 .【记法】【记法】a（a0）的算术平方根记为 ，读作“根号a”，另一个平方根是它的相反数，即 ，因此正数a的平方根可以记作 ，其中a叫做被开方数.aaa0=0【概念】【概念】一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根，也就是a的正的平方根.算术平方根2根号根号被开方数被开方数a
4、（a是非负数，a 0）+1-1+2-2+3-3149x x2149+1-1+2-2+3-3这是什么运算？平方运算x2 x【问题1】算一算，下面两种运算有什么关系？开平方运算3 【概念】【概念】求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方有什么关系？平方与开平方互为逆运算【思考】【思考】49=7 解：（1）因为72=49，所以 ，因此49的平方根为 .49=7【例1】将下列各数开平方：（1）49；（2）；（3）0.01.（3）因为0.12=0.01，所以 ，因此0.01的平方根为 .0.01=0.1254（2）因为 =，所以 ，因此 的平方根为 .4250.01=0.14225 5425
5、【问题2】将2016开平方运算的结果是多少？如何计算呢？计算器计算算术平方根的方法：在计算器上依次键入：.对于较大的数，或无法直接找到平方等于某个数时，可以借助计算器来求一个数的算术平方根（有时会是近似值）.被开方数=【例2】用计算器求下列各数的算术平方根：（1）529；（2）44.81（精确到0.01）分析 用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可.解：(1）在计算器上依次键入：，显示结果为23,所以529的算术平方根为：529=529=23.44.81=44.81 用计算器求算术平方根4（2）在计算器上依次键入：显示结果为 6.6940271884718，要求精确到0.0
6、1，可得 6.69.1.填一填.（1）9的平方根是 ;（2）的算术平方根是 ;9（3）0.01的算术平方根是 ;（4）10-6 的平方根是 ;（5）(-4)2的算术平方根是 ;（6）10的平方根是 .10330.131042.你知道下列各式中字母x的取值范围吗？1x53x3x21x 1x 3x 3x 11xx 或3.求下列各数的平方根：(1)36;(2)0.09;(3);(4).92549解:(1)因为 ，所以36的平方根为 .(2)因为 ，所以0.09的平方根为 .(3)因为 ，所以 的平方根为 .(4)因为 ,7的平方根为 所以 的平方根为 .2636620.30.090.32395259
7、253549 74977平方根平方根的概念和性质用计算器求一个数的算术平方根算术平方根的概念和性质HS八(上)教学课件第第1111章章 数的开方数的开方11.1 平方根与立方根平方根与立方根第2课时 立方根1.了解立方根和开立方的概念.（重点）2.会用根号表示一个数的立方根，掌握开立方运算.（难点）3.会用计算器求一个数的立方根.学习目标 【问题】【问题】要做一个体积为要做一个体积为216cm3的正方体模型（如图），它的棱长的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？要取多少？你是怎么知道的？解：解：设正方体的棱长为设正方体的棱长为x,则则这就是要求一个数这就是要求一个数,使它的立
8、方等于使它的立方等于216.因为因为 63=216，所以，所以 x=6.正方体的棱长为正方体的棱长为6.3216x 如果问题中正方体的体积为如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该，正方体的边长又该是多少？是多少？【思考】【思考】如何表示一个数的立方根?一个数a的立方根可以表示为:a3根指数被开方数其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.读作:三次根号 a，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根记作.【定义】【定义】认识立方根1【想一想】【想一想】如果正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？设正方体的边长为x,则 所以正方体的边长是.求一个数
9、的立方根的运算,叫做开立方.立方开立方互逆到现在我们学了几种运算?+，-，乘方，开方（开平方，开立方）根据立方根的意义填空.因为23=8，所以8的立方根是()因为()3=0.125,所以0.125的立方是()因为()38，所以8的立方根是()因为()3 ，所以 的立方()8278272-2因为()3 0，所以0的立方根是()00-2【思考】【思考】通过这些题目的解答，你能看出正数、通过这些题目的解答，你能看出正数、0、负数的、负数的立方根各有什么特点立方根各有什么特点?12213232立方根的性质2正数有立方根吗？如果有，有几个?负数呢？零呢？一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根
10、；零的立方根是零.立方根的特征：立方根的特征：有两个互为相反数有一个,是正数无平方根零有一个,是负数零零正数负数零【讨论】【讨论】你能归纳出平方根和立方根的异同点吗?立方根是它本身的数有那些?有1,-1,0平方根是它本身的数呢?只有0【想一想】【想一想】因为 =38,38=3838所以327327因为=,=32 732 7所以【猜一猜】【猜一猜】你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与-a的立方根的关系吗？=-2-2=-3-333aa【探究】【探究】33233)2(33)3(334330【规律】对于任何数a都有2-2-34 0【例1】计算：,33aa 33833(8)33273327330
11、 8-8 27-27 0.33aa）（分析：用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即可.【例2】用计算器求下列各数的立方根：（1）1331；（2）9.263（精确到0.01）解：(1）在计算器上依次键入：，显示结果为11,所以13313133111.SHIFT=（2）在计算器上依次键入：显示结果为 2.1001511606987，要求精确到0.01，可得 9.263=39.2632.10.SHIFT1.判断下列说法是否正确.（2）4的平方根是2.（3）-64既没有平方根，也没有立方根.（4）-25的平方根是5.（5）0的平方根和立方根都是0.（1）827的立方根是 .232.求下
12、列各数的立方根:解:（1）=4，所以64的立方根是4.（2）=-5，所以-125的立方根是-5.（3）=，所以 的立方根是 .【归纳】【归纳】求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝对值的立方根,然后再取它的相反数.（1）64；（2）-125；（3）.642734276434立方根概念用计算器求一个数的立方根性质表示方法开立方HS八(上)教学课件第第1111章章 数的开方数的开方11.2 实实 数数1.了解实数的意义，能对实数按要求分类（重点）2.了解实数范围内相关概念的意义（重点）3.了解实数与数轴上点的一一对应关系；能用数轴上的点表示无理数.（难点）学习目标（1）用计算器求 ;（2）利用平
13、方运算验算（1）中所得的结果.2=1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027452用计算机计算，你可能会大吃一惊：【观察与思考】【观察与思考】那么，是怎样的数呢？2我们知道，有理数包括整数和分数，而任何
14、一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数，例如：120.25,0.60.6666666664310.1428570.1428571428571428577请你随意写出三个分数，将它化成小数，验证这个结论.在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，不是一个有理数.2 不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数.类似地，、圆周率 等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数.235【定义】无限不循环的小数叫做无理数.无理数的概念1【例题】判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？36 ,722 ,32.1 ,2 ,6)23(232232223.1之间依次多一个两个解：有理数
15、有：无理数有：1.232232223.(两个3之间一次多一个2).1.23,22,736;6,2圆周率圆周率 及一些含有及一些含有 的数；的数；开方开不尽的数，如：有一定的规律，但不循环 的无限小数，如：无理数的特征无理数的特征:注意注意:带根号的带根号的数不一定是无数不一定是无理数理数;20.101001000110（每两个 之间依次增加一个）判定一个数是不是无理数:(1)是看它是不是无限小数；(2)看它是不是不循环小数；(3)所有的有理数都能写成分数形式，但无理数则不能.具体从以下几方面来判断:(1)开方开不尽的数是无理数；(2)是无理数；(3)无理数与有理数的和、差一定是无理数；(4)无
16、理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数.【定义】【定义】有理数和无理数统称为实数.无理数：无限不循环小数有理数：有限小数或无限循环小数实数分数整数开方开不尽的数有规律但不循环的数按概念分类：按概念分类：实数的概念及分类2负实数正实数实数正有理数负有理数按正负性分类：按正负性分类：0正无理数负无理数0 正实数负实数在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.例如：2与 互为相反数35与 互为倒数|,0|0|,3|3|2351a22a22a=？【探究】【探究】11将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形.你能
17、在数轴上找到表示 的点吗？2实数与数轴上点的关系301-12 2在数轴上找表示在数轴上找表示 的点的点:2 数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的一个点来表示.即：【例1】把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小.（用“”号连接）1.5.,2 ,31 ,2 ,2 分析：分析：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.解：2213021.512221.5.3 【例2】试比较 与的大小关系.解：解：用计算器求得 而 这样，容易判断323.146264373.14159265432.，32技巧小结：技巧小结：实数的大小比较和运算，通常可取它们的近
18、似值来进行.【例3】计算:.(结果精确到0.01)2 33 22解:用计算器求得2 33 20.7785390722 33 20.7785390722 33 221.5707963270.7785390720.7922572550.79.，于是所以 .375(4).34它本身0它的相反数3357(5)2m2m1.填空.2.已知 在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根.（1）求a、b的值；（2）比较a+b的算术平方根与 的大小.解：（1）因为489,所以 又 在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根，所以a=2,b=1.(2)由（1）知，a=2,b=1，所以a+b=3,
19、所以a+b的算术平方根是 .因为3b B.|a|b|C.-ab D.a+b0ba0BAC解析 数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，故A不正确；根据点A，B与原点的距离知|a|0，根据|a|b|，知-ab，C正确.故选C.实数与数轴上的点的关系35.若|a|=-a，则实数a在数轴上的对应点一定在（）A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧B【例5】估计 的值在（）A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间61B解析 469，因此 的值在3到4之间.故选B.469,263,3614,即61方法小结：方法小结：像这类估算无理数的大小的问题，可以将带有
20、根号的无理数的被开方数与已知的平方数作比较，一般的，一个非负数越大，它的算术平方根也越大；也可以利用平方法，将无理数平方后，与已知的平方数作比较.实数的运算与大小比较46.满足 的整数x是 .23x1,0,18.规定用符号x表示一个实数x的整数部分，例如：3.14=3，=0.按此规定 的值为 .23 10 147.比较大小:.21215 【例6】计算 .3136227432解析 对于被开方数是带分数的，通常需要先将带分数化成假分数，然后再开方.31933362276363.4422 3.2故填7289.计算 .331632700.125+14641.1.分类讨论思想分类讨论思想 【例【例7】a
21、的算术平方根是3，b是16的平方根，则a+b=解析 a的算术平方根是3，可知a=9；16的平方根有两个，为4，由此可以确定a，b的值，然后代入计算即可.当a=9，b=4时，a+b=13；当a=9，b=-4时，a+b=5.故答案为13或5.13或5方法小结：对于该类问题，在求解时，按一定的标准进行分类，并考虑到所有可能的情况，避免漏解或重复.本章数学思想和解题方法510.若a是16的平方根，b是-27的立方根，c的绝对值为2，求a-b+c的值.解：由题意可知a=4或-4，b=-3，c=2或-2.有以下四种情况：（1）当a=4，b=-3，c=2时，a-b+c=4-（-3）+2=9；（2）当a=-4
22、，b=-3，c=2时，a-b+c=-4-（-3）+2=1；（3）当a=4，b=-3，c=-2时，a-b+c=4-（-3）+（-2）=5；（4）当a=-4，b=-3，c=-2时，a-b+c=-4-（-3）+（-2）=-3.综上所述，a-b+c的值为9或1或5或-3.2.2.数形结合思想数形结合思想【例8】如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和 ，若点A关于B点的对称点为点C，则点C所对应的实数为 解析：设点C所对应的实数是x根据对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可设点C所对应的实数是x，则有x-=-1，解得x=2 -1故答案为2 -132 31333311.数轴上A，B两点对应的实数分别是 和2，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为 .242方法小结：方法小结：数的范围由有理数扩大到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应的关系，这样可以通过观察“形”的特点（借助数轴），解答一些关于实数的比较抽象的问题.对于该类问题，运用数形结合思想，先利用数轴表示出三个点的位置，再根据对称的性质解答.平方根实 数数的开方性质有理数整数无理数立方根性质分数
