1、22等差数列的前n项和一、等差数列an的前n项和公式一般地，我们称a1a2a3an为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sn_.对于等差数列an来说，设其首项为a1，末项为an，项数为n，由倒序相加法可知其前n项和Sn_.这个公式表明：等差数列前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半如果代入等差数列通项公式ana1(n1)d，Sn也可以用首项a1与公差d来表示，即Sn_.二、等差数列前n项和的常见性质(1)若在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在_，若在等差数列an中，a10，则Sn存在_.友情提示：若等差数列an中a10，d0，ak10，ak10，则SkSk1且均为最大值若Sn存在最小值，
2、则情况与此相似(2)等差数列中依次k项和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，且公差为_(d是原数列公差)(3)项数为偶数2n的等差数列an，有S2nn(a1a2n)n(anan1)(an与an1为中间的两项)；S偶S奇_；_.(4)项数为奇数2n1的等差数列an，有S2n1(2n1)an(an为中间项)；S奇S偶_；_.S奇、S偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和(5)等差数列an中，若anm，amn(mn)，则amn_.(6)等差数列an中，若Snm，Smn(mn)，则Smn_.(7)等差数列an中，若SnSm(mn)，则Smn_.(8)若an与bn均为等差数列
3、，且前n项和分别为Sn与Sn，则_.1.为何课本上在推导前n项和公式时，没有首尾相加而是采用倒序相加法？对于123100？可用以下方法计算：1011100299398这样的数共有50对，则501015050，运用的是等差数列的一个性质而对于123101？将首尾相加：10211012100399，这样的数除有50对外，还多了一个中间数51.2如何理解等差数列中奇数项和、偶数项和的问题？(1)当等差数列an有偶数项时，设为2n项，设S偶a2a4a6a2n，S奇a1a3a5a2n1，得：S偶S奇nd，得：S偶S奇S2n，(2)当等差数列an有奇数项时，设项数为2n1，设S奇a1a3a5a2n1，S偶
4、a2a4a6a2n，得：S奇S偶a1ndan1，得：S偶S奇S2n1(2n1)an1，此时，当a10，等差数列的各项均是0，则Sn的最大值和最小值都是0；当a10，Snf(n)a1n是一次函数，并且是增函数，由于函数的定义域是nN*，则Sn存在最小值S1，不存在最大值；当a10，a10时，等差数列an中所有项都是正数，则Sn存在最小值S1，不存在最大值；当d0，a10，a10，该等差数列是递增数列，那么必存在mN*，使得即等差数列中，前m项都是非正数，从第m1项开始，以后各项都是正数，则Sn不存在最大值，存在最小值，Sn的最小值是Sm.当d0时，由于d0，此时bn|an|an，bn的前n项和S
5、n100nn2.当n51时，an0，此时bn|an|an，由b51b52bn(a51a52an)(SnS50)S50Sn，得数列bn的前n项和为SnS50(S50Sn)2S50Sn22500(100nn2)5000100nn2.由得数列bn的前n项和为Sn变式训练2数列an的前n项和为Sn10nn2，求数列|an|的前n项和解析：a1S19.Sn10nn2，anSnSn12n11(n2)，当n1时，an也成立，故an2n11(nN)令an0，得2n11当1n5时，an0；当n6时，an0，S130，S130入手(2)由da2a3a12a13.因此，若在1n12中存在自然数n，使得an0，an1
6、0，S1313a70，a7a70，因为a60，a70，故在S1，S2，S12中S6的值最大例4在等差数列an中，a130，公差d2，求它的前n项和Sn的最大值，并求出相应的n值变式训练4在等差数列an中，a125，S17S9，求Sn的最大值解法3：由S17S9，得a10a11a170.而a10a17a11a16a12a15a13a14，故a13a140.d20，a130，a140，故n13时，Sn有最大值169.解法4：由d2得Sn的图像如图所示(抛物线上一些孤立点)，由S17S9知图像对称轴为n13，当n13时，Sn取得最大值为169.已知等差数列的奇数项和与偶数项和，解题思路可以转化为求基
7、本特征量a1与d.但充分利用奇数项和、偶数项和与数列和之间的关系，可使问题简化解法2：设S偶a2a4a10，S奇a1a3a9，则S偶140125155a6(因为a2a10a4a82a6)，所以a63.变式训练5(1)在项数为2n1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()A9B10C11 D12(2)有2n1项的等差数列，其奇数项与偶数项的和之比为 ()答案：(1)B(2)B分析：要根据条件寻找通项与前n项和的关系此类问题仍可转化为利用基本特征量进行解决，这是最基本的方法，是必须要掌握的但在此基础上，深刻理解等差数列的和与等差数列之间的关系，可以使自己的学习得到
8、提升例7等差数列的前n项和为Sn，若S41，S84，求a17a18a19a20.解法2：S4，S8S4，S12S8，S16S12，S20S16构成等差数列，令b1S4，b2S8S4，则b51429.变式训练7(一题多解)等差数列an的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为 ()A130 B170C210 D260解析：解法1：将Sm30，S2m100代入前n项和公式有答案：C变式训练8在数列an中，Snan2bnc(a0)，求证：an是等差数列的等价条件是c0.证明：(1)n1时，a1S1abc；(2)n2时，anSnSn1an2bnca(n1)2b(n1)c2an(ba
9、)，an1an2a，而a2a12a2(ba)(abc)3ababc2ac，所以c0时，an是等差数列例9甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前一分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？分析：本题实质上是数列求和问题，因此应将实际问题转化成数学问题变式训练9(数学与经济科技)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如下图所示：甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个请你根据提供的信息回答：(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第一年是扩大了还是缩小了？请说明理由；(3)哪一年的规模最大？请说明理由分析：由信息图数据可直接做出(1)、(2)，建立数学模型，可解决第(3)问解析：(1)由图可知，第2年养鸡场的个数是26个，那么全县出产鸡的总数是S2261.231.2(万只)(2)第一年总共出产鸡的只数：S130130(万只)，第六年总共出产鸡的只数：S621020(万只)由此得S1S6302010(万只)这说明规模缩小了
