1、 3.1.1方程的根方程的根 和和 函数的零点函数的零点 X Y A M B O 10m (1,40/3) (0,10) ? ? 思考：一元二次方程思考：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？的图象有什么关系？ 方程方程 x22x+1=0 x22x+3=0 y= x22x3 y= x22x+1 函数函数 函函 数数 的的 图图 象象 方程的实数根方程的实数根 x1=1,x2=3 x1=x2=1 无实数根无实数根 函数的图象函数的图象 与与x轴的交点轴的交点 (1,0)、(3,0) (1,0) 无交点无交点 x22x
2、3=0 x y 0 1 3 2 1 1 2 1 2 3 4 . . . . . . . . . . x y 0 1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . y x 0 1 2 1 1 2 y= x22x+3 方程方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根的根 函数函数y= ax2 +bx +c(a0)的图象的图象 判别式判别式 = b24ac 0 =0 0 函数的图象函数的图象 与与 x 轴的交点轴的交点 有两个相等的有两个相等的 实数根实数根x1 = x2 没有实数根没有实数根 x y x1 x2 0 x y 0 x1 x y 0 (x1,0) , (x2,0) (x1,0) 没有
3、交点没有交点 两个不相等两个不相等 的实数根的实数根x1 、x2 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数 y=f(x)的零点。的零点。 函数零点的定义：函数零点的定义： 注意：注意： 零点指的是一个实数；零点指的是一个实数； 零点是一个点吗? 方程方程 x22x+1=0 x22x+3=0 y= x22x3 y= x22x+1 函数函数 函函 数数 的的 图图 象象 方程的实数根方程的实数根 x1=1,x2=3 x1=x2=1 无实数根无实数根 函数的图象函数的图象 与与x轴的交点轴的交点 (1,0)、(3,0) (1,0) 无交点无交点 x22
4、x3=0 x y 0 1 3 2 1 1 2 1 2 3 4 . . . . . . . . . . x y 0 1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . y x 0 1 2 1 1 2 y= x22x+3 方程方程f(x)=0有实数根有实数根 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点 函数函数y=f(x)有零点有零点 等价关系等价关系 课堂练习：课堂练习： 1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）x23x50； （2）2x(x2)3； （3） x2 4x4； （4）5 x2 2x3 x2 5. (1)(1
5、)解：令解：令f(x)=f(x)=x23x5, 作出函数作出函数f(x)f(x)的图象，如下：的图象，如下： . . . . . x y 0 1 3 2 1 4 8 6 2 2 4 它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以 方程方程x23x50有两个有两个不不 相等的实数根。相等的实数根。 (1) x23x50 课堂练习课堂练习 1(2)解：解：2x(x2)3可化为可化为 2x24x30，令，令f(x)= 2x24x 3 , 作出函数作出函数f(x)f(x)的图象的图象,如下：如下： x y 0 1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . 它与它与x轴没有交点，所以方程轴没有
6、交点，所以方程 2x(x2)3无实数根无实数根。 (2) 2x(x2)3 课堂练习课堂练习 (3)解：解：x2 4x4可化为可化为x24x 40，令，令f(x)= x24x4，作出，作出 函数函数f(x)f(x)的图象，如下：的图象，如下： . . . . . 它与它与x轴只有一个交点，所以轴只有一个交点，所以 方程方程x2 4x4有两个相等的实有两个相等的实 数根数根。 x y 0 1 3 2 1 1 2 5 4 3 6 4 (3) x2 4x4 课堂练习课堂练习 (4)解：解：5x2 +2x3x2 +5可化为可化为 2x2 2x50，令令f(x)=2f(x)=2x2 2x5 , 作出函数作
7、出函数f(x)f(x)的图象，的图象， 如下：如下： x y 0 1 3 2 1 1 2 1 3 3 4 3 6 5 4 4 2 2 . . . . . 它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以 方程方程5x2 +2x3x2 +5有两个不有两个不 相等的实数根相等的实数根。 (4) 5 x2 2x3 x2 5 课堂练习课堂练习 (1)(1)y=y=x x2 2- -x+20x+20； (2)y=2(2)y=2x x- -1; 1; 拓展：拓展：求下列函数的零点。求下列函数的零点。 评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般 可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的 根，从而得出函数
8、的零点。 0 1 2 3 4 5 -1 -2 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 x y 探究探究 观察二次函数 2 ( )23f xxx的图 象，如右图，我们发现函数 2 ( )23f xxx在 区间2,1上有零点。计算( 2)f 和(1)f的乘 积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间 2,4上是否也具有这种特点呢？ 结 论 结 论 如果函数( )yf x在区间, a b上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有( )( )0f af b，那么，函数( )yf x在区间, a b内有零点， 即存在,ca b，使得( )0f c ，这个c也就是方程( )0f x 的根。 例例 a ba b
9、 a b a b 例例 求函数( )26f xInxx的零点个数。 练习练习： 1函数 2 ( )f xInx x 的零点所在的大致区间是（ ） A1,2 B2,3 C 1 1, e 和3,4 D, e 2若方程 2 210axx 在0,1内恰有一解，则a的取值范围（ ） A1a B1a C11a D01a 分析：令 2 ( )21f xaxx 在0,1内恰有一解，则(0)(1)0ff 。 即1220a 1a B B 课堂小结： 课后作业：课后作业： 1 1、求下列函数的零点：、求下列函数的零点：(1)y=(1)y=- -x x2 2+6x+7+6x+7； (2)y=x(2)y=x3 3- -4x4x。 2 2、若函数、若函数f(x)=xf(x)=x2 2- -axax- -b b的两个零点是的两个零点是2 2和和3 3，求，求 logloga a25 + b25 + b2 2。 、函数零点的定义； 2、函数的零点与方程的根的关系； 3、确定函数的零点的方法。 A O B M 再见
