1、 x y 0 观察下图，思考并讨论以下问题：观察下图，思考并讨论以下问题： (1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？ f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1) f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1) f(x)=x2 f(x)=|x| 实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 这时我们称函数这时我们称函数y=x2为为偶函数偶函数. 1偶函数偶函数 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的
2、定义域内的任意一个x， 都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数 例如，函数 都是偶函数， 它们的图象分别如下图(1)、(2)所示. 1 2 )(, 1)( 2 2 x xfxxf 观察函数观察函数f(x)=x和和f(x)=1/x的图象的图象(下图下图)，你能发，你能发 现现两个函数图象有什么共同特征吗？两个函数图象有什么共同特征吗？ f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=-x=-f(x),这时这时 我们称函数我们称函数y=x为为奇函数奇函
3、数. f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 2奇函数奇函数 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x， 都有都有f(x)= f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做奇奇函数函数 注意：注意： 1 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性， 函数的奇偶性是函数的函数的奇偶性是函数的整体性质整体性质； 2 2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的 一个必要条件是，对于定义域内的任意一个一个必要条件是，对于定义
4、域内的任意一个x，则，则 x也一定是定义域内的一个自变量（即也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关定义域关 于原点对称于原点对称） 3 3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若若f(x)f(x)为奇函数，则为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立有成立. . 若若f(x)f(x)为偶函数，则为偶函数，则f(- -x)=f(x)有成立有成立. . 4、如果一个函数、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我是奇函数或偶函数，那么我 们就说函数们就说函数f(x)具有具有奇偶性奇偶性. 例5、判断下列函数的奇偶性： 2 54 1 )()4( 1 )()3( )(
5、)2()()1( x xf x xxf xxfxxf (1)解：定义域为R f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x) f(x)偶函数 (2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x) 即f(-x)=-f(x) f(x)奇函数 (3)解：定义域为x|x0 f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) 即f(-x)=-f(x) f(x)奇函数 (4)解：定义域为x|x0 f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=f(x) f(x)偶函数 3.用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)、先求定义域，看是否关于原点对称；、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、
6、再判断、再判断f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立. 课堂练习 3 , 1,)() 6(1)() 5 ( 0)() 4(5)() 3 ( 1)() 2( 1 )() 1 ( 2 2 xxxfxxf xfxf xxf x xxf 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性： 3.奇偶函数图象的性质 1、奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原反过来，如果一个函数的图象关于原 点对称，那么就称这个函数为奇函数点对称，那么就称这个函数为奇函数. 2、偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关
7、于反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，轴对称， 那么就称这个函数为偶函数那么就称这个函数为偶函数. 说明说明：奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性、判断函数的奇偶性 例例3、已知函数、已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴右边的图轴右边的图 象如下图，画出在象如下图，画出在y轴左边的图象轴左边的图象. x y 0 解：画法略 相等相等 x y 0 相等相等 本课小结 1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, 如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数为奇函数 如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数为偶函数 2、两个性质： 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称
