1、 A B C D 复习与准备：平面内两条直线的位置关系复习与准备：平面内两条直线的位置关系 相交直线相交直线 平行直线平行直线 相交直线相交直线 （有一个公共点）（有一个公共点） 平行直线平行直线 （无公共点）（无公共点） 两路相交两路相交 立交桥立交桥 立交桥中立交桥中, 两条路线两条路线AB, CD a b o a b 既不平行，又不相交既不平行，又不相交 NEXT BACK A B C D 六角螺母六角螺母 NEXT BACK a与与b是是相交相交直线直线 a与与b是是平行平行直线直线 a与与b是是异面异面直线直线 a b M 答：答：不一定不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。：
2、它们可能异面，可能相交，也可能平行。 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ a b a b 合作探究一合作探究一 NEXT BACK 练习练习1：在教室里找出几对异面直线的例子在教室里找出几对异面直线的例子 。 NEXT BACK 两直线异面的判别二两直线异面的判别二 : 两条直线两条直线不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内. 1.异面直线的定义异面直线的定义: 不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。一个平面内的两条直线叫做异面直线。 两直线异面的判别一两直线异面的判别一 : 两条直线两条直线 既不相交、又不平行既不相交、又不
3、平行. 注注1 按平面基本性质分按平面基本性质分 同在一个平面内同在一个平面内 相交直线 平行直线 不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内: 异面直线 有一个公共点有一个公共点: 按公共点个数分按公共点个数分 相交直线 无无 公公 共共 点点 平行直线 异面直线 NEXT BACK 2.1.2 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系 2.异面直线的画法异面直线的画法 说明说明: 画异面直线时画异面直线时 , 为了为了体现体现 它们不共面的特点。它们不共面的特点。常借常借 助一个或两个平面来衬托助一个或两个平面来衬托. 如图： a a b a A b b (1
4、) (3) (2) NEXT BACK 合作探究二合作探究二 如图是一个正方体的展开图如图是一个正方体的展开图,如果将它如果将它还原为正方体还原为正方体, 那么那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有这四条线段所在直线是异面直线的有 对对? F H C B E D G A 答答:共有三对共有三对 NEXT BACK 3.异面直线所成的角异面直线所成的角 在平面内在平面内,两条直线相交成四两条直线相交成四 个角个角, 其中不大于其中不大于90度的角称为它度的角称为它 们的夹角们的夹角, 用以刻画两直线的错开用以刻画两直线的错开 程度程度, 如图如图. 在空间在空
5、间,如图所示如图所示, 正方体正方体 ABCDEFGH中中, 异面直线异面直线AB 与与HF的错开程度可以怎样来刻的错开程度可以怎样来刻 画呢画呢? A B G F H E D C O (2)问题提出问题提出 (1)复习回顾复习回顾 NEXT BACK (3)解决问题解决问题 异面直线所成角的定义异面直线所成角的定义: 如图如图,已知两条异面直线已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点经过空间任一点O作作 直线直线 aa , b b 则把则把 a 与与 b 所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做异面直线所成的角叫做异面直线所成的角 (或夹角或夹角). a b b a O 思想方法思想
6、方法 : 平移转化成相交直线所成的角平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题即化空间图形问题为平面图形问题 思考思考 : 这个角的大小与这个角的大小与O点的位置有关吗点的位置有关吗 ? 即即O点位点位 置不同时置不同时, 这一角的大小是否改变这一角的大小是否改变? NEXT BACK 异面直线所成的角的范围异面直线所成的角的范围( 0 , 90 o o 如果两条异面直线如果两条异面直线 a , b 所成的角为直所成的角为直 角，我们就称这两角，我们就称这两 条直线互相垂直条直线互相垂直 , 记为记为a b a (4)理论支持理论支持 a b c e d ：我们知道我们知道,在
7、同一平面内在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢在空间这一规律是否还成立呢? 观察观察 : 将一张纸如图进行折叠将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边则各折痕及边 a, b, c, d, e, 之间有何关系？之间有何关系？ ab c d e 公理：公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行 平行线的传递性平行线的传递性 NEXT BACK 推广推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行
8、 ：在平面内在平面内, 我们可以证明我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”空间中这一结”空间中这一结 论是否仍然成立呢？论是否仍然成立呢？ 定理（等角定理）：定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补 观察观察 :如图所示如图所示,长方体长方体ABCD-A1B1C1D1中中, ADC与与A1D1C1 , ADC与与A1B1C1两边分别对应平行两边分别对应平行,这两组角的大小这两组角的大
9、小 关系如何关系如何? 答答:从图中可看出从图中可看出, ADC=A1D1C1, ADC +A1B1C1=180 O D1 C1 B1 A1 C A B D NEXT BACK NEXT BACK 思考思考 : 这个角的大小与这个角的大小与O点的位置有关吗点的位置有关吗 ? 即即O点位置不同时点位置不同时, 这一角的大小这一角的大小 是否改变是否改变? aa , a a a a (公理公理4), 解答：解答： 如图如图 设设a 与与 b 相交所成的角为相交所成的角为1, a 与与 b 所成的角为所成的角为2 , 同理同理 bb, 1 = 2 (等角定理等角定理) b a O 1 a a b 2
10、 答答 : 这个角的大小与这个角的大小与O点的位置点的位置无关无关. 在求作异面直线所成的角时在求作异面直线所成的角时,O点点 常选在其中的一条直线上常选在其中的一条直线上 (如线段的如线段的端点端点,线段的线段的中点中点等等) 下图长方体中下图长方体中 平行平行 相交相交 异面异面 点击点击 旋转长方体旋转长方体 BD 和和FH是是 直线直线 EC 和和BH是是 直线直线 BH 和和DC是是 直线直线 B A C D E F H G (2).与棱与棱 A B 所在直线异面的棱共有所在直线异面的棱共有 条条? 4 分别是分别是 ：CG、HD、GF、HE 课后思考课后思考: : 这个长方体的棱中
11、共有多少对异面直线这个长方体的棱中共有多少对异面直线? (1)说出以下各对线段的位置关系说出以下各对线段的位置关系? NEXT BACK 4.例题选讲例题选讲 例例1 A B G F H E D C 例例2 如图，正方体如图，正方体ABCD-EFGH中中,O为侧面为侧面ADHE的中心，求的中心，求 (1)BE与与CG所成的角？所成的角？ (2)FO与与BD所成的角？所成的角？ 解解: (1)如图如图: BFCG，EBF(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线 BE与与CG所成的角，所成的角， 又又 BEF中中EBF =45 ， 所以所以BE与与CG所成的角是所成的角是45 o o NEXT B
12、ACK O 连接连接HA、AF， 依题意知依题意知O为为AH中点中点 , HFO=30 o (2)连接连接FH， 所以所以FO与与BD所成的夹角是所成的夹角是30 o 四边形四边形BFHD为平行四边形，为平行四边形，HFBD HFO(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线 FO与与BD所成的角所成的角 HD EA，EA FB HD FB = = = 则则AH=HF=FA AFH为等边为等边 NEXT BACK 求异面直线所成的角的步骤是求异面直线所成的角的步骤是: 一作一作(找找)：作（或找）平行线：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。面
13、直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出三求：在一恰当的三角形中求出 角角 如图如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGH中中, AB = , AD = , AE = 2 (1)求求BC 和和EG 所成的角是多少度所成的角是多少度? (2)求求AE 和和BG 所成的角是多少度所成的角是多少度? 3232 解答：解答： (1)GFBC EGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求. RtEFG中，求得中，求得EGF = 45 o (2) BFAE FBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求, RtBFG中，求得中，求得FBG = 60 o NEXT BACK 5.课堂练习课堂练习 A B G
14、 F H E D C 32 32 2 不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。一个平面内的两条直线叫做异面直线。 异面直线的定义异面直线的定义: 相交直线相交直线 平行直线平行直线 异面直线异面直线 空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系 6.课堂小结课堂小结 NEXT BACK 公理：公理： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行 空间中，如果两个角的两边分别对应平行，空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补 等角定理：等角定理： 异面直线的画法异面直线的画法 用平面来衬托用平面来衬托 异面直线所成的角异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角 作业： P56：4,6
