1、2.3.2平面与平面平面与平面 垂直的判定垂直的判定 两直线所成角的取值范围：两直线所成角的取值范围： A B 1 O 平面的平面的斜线斜线和平面和平面 所成的角的取值范围：所成的角的取值范围： 直线直线和平面所成角的取值范围：和平面所成角的取值范围： 复习回顾复习回顾 两异面直线所成角的取值范围：两异面直线所成角的取值范围：（ 0o, 90o A B 1 O 平面的平面的斜线斜线和平面和平面 所成的角的取值范围：所成的角的取值范围： (0o, 90o) 直线直线和平面所成角的取值范围：和平面所成角的取值范围： 0o, 90o 复习回顾复习回顾 1.1.在平面几何中在平面几何中“ “角角“ “
2、是怎样定义的？是怎样定义的？ 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或或: : 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。 2.2.在立体几何中在立体几何中,“ ,“异面直线所成的角异面直线所成的角“ “是怎样定义的？是怎样定义的？ 直线直线a、b是异面直线是异面直线,经过空间任意一点经过空间任意一点O,分别分别 引直线引直线a /a, b/ b,我们把相交直线我们把相交直线a 和和 b所成所成 的锐角的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。（或直角）叫做异面直线所成的角。 3.3.在立体几何中在立体几何中,“ ,“
3、直线和平面所成的角直线和平面所成的角“ “是怎样定义的？是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, , 叫叫 做这条直线和这个平面所成的角。做这条直线和这个平面所成的角。 问题问题: :异面直线所成的角、直线和平面所成异面直线所成的角、直线和平面所成 的角有什么共同的特征？的角有什么共同的特征？ 结论结论: :它们的共同特征都是将三维空间的角它们的共同特征都是将三维空间的角 转化为二维空间的角转化为二维空间的角, ,即平面角。即平面角。 二面角二面角 1半平面的定义半平面的定义 半半 平平 面面 半半 平平 面面 讲授新课讲授新课 1
4、半平面的定义半平面的定义 平面内的一条直线把平面分为两部平面内的一条直线把平面分为两部 分，其中的每一部分都叫做分，其中的每一部分都叫做半平面半平面 半半 平平 面面 半半 平平 面面 讲授新课讲授新课 2二面角的定义二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做成的图形叫做二面角二面角 l 2二面角的定义二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做成的图形叫做二面角二面角，这条直线叫做，这条直线叫做二二 面角的棱面角的棱 l 2二面角的定义二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组从一条直线出发的两个半平
5、面所组 成的图形叫做成的图形叫做二面角二面角，这条直线叫做，这条直线叫做二二 面角的棱面角的棱，每个半平，每个半平 面叫做面叫做二面角的面二面角的面 l 2二面角的定义二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做成的图形叫做二面角二面角，这条直线叫做，这条直线叫做二二 面角的棱面角的棱，每个半平，每个半平 面叫做面叫做二面角的面二面角的面 棱为棱为l，两个面分，两个面分 别为别为 、 的二面角记的二面角记 为为 -l- l 3画二面角画二面角 平卧式：平卧式： A B l 3画二面角画二面角 平卧式：平卧式： A B A B l l 3画二面角画二面
6、角 平卧式：平卧式： 直立式：直立式： A B A B l l A B l 3画二面角画二面角 怎样度量二面角的大小？能否转化怎样度量二面角的大小？能否转化 为两相交直线所成的角？为两相交直线所成的角？ 4二面角的大小二面角的大小 l 在二面角在二面角 -l- 的的 棱棱l上任取一点上任取一点O，如如 图，图，在半平面在半平面 和和 内，从点内，从点 O 分别作垂分别作垂 直于棱直于棱 l 的射线的射线OA、 OB，射线，射线OA、OB组成组成AOB 怎样度量二面角的大小？能否转化怎样度量二面角的大小？能否转化 为两相交直线所成的角？为两相交直线所成的角？ O B A l 4二面角的大小二面角
7、的大小 在二面角在二面角 -l- 的的 棱棱l上任取一点上任取一点O，如如 图，图，在半平面在半平面 和和 内，从点内，从点 O 分别作垂分别作垂 直于棱直于棱 l 的射线的射线OA、 OB，射线，射线OA、OB组成组成AOB 怎样度量二面角的大小？能否转化怎样度量二面角的大小？能否转化 为两相交直线所成的角？为两相交直线所成的角？ O O1 B A B1 l A1 4二面角的大小二面角的大小 AOB的大小一定的大小一定 一个平面垂直于二一个平面垂直于二 面角面角 -l- 的棱的棱 l，且与，且与 两个半平面的交线分别两个半平面的交线分别 是射线是射线 OA、OB，O 为为 垂足，则垂足，则
8、AOB 叫做叫做 二面角二面角 -l- 的平面角的平面角 O O1 B A B1 l A1 4二面角的大小二面角的大小 二面角的大小可以用它的二面角的大小可以用它的平面角平面角来来 度量即二面角的平面角是多少度，就度量即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度说这个二面角是多少度 4二面角的大小二面角的大小 二面角的大小可以用它的二面角的大小可以用它的平面角平面角来来 度量即二面角的平面角是多少度，就度量即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度说这个二面角是多少度 二面角的两个面重合：二面角的两个面重合： 0o； 4二面角的大小二面角的大小 二面角的大小可以用它的二面角的大小
9、可以用它的平面角平面角来来 度量即二面角的平面角是多少度，就度量即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度说这个二面角是多少度 二面角的两个面重合：二面角的两个面重合： 0o； 二面角的两个面合成一个平面：二面角的两个面合成一个平面：180o； 4二面角的大小二面角的大小 二面角的大小可以用它的二面角的大小可以用它的平面角平面角来来 度量即二面角的平面角是多少度，就度量即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度说这个二面角是多少度 二面角的范围：二面角的范围： 0o, 180o 二面角的两个面重合：二面角的两个面重合： 0o； 二面角的两个面合成一个平面：二面角的两个面合成一个
10、平面：180o； 4二面角的大小二面角的大小 平面角是直角的二面角叫平面角是直角的二面角叫直二面角直二面角 5. 二面角的平面角的作法二面角的平面角的作法 (1)定义法定义法 根据定义作出来根据定义作出来 (2)垂面法垂面法 作与棱垂直的平面与作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到两半平面的交线得到 l A B O l O A B A O l D (3)垂线法垂线法 5. 二面角的平面角的作法二面角的平面角的作法 1 1、定义法、定义法 根据定义作出来根据定义作出来 2 2、垂面法、垂面法 作与棱垂直的平面与作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到两半平面的交线得到 l P A B O 3 3、
11、三垂线法、三垂线法 寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角 在正方体在正方体ABCDABCD- -A AB BC CD D中，找出下列二面角中，找出下列二面角 的平面角：的平面角： （1 1）二面角）二面角D D- -ABAB- -D D和和A A- -ABAB- -D D； （2 2）二面角）二面角C C- -BDBD- -C C和和C C- -BDBD- -A.A. B A C D A B C D B A C D A B C D 寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角 在正方体在正方体ABCDABCD- -A AB BC CD D中，找出下列二面角中，找出下列二面角 的平面角：的平面角： （1
12、 1）二面角）二面角D D- -ABAB- -D D和和A A- -ABAB- -D D； （2 2）二面角）二面角C C- -BDBD- -C C和和C C- -BDBD- -A.A. 寻找二面角的寻找二面角的 平面角平面角 B A C D A B C D O 寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角 在正方体在正方体ABCDABCD- -A AB BC CD D中，找出下列二面角中，找出下列二面角 的平面角：的平面角： （1 1）二面角）二面角D D- -ABAB- -D D和和A A- -ABAB- -D D； （2 2）二面角）二面角C C- -BDBD- -C C和和C C- -BDBD
13、- -A.A. B A C D A B C D O 寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角 在正方体在正方体ABCDABCD- -A AB BC CD D中，找出下列二面角中，找出下列二面角 的平面角：的平面角： （1 1）二面角）二面角D D- -ABAB- -D D和和A A- -ABAB- -D D； （2 2）二面角）二面角C C- -BDBD- -C C和和C C- -BDBD- -A.A. 6. 平面与平面平面与平面垂直垂直 两个平面相交，如果它们所成的二两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这面角是直二面角，就说这两个平面互相两个平面互相 垂直垂直. 平面平面 与与
14、垂直，记作垂直，记作 . 6. 平面与平面平面与平面垂直垂直 两个平面相交，如果它们所成的二两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这面角是直二面角，就说这两个平面互相两个平面互相 垂直垂直. 平面平面 与与 垂直，记作垂直，记作 . 两个平面垂直的判定定理两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面互相垂直面互相垂直 已知：AB，AB（图1） 求证：。 证明：设=CD=CD， ABAB，CDCD，ABCDABCD 在平面内过点B B作直线BECDBECD，则 ABEABE是二面角- -CDCD-
15、-的平面角， 而ABBEABBE，故故- -CDCD- -是直二面角 。 例例1 如图，如图，AB是是O的直径，的直径， PA垂直于垂直于 O所在的平面，所在的平面，C是圆周上不同于是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面的任意一点，求证：平面PAC平面平面PBC. P A B O C 例例1 如图，如图，AB是是O的直径，的直径， PA垂直于垂直于 O所在的平面，所在的平面，C是圆周上不同于是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面的任意一点，求证：平面PAC平面平面PBC. 线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直 P A B O C 练习练习1： (1) 四个面的形
16、状怎样？四个面的形状怎样？ (2) 有哪些直线与平面垂直？有哪些直线与平面垂直？ (3) 任意两如个平面所成的二面角的平面角任意两如个平面所成的二面角的平面角 如何确定？如何确定？ A B C D 例例2 已知空间四边形已知空间四边形ABCD的四条边和对的四条边和对 角线都相等，求平面角线都相等，求平面ACD和平面和平面BCD所所 成二面角的大小成二面角的大小. 练习练习2：如图，已知三棱锥如图，已知三棱锥D-ABC的三的三 个侧面与底面全等，且个侧面与底面全等，且ABAC ， BC2，求以，求以BC为棱，以面为棱，以面BCD与面与面 BCA为面的二面角的大小？为面的二面角的大小？ 3 D A E C B 练习练习3： ABCD是正方形，是正方形，O是正方形的是正方形的 中心，中心，PO平面平面ABCD ， E是是PC的中点，的中点， 求证求证：(1) PC平面平面BDE； (2)平面平面PACBDE. ABCD 是正方形， P O A B C D E 课堂小结课堂小结 1. 二面角的定义、二面角的平面角；二面角的定义、二面角的平面角； 2. 二面角平面角的求法；二面角平面角的求法； 3. 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定. 课后作业课后作业 复习本节课内容，理清脉络复习本节课内容，理清脉络.
