1、1.3 1.3 二次根式的运算二次根式的运算第第1 1课时课时 二次根式的乘除二次根式的乘除第第1 1章章 二次根式二次根式如图，架在消防车上的云梯如图，架在消防车上的云梯AB长为长为15m，AD：BD=1:0.6,云梯底部离地面的距离云梯底部离地面的距离BC为为2m.你能求出云梯的顶端离你能求出云梯的顶端离地面的距离地面的距离AE吗？吗？1知识点知识点二次根式的乘法二次根式的乘法知知1 1导导计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)49_,4 9_;(2)1625_,16 25_;(3)2536_,25 36_.归归 纳纳知知1 1导
2、导根据二次根式的性质，我们可以得到根据二次根式的性质，我们可以得到:(a0,b0)abab 知知1 1讲讲1.法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数 不变，即：不变，即：(a0，b0)要点精析：要点精析：(1)法则中的被开方数法则中的被开方数a，b既可以是数，也可以是含字既可以是数，也可以是含字 母的代数式，但都必须是非负数母的代数式，但都必须是非负数(2)当二次根式根号外有因数当二次根式根号外有因数(式式)时，可类比单项式乘单时，可类比单项式乘单 项式的法则进行运算，即根号外因数项式的法则进行运算，即根号外因数(式式)之积作为根之积作为根
3、 号外因数号外因数(式式)，被开方数，被开方数(式式)之积作为被开方数之积作为被开方数(式式)abab 知知1 1讲讲(3)二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式(4)如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数.2.拓展：拓展：(1)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即：几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即：(a0，b0，c0)(2)几个二次根式相乘，可利用交换律、结合律使运算简便几个二次根式相乘，可利用交换律、结合律使运算简便3.易错警示：易错警示：不要把字母表示正数误认为
4、含该字母的式子不要把字母表示正数误认为含该字母的式子 的值就是正数的值就是正数abcabc 知知1 1讲讲计算：计算：例例1解：解：22712621310.21262 6232 3.22227527932321=23103 10222.总总 结结知知1 1讲讲(1)两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的 一定要开方；一定要开方；(2)当二次根式根号外有因数当二次根式根号外有因数(式式)时，将根号外的因数时，将根号外的因数 (式式)与根号外的因数与根号外的因数(式式)相乘作为积的相乘作为积的“系数系数”，被，被 开方数与被开方数相乘作为积的被开方
5、数开方数与被开方数相乘作为积的被开方数知知1 1练练计算：计算：1(2)0.52.5.(1)818.12(3)1.45 25(4)1.2 103 10.知知1 1练练(中考中考安徽安徽)计算计算 的结果是的结果是()A.B4 C.D221082 6(中考中考海南海南)下列各数中，与下列各数中，与 的积为有理数的积为有理数的是的是()A.B C D 3323 22 323 知知1 1讲讲如图如图，一个正三角形路标的边长为一个正三角形路标的边长为 个单位，求这个个单位，求这个路标的面积路标的面积.例例2解：解：2 2如图，作如图，作AD丄丄BC于点于点D，则则 BD=CD=BC=在在 RtACD中
6、中，AD=SABC=BCAD=(平方单位平方单位).答答:这个路标的面积为这个路标的面积为 平方单位平方单位.1212 222.2222(2 2)(2)6.ACCD 1212 262 32 2 3总总 结结知知1 1讲讲利用二次根式的乘法解决问题时，问题中的已知量是利用二次根式的乘法解决问题时，问题中的已知量是二次根式，在计算时要运用到二次根式的乘法法则二次根式，在计算时要运用到二次根式的乘法法则知知1 1练练如图，在如图，在Rt ABC 中，中，ACB=Rt ，BC=,AC=,求斜边求斜边上的高线上的高线CD的长的长126知知1 1练练洛湾中学要在一块长方形土地上进行绿化，已知这块洛湾中学要
7、在一块长方形土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长长方形土地的长a m，宽，宽b m.(1)求该长方形土地的面积求该长方形土地的面积(结果保留整数结果保留整数)；(2)如果绿化该长方形土地每平方米的造价为如果绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，元，那么绿化该长方形土地所需资金约为多少元？那么绿化该长方形土地所需资金约为多少元？25 104 152知识点知识点二次根式的除法二次根式的除法知知2 2导导1.计算：计算：99(1)_;_;1616161644(2)_;_;(3)_;_.36163616 2.根据上题计算结果，用根据上题计算结果，用“”、“”或或“=”填空：填空：99161644
8、_163616163616知知2 2导导综上所述，二次根式的除法法则：综上所述，二次根式的除法法则：_。当二次根式前面有当二次根式前面有 系数时，类比单项式除以单项式法系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商则进行计算：即系数之商 作为商的作为商的 _，被开方数，被开方数之商为之商为_.归归 纳纳知知2 2导导1法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即：变，即：(a0，b0)要点精析：要点精析：(1)法则中的被开方数法则中的被开方数a，b既可以是数，也可以是含字母的既可以是数，也可以是含字母的代数式，代数式，但都必须是非
9、负的且但都必须是非负的且b 不为不为0；(2)当二次根式根号外有因数当二次根式根号外有因数(式式)时，可类比单项式除以单时，可类比单项式除以单项式的法项式的法 则进行运算，将根号外的因数则进行运算，将根号外的因数(式式)之商作为商的根号外之商作为商的根号外因数因数(式式)，被开方数被开方数(式式)之商作为被开方数之商作为被开方数(式式)aabb 知知2 2导导2易错警示：易错警示：(1)在在 (a0，b0)中，特别注意中，特别注意b0，若，若b 0，则代数式无意义；，则代数式无意义；(2)二次根式的运算结果要尽量化到最简；二次根式的运算结果要尽量化到最简；(3)如果被开方数是带分数，应先将它化
10、成假分数，以如果被开方数是带分数，应先将它化成假分数，以 免出现类似免出现类似 这样的错误；这样的错误；(4)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算,也可以把除法运算转化为乘法运算来计算也可以把除法运算转化为乘法运算来计算aabb 114422 知知2 2讲讲 计算：计算：例例3372111(1);(2)1;(3)4(1)(1,0).266aababb 导引：导引：(1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)进行计进行计算时需先把带分数化成假分数；算时需先把带分数化成假分数；(3)要注意根号外的因要注意根
11、号外的因数与因数相除，同时要注意结果的符号数与因数相除，同时要注意结果的符号知知2 2讲讲解：解：7272(1)122 3.66 11313(2)163.26262 31(3)4(1)aabb 3314(1)4(1)1abababba 224(1)2(1).abb a 总总 结结知知2 2讲讲利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进进行约分、化简行约分、化简知知2 2练练计算：计算：17(1)6533 10(2)2.7 10 1(3).5知知2 2练
12、练 成立的条件是成立的条件是()Aa1 Ba1且且a3Ca1 Da323311aaaa 知知2 2练练计算：计算：等于等于()A5 B.C.D.3102 5521021.计算二次根式相乘的方法：根号外的因数计算二次根式相乘的方法：根号外的因数(式式)相乘的结相乘的结 果作为积的根号外的因数果作为积的根号外的因数(式式)，被开方数相乘的结果作，被开方数相乘的结果作 为积的被开方数，再将二次根式化为最简二次根式为积的被开方数，再将二次根式化为最简二次根式2.与前面学习二次根式的乘法法则类似与前面学习二次根式的乘法法则类似.将式子将式子 （a0，b0）的等号左右两边的式子交换一下，我们）的等号左右两边的式子交换一下，我们 又得到了商的算术平方根的性质。又得到了商的算术平方根的性质。商的算术平方根的性质：商的算术平方根的性质：（a0，b0），可），可 以叙述为两个数的商的算术平方根，等于被除数的算以叙述为两个数的商的算术平方根，等于被除数的算 术平方根除以除数的算术平方根术平方根除以除数的算术平方根.aabb aabb
