1、3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例 对比三种函数的增长差异对比三种函数的增长差异 对于指数函数、对数函数、幂函数对于指数函数、对数函数、幂函数 在区间（在区间（0,）上，尽管函数）上，尽管函数 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个 档次档次 上。随着上。随着 x 的增大，的增大， 的增长速度越来越快，会超过并的增长速度越来越快，会超过并 远远大于远远大于 的增长速度，而的增长速度，而 的增长速度的增长速度 则会越来越慢。因此，总会存在一个则会越来越慢。因此，总会存在一个 ，当，当 时，就有时，就有 (1),log(1)(
2、0) xn a ya ayx ayx n和 （1）求图1中阴影部 分的面积，并说明所 求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的 里程表在汽车行行驶 这段路程前的读数为 2004km，试建立行 驶这段路程时汽车里 程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作 出相应的图象。 一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系 如图1所示， 图1 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 5 t/h v/ (km/h) 0 解：（1）阴影部分的面积为 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的为360km。 50 1 80 1 90 1 75 1 65 1 360 （2）根据图1
3、,有 这个函数的图象如图2所示。 t s 例4 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口 数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早 在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus,1766- 1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： 0 y 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数 万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 其中t表示经过的时间， 表示t0时的人口数，r表示人口 的年平均增长率。 表3是19501
4、959年我国的人口数据资料： 0 y ey rt y 0 (1)如果以各年人口增长谐振平均值作为我国这一时期的人口 增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我 国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人 口数据是否相符; 解：设19511959年的人口增长率分别为 129 r ,r ,r .由 1 55196(1)56300, 1951 , r 1 234 567 89 可得年的人口增长率r0.0200. 同理可得 r0.0210,r0.0229,r0.0250, r0.0197,r0.0223,r0.0276, r0.0222,r0.0184. 于是, 195119
5、59年期间,我国人口的年均增长率为 129 (.) 90.0221rrrr e y rt y 0 0 55196,19501959y 令则我国在年期间的人口增长模型为 0.0221 55196 t yetN 根据表格3中的数据作出散点图,并作出函数 的图象(图4). 由图由图4可以看出可以看出,所得所得 模型与模型与19501959年年 的实际人口数据基本的实际人口数据基本 吻合吻合. 0.0221 55196 t yetN （2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国 的人口达到13亿？ 将y=130000代入 由计算可得 所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950 年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到 13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让 人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压 力. 0.0221 55196 t yetN 38.76t 数学模型为二次函数的问题数学模型为二次函数的问题 二次函数为生活中最常见的一种数 学模型，因二次函数可求其最大值（最 小值），故常常最优、最省等最值问题 是二次函数的模型。看书中105页的例 六。
