1、 4.1 4.1平方根平方根（1 1）初中数学初中数学八年级上册八年级上册苏科版苏科版20112011情境引入情境引入如图：小方格的边长为如图：小方格的边长为1 1，你能算出图中，你能算出图中AB,DEAB,DE的长吗？的长吗？AB AB2 2=BC=BC2 2+AC+AC2 2 =4 =42 2+3+32 2 =16+9 =16+9 =25 =25 AB=5AB=5 DE DE2 2=DF=DF2 2+EF+EF2 2 =1 =12 2+1+12 2 =1+1 =1+1 =2 =2 DE=DE=?D DF FE EA AC CB B 我们上一章学习的我们上一章学习的勾股定理勾股定理又称又称毕
2、达哥拉斯定理，毕达哥拉斯定理，是是古希腊的毕达哥拉斯古希腊的毕达哥拉斯最先发现。最先发现。毕达哥拉斯毕达哥拉斯提出提出“万物皆为数万物皆为数”的观点的观点:宇宙间的一宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。而在公元前切现象都归结为整数或整数之比。而在公元前500500年他的年他的学生学生希伯索斯希伯索斯却发现边长为却发现边长为1 1的正方形的对角线并不能用的正方形的对角线并不能用整数比来表达，出现了新的数。这一发现引起了整数比来表达，出现了新的数。这一发现引起了数学史上数学史上的第一次危机的第一次危机，科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧，科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧，由于希伯索斯坚持
3、真理，他被投尸大海，葬身鱼腹，为此由于希伯索斯坚持真理，他被投尸大海，葬身鱼腹，为此献出了生命。后来毕达哥拉斯学派建立了无理数，扩大了献出了生命。后来毕达哥拉斯学派建立了无理数，扩大了数域，为数学的发展做出了贡献。数域，为数学的发展做出了贡献。数学史：数学史：希伯索斯冤案希伯索斯冤案探究新知探究新知活动一：活动一：求求X X2 2=2=2，就是研究，就是研究X X2 2=a=a中中x x是多少？是多少？如果如果X X2 2=4=4，那么，那么X X是什么数？是什么数？X X2 2=100=100呢？呢？X X2 2=169=169呢？呢？当当X X2 2=4=4时时 2 22 2=4=4(-2
4、)(-2)2 2=4=4 X=2X=2 当当X X2 2=100=100时时 10 102 2=100=100 ()()2 2=100=100 X=X=10 当当X X2 2=169=169时时 2 2=169=169 ()()2 2=169=169 X=X=13可以看出，使可以看出，使x x2 2a(a0)a(a0)成立的数成立的数x x有几个？有几个？它们之间有什么关系？它们之间有什么关系？1313-10-10-13-13定义：定义：如果如果x x2 2a a（a 0a 0），那么），那么x x叫做叫做a a的平方根，的平方根，也称为二次方根也称为二次方根例如：例如：是是4 4的平方根，的
5、平方根，100100的平方根是的平方根是 ，169 169的平方根是的平方根是10213活动二：活动二：符号表示：符号表示：正数正数a a的的正的平方根正的平方根记作记作 ，读作，读作“正根号正根号a a”或记作或记作 ，读作，读作“根号根号a a”正数正数a a的的负的平方根负的平方根记作记作 ，读作，读作“负根号负根号a a”正数正数a a的的两个平方根两个平方根记作记作 ，读作，读作“正、负根号正、负根号a a”aaaa921例如：例如：2 2的平方根是的平方根是 ，读作，读作“正、负根号正、负根号2 2”2 2的正的平方根是的正的平方根是 或或 ，2 2的负的平方根是的负的平方根是 ，
6、3 3的平方根是的平方根是 ，读作，读作“正、负根号正、负根号3 3”3 3的正的平方根是的正的平方根是 3 3的负的平方根是的负的平方根是 2322233 3.3.例如：例如：4 4的平方根是的平方根是 ，即，即 42 =421.1.改写成数学符号的形式改写成数学符号的形式 5 5的平方根？的平方根？3.63.6的正的平方根？的正的平方根？的负的平方根？的负的平方根？2.2.读出下列各式，并说出表示什么？读出下列各式，并说出表示什么？表示什么？表示什么？表示什么？表示什么？表示什么？表示什么？201913921721练一练：练一练：改写成数学符号的形式改写成数学符号的形式100100的平方根
7、是的平方根是 169169的平方根是的平方根是101356.37212020的负的平方根的负的平方根1919的正的平方根的正的平方根1313的平方根的平方根 =10010 =16913 在下列各括号中能填写适当的数使等式成立吗？如果能，在下列各括号中能填写适当的数使等式成立吗？如果能，请填写；如果不能，请说明理由；请填写；如果不能，请说明理由；（）（）2 29 9，（），（）2 22525，（），（）2 2 ；（）（）2 20 0，（，（）2 21010，（，（）2 24 4活动三：活动三：41性质：性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。一个正数有两个平方根，它们互为相反数。0 0的平方
8、根是的平方根是0 0；负数没有平方根。负数没有平方根。交流：判断下列各数有平方根吗？交流：判断下列各数有平方根吗？9 9，5 5，0 0，-8-8，-36-36，-25941你发现括号内的数什么特点？等号右边的数是什么数？你发现括号内的数什么特点？等号右边的数是什么数？相反数的平方相等，任意数的平方都是非负数。相反数的平方相等，任意数的平方都是非负数。3521010不存在练一练：练一练：二：判断：二：判断：1.1.3 3是是9 9的平方根的平方根 （）2.-32.-3是是9 9的平方根的平方根 （）3.93.9的平方根是的平方根是3 3 （）4.6 4.6的平方根是的平方根是36 36 （）5
9、.5.只有正数有平方根只有正数有平方根 （）6.-a 6.-a没有平方根没有平方根 （）一：下列各数是否有平方根一：下列各数是否有平方根 17 17，0 0，-16-16，(-5)(-5)2 2，-（-6-6）81-四：填空四：填空1 1 .一个数的平方根是一个数的平方根是7 7，那么它的另一个平方根是，那么它的另一个平方根是_ 这个数是这个数是_2.2.平方根是它本身的数是平方根是它本身的数是_ -7-70 049493.3.若代数式若代数式x-2x-2的平方根只有一个，则的平方根只有一个，则x=_x=_2 2三：三：121121的平方根可表示为的平方根可表示为 （）A.=11 B.=11
10、A.=11 B.=11 C.=D.=C.=D.=1211211112112111D D活动四：活动四：定义：定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方。求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方与平方互为逆运算，所以可以通过平方运算开平方与平方互为逆运算，所以可以通过平方运算来求一个数的平方根来求一个数的平方根 x x2 2a a已知已知x x求幂求幂a a，是平方；，是平方；已知已知a a求平方根求平方根x x，是开平方，是开平方活动五：活动五：例例1 1：求下列各数的平方根：求下列各数的平方根(1)49 (2)0.09 (3)15 (4)(1)49 (2)0.09 (3)15 (4)(5)(-6
11、)(5)(-6)971解：（解：（1 1）()2 2=49=49 4949的平方根是的平方根是 即即 =7497（3 3）1515的平方根是的平方根是157（4 4）=()2 2=的平方根是的平方根是 即即 =971916349169713497134 带分数化为假分数；带分数化为假分数；正数两个平方根，正数两个平方根，不能丢；不能丢；先化简，再求平方先化简，再求平方根根（5 5）-（-6-6）=6=6 -(-6)-(-6)的平方根是的平方根是6 例例2 2：求下列各式中的：求下列各式中的x x：(1)x(1)x2 2=64 (2)3x=64 (2)3x2 2=30 (3)4x=30 (3)4
12、x2 2-80=1-80=1活动五：活动五：解解(1)x=(1)x=x=x=648(2)x(2)x2 2=10=10 x=x=10(3)4x(3)4x2 2=1+80=1+80 4x 4x2 2=81=81 x x2 2=x=x=x=x=48129481拓展提高拓展提高例例3 3：一个正数的两个平方根分别是：一个正数的两个平方根分别是2x-12x-1与与5x-135x-13，求（求（1 1）x x的值；的值；（2 2）这个正数的值。）这个正数的值。解解:（1 1）根据题意）根据题意 得：得：(2x-1)+(5x-13)=0(2x-1)+(5x-13)=0 2x-1+5x-13=0 2x-1+5
13、x-13=0 2x+5x =1+13 2x+5x =1+13 7x =14 7x =14 x =2 x =2 (2)(2)当当x=2x=2时时 2x-1=2x2-1 2x-1=2x2-1 =4-1 =4-1 =3 =3 3 32 2=9=9课堂小结：课堂小结：通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识?1.1.平方根的定义平方根的定义2.2.平方根的符号表示平方根的符号表示3.3.平方根的性质平方根的性质4.4.开平方与平方是互逆运算，数的运算扩展到开平方与平方是互逆运算，数的运算扩展到 加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。
14、5.5.数形结合思想数形结合思想课后思考：课后思考：1.1.的平方根是的平方根是_2.(-5)2.(-5)2 2的平方根的平方根_3.4x+13.4x+1的平方根是的平方根是5 5，则，则x=_x=_4.4.（x-3x-3）2 2=25=25，求，求x x 2(x+1)2(x+1)2 2-1=241-1=241，求，求x x5.5.若若 x x2 2 =16=16，则，则5-x5-x的平方根是的平方根是_6.6.若若 +(b-4)+(b-4)2 2=0=0，则，则 的平方根是的平方根是_819a ab作业：书上习题作业：书上习题4.1 14.1 11.中国人只要看到土地，就会想种点什么。而牛叉
15、的是，这花花草草庄稼蔬菜还就听中国人的话，怎么种怎么活。2.中国人对蔬菜的热爱，本质上是对土地和家乡的热爱。本诗主人公就是这样一位采摘野菜的同时，又保卫祖国、眷恋家乡的士兵。3.本题运用说明文限制性词语能否删除四步法。不能。极大的一词表程度，说明绘画的题材范围较过去有了很大的变化，删去之后其程度就会减轻，不符合实际情况，这体现了说明文语言的准确性和严密性。4.开篇写湘君眺望洞庭，盼望湘夫人飘然而降，却始终不见，因而心中充满愁思。续写沅湘秋景，秋风扬波拂叶，画面壮阔而凄清。5.以景物衬托情思，以幻境刻画心理，尤其动人。凄清、冷落的景色，衬托出人物的惆怅、幽怨之情，并为全诗定下了哀怨不已的感情基调。6.石壕吏和老妇人是诗中的主要人物，要立于善于运用想像来刻画他们各自的动作、语言和神态；还要补充一些事实上已经发生却被诗人隐去的故事情节。7.文学本身就是将自己生命的感动凝固成文字，去唤醒那沉睡的情感，饥渴的灵魂，也许已是跨越千年，但那人间的真情却亘古不变，故事仿佛就在昨日一般亲切，光芒没有丝毫的暗淡减损。8.只要我们用心去聆听，用情去触摸，你终会感受到生命的鲜活，人性的光辉，智慧的温暖。9.能准确、有感情的朗读诗歌，领会丰富的内涵，体会诗作蕴涵的思想感情。
