1、 高考一轮复习热点难点精讲精析:8.3曲线与方程(一)用直接法求轨迹方程相关链接1如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,易于表述成含、的等式,得到轨迹方程,这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤,但最后的证明可以省略。运用直接法应注意的问题 (1)在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解性,此时就要补上遗漏的点或删除多余的点,这是不能忽视的.(2)若方程的化简过程是恒等变形,则最后的验证可以省略. 例题解析例如图所示,设动直线垂直于x轴,且与椭圆交于A、B两点,P是上满足的点,求点P的轨迹方程。思
2、路解析:设P点坐标为(x,y)求出A、B两点坐标代入求P点轨迹标明x的范围。解答:设P点的坐标为(x,y),则由方程,得,A、B两点的坐标分别为,又,即又直线与椭圆交于两点,-2x2,点P的轨迹方程为(-2x|,动圆圆心M(x,y)到点(-3,0)和(3,0)的距离和是常数12,所以点M的轨迹是焦点为点(-3,0)、(3,0),长轴长等于12的椭圆。2c=6,2a=12,c=3,a=6圆心轨迹方程为,轨迹为椭圆。方法二:由方法一可得方程移项再两边分别平方得: 两边再平方得:,整理得所以圆心轨迹方程为,轨迹为椭圆。注:(1)平面向量知识融入解析几何是高考命题的一大特点,实际上平面向量的知识在这里
3、只是表面上的现象,解析几何的实质是坐标法,就是用方程的思想研究曲线,用曲线的性质研究方程,轨迹问题正是体现这一思想的重要表现形式,我们只要能把向量所表示的关系转化为坐标的关系,这类问题就不难解决了。而与解析几何有关的范围问题也是高考常考的重点。求解参数问题主要是根据条件建立含参数的函数关系式,然后确定参数的值。(2)回归定义是解圆锥曲线问题十分有效的方法,值得重视。(3)对于“是否存在型”探索性问题的求解,先假设结论存在,若推证无矛盾,则结论存在;若推证出矛盾,则结论不存在。(三)用相关点法(代入法)求轨迹方程相关链接1动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点的
4、运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹方程为给定或容易求得,则可先将表示x、y的式子,再代入Q的轨迹方程,然后整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法。2用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式:,然后代入已知曲线。而求对称曲线(轴对称、中心对称)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题。注:用代入法求轨迹方程是将x、y表示成x、y的式子,同时注意x、y的限制条件.例题解析例已知A(-1,0),B(1,4),在平面上动点Q满足,点P是点Q关于直线y=2(x-4)的对称点,求动点P的轨迹方程。思路解析:由已知易得动点Q的轨迹方程,然后找出P点与Q点的坐标关系,代入即可。解答: 设Q(x,y),则故由,即所以
5、点Q的轨迹是以C(0,2)为圆心,以3为半径的圆。点P是点Q关于直线y=2(x-4)的对称点。动点P的轨迹是一个以为圆心,半径为3的圆,其中是点C(0,2)关于直线y=2(x-4) 的对称点,即直线y=2(x-4)过的中点,且与垂直,于是有,解得:故动点P的轨迹方程为。(四)用参数法求轨迹方程例设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足点N的坐标为,当绕点M旋转时,求:(1)动点P的轨迹方程;(2)的最小值与最大值。解析:(1)直线过点,当斜率存在时,设其斜率为,则的方程为记由题设可得点A、B的坐标是方程组的解,消去得于是,设点P的坐标为,则 消去参数得 当不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程,所以点P的轨迹方程为。(2)由点P的轨迹方程知即又故当时,取得最小值为;当时,取得最大值为。6