1、 高考一轮复习考点热身训练：2.3函数的奇偶性与周期性一、选择题(每小题6分，共36分)1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )()y=-x3,xR ()y=sinx,xR()y=x,xR ()y=()x,xR2.(2013宿州模拟)已知f(x)满足f(x+4)=f(x)和f(-x)=-f(x)，当x(0,2)时，f(x)=2x2，则f(7)=( )()-2 ()2 ()-98 ()983.(预测题)f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)=( )()-b+4 ()-b+2 ()b-4 ()b+24.函数y
2、=lg(-1)的图象关于( )()x轴成轴对称图形()y轴成轴对称图形()直线y=x成轴对称图形()原点成中心对称图形5.(2012临沂模拟)若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a0,a1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)=loga(x+k)的图象是( )6.（2012莆田模拟）若f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且f(x)-g(x)=ex,则有（ ）()f(2)f(3)g(0)()g(0)f(3)f(2)()f(2)g(0)f(3)()g(0)f(2)0,求实数m的取值范围.11.(2012珠海模拟)已知函数f(x)=a-是偶函数，a为实常数.(1)求b的值；(2)当
3、a=1时，是否存在nm0,使得函数y=f(x)在区间m,n上的函数值组成的集合也是m,n，若存在，求出m,n的值，否则，说明理由.(3)若在函数定义域内总存在区间m,n(m0，a1)为R上的奇函数，f(0)=(k-1)-1=0,得k=2,f(x)=ax-a-x.又f(x)为R上的减函数，0a1.故g(x)=loga(x+k)=loga(x+2)的图象是由y=logax(0a1)的图象向左平移两个单位而得到，故选.6. 【解析】选.f(x)-g(x)=ex,又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(-x)-g(-x)=e-x,即-f(x)-g(x)=e-x,可知f(x)是R上的增函数，0f(2)
4、f(3),g(0)=-10,g(0)f(2)0,得f(m)-f(m-1),即f(1-m)f(m).又f(x)在0,2上单调递减且f(x)在-2,2上为奇函数,f(x)在-2,2上为减函数，即解得-1mm0,y=f(x)在区间m,n上是增函数.因y=f(x)在区间m,n上的函数值组成的集合也是m,n.有即方程1-=x,也就是2x2-2x+1=0有两个不相等的正根.=4-80,此方程无解.故不存在正实数m,n满足题意.(3)由(1)，可知f(x)=a-(=(-,0)(0,+).考察函数f(x)=a-的图象，可知:f(x)在区间(0,+)上是增函数，f(x)在区间(-,0)上是减函数.因y=f(x)
5、在区间m,n上的函数值组成的集合也是m,n，故必有m、n同号.当0m(此时，m、n(mn)取方程2x2-2ax+1=0的两根即可).当mn0时，f(x)在区间m,n上是减函数，有化简得(m-n)a=0,解得a=0(此时，m、n(mn)的取值满足mn= ,且mn.【变式备选】已知函数f(x)=ex-e-x(xR且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)0对一切x都成立？若存在，求出t;若不存在，请说明理由.【解析】(1)f(x)=ex-()x,且y=ex是增函数，y=-()x是增函数，所以f(x)是增函数.由于f(
6、x)的定义域为R，且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数,f(x-t)+f(x2-t2)0对一切xR恒成立f(x2-t2)f(t-x)对一切xR恒成立x2-t2t-x对一切xR恒成立t2+tx2+x对一切xR恒成立(t+)2(t+)20t=-.即存在实数t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)0对一切x都成立.【探究创新】【解析】(1)f(x)=x2(x-1)的图象如图(1)所示，要使得f(-1+m)f(-1)，有m2；x-1时，恒有f(x+2)f(x)，故m2即可.所以实数m的取值范围为2,+)；(2)由f(x)为奇函数及x0时的解析式知f(x)的图象如图(2)所示，f(3a2)=a2=f(-a2)，由f(-a2+4)f(-a2)=a2=f(3a2)，故-a2+43a2，从而a21，又a21时，恒有f(x+4)f(x)，故a21即可所以实数a的取值范围为-1,1.6
