1、高三文科数学第 1 页（共 5 页） 武昌区武昌区 2020 届高三年级四月调研测试届高三年级四月调研测试 文科数学 注意事项注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项
2、中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1设全集U R ，集合 A x | 0 x 2， B x | x 1 0 ，则 A B A. (2,) B. 2,) C. (,2 D. (,1 2已知复数 z 5 34i ，则复数z的虚部为 A. 4 5 B. 4 5 C. 4 5 iD. 4 5 i 3已知双曲线C : 22 22 xy ab 1(a 0,b 0) 的焦距为 8，一条渐近线方程为 y 3x ，则C A. 22 1 412 xy B. 22 1 124 xy C. 22 1 1648 xy D. 22 1 4816 xy 4某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方
3、图如图，数据的分组依次为 20,40) ，40,60) ，60,80)，80,100.若低于 60 分的人数是 18 人，则该班的学生人 数是 A. 45 B. 48 C. 54 D. 60 5已知l ， m 是两条不同的直线， m 平面，则“ l /”是“ l m ”的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 6已知向量 a (1,2) ，b (3,1) ，则 A. a / bB. a bC. a / ( a b) D. a ( a b) 高三文科数学第 2 页（共 5 页） 23 23 7已知点(m,8)在幂函数 f (x) (m 1)x n的图像上，设a
4、f () ，b f (ln ) ，c f ( n )， 则 A. b a cB. a b cC.b c aD.a c b 8函数 4 8ln | ( ) ee xx x x f x 的图像大致为 A.B. C.D. 9一艘海轮从A 处出发，以每小时 24 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分 钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海 轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70， 在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65， 那么B，C 两点间的距离是 A. 6 海里B. 6海里 C. 8 海里D.8海里 10已知三棱锥 P ABC 的顶点都在球O 的球面上， PA ， PB ， AB 4
5、 ， CA CB，面 PAB 面 ABC ，则球O 的表面积为 A. 10 3 .B. 25 6 C. 40 9 D. 50 3 214 10 高三文科数学第 3 页（共 5 页） 3 11已知函数 f (x) Asin(x )(A 0, 0,0 2 )的部分图像如图所示，则 f ( 3 4 ) A. 2 6 4 B. 2 6 4 C. 6 2 4 D. 6 2 2 12已知函数 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数，且满足 f ( x) f (2 x) ，当 x 0, 1 时， f (x) x ，则函数 F (x) f (x) x 4 在区间10, 9 上零点的个数为 1 2x A9B10
6、C18D20 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13直线mx ny 1 0(m 0, n 0) 过圆C : x2 y 2 2x 2 y 1 0 的圆心，则 11 mn 的最 小值是. 14从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽 得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为. 15给出以下式子： tan 25+tan 35+tan 25 tan 35 ； 2(sin 35 cos 25+ cos 35 cos 65) ；1 tan15 1tan15 . 其中
7、，结果为的式子的序号是. 16已知椭圆C : 22 22 xy ab =1(a b 0) 的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的焦距为2c ， 过C 外一点P(c,2c)作线段PF1，PF2分别交椭圆C 于点 A 、 B ，若| PA | AF1|，则 | PF2| | BF2| 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题为必考题，题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）
8、必考题（一）必考题：共：共 60 分。分。 17 （本题 12 分） 已知等差数列an的各项均为正数， Sn为等差数列an的前 n 项和，a1=1， a4a5 11 . （1）求数列an的通项 an； （2）设bn an 3n，求数列bn 的前 n 项和Tn 3 高三文科数学第 4 页（共 5 页） 18（本题 12 分） 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，A1A 丄平面 ABC，ACB 90 ，AC=CB=C1C=1, M， N 分别是 AB，A1C 的中点. (1)求证：直线 MN 平面 ACB1； (2)求点 C1到平面 B1MC 的距离. 19 （本题 12 分） 某校共有学生
9、2000 人，其中男生 900 人，女生 1100 人，为了调查该校学生每周平均 体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校 100 名学生每周平均体育锻炼时间（单位： 小时）. （1）应抽查男生与女生各多少人？ （2）根据收集 100 人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表： 时间（小时） 0,1(1,2(2,3(3,4(4,5(5,6 频率0.050.200.300.250.150.05 若在样本数据中有 38 名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过 2 小时，请完成每周 平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均 体育锻炼时间与性别有关
10、”? 男生女生总计 每周平均体育锻炼时间不超过 2 小时 每周平均体育锻炼时间超过 2 小时 总计 附附： K 2 n(ad bc)2 . (a b)(c d )(a c)(b d ) P（ K 2 k ） 0 0.1000.0500.0100.005 k02.7063.8416.6357.879 高三文科数学第 5 页（共 5 页） 20 （本题 12 分） 已知 A 是抛物线 E ：y 2 2 px(p 0) 上的一点，以点 A 和点 B(2,0)为直径两端点的圆 C 交直线 x 1 于M ， N 两点. （1）若| MN | 2，求抛物线 E 的方程； （2）若0 p 1，抛物线 E 与
11、圆( x 5)2 y 2 9 在 x轴上方的交点为 P ，Q，点G 为 PQ的中点， O 为坐标原点，求直线OG 斜率的取值范围. 21 （本题 12 分） 已知函数 f ( x) x2 (t 2)x t ln x 2 . （1）若 x 2 是f ( x)的极值点，求f ( x)的极大值； （2）求实数t的范围，使得f ( x) 2恒成立. （二二）选考题：共选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（本题 10 分） 在平面直角
12、坐标系xOy中，直线l 的参数方程为 2 2 2 2 1 3 xt tt （t为参数） ，以坐标原 点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 2 4 cos 3 . （1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （2）直线l 与圆C 交于 A ， B 两点，点P(2,1)，求| PA | | PB |的值. 23选修 4-5：不等式选讲（本题 10 分） 已知函数f (x) | x a | （1）当a 1 时，求不等式f ( x) | 2x 1 | 1的解集； （2）若函数 g( x) f ( x) | x 3 | 的值域为 A ，且2,1 A ，求a的取值范围
13、. 高三文科数学 第 1 页（共 4 页） P Q 武昌区武昌区 2020 届高三年级届高三年级四四月月调研测试调研测试 文科数学参考答案及评分细则 一一、选择题选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A D A D B A A D A B 二二、填空题填空题： 134 14 8 5 15 16 22 三三、解答题解答题： 17 （ （本题本题 12 分分） 解解：（1）由 a1=1，11 54 aa得，11)41)(31 (dd，所以 3 2 d或 2 3 d（舍去）. 所以， 3 12 ) 1( 1 n dnaan，即 3 12 n an. .(
14、4 分) (2) 因为 1 3) 12(3 3 12 nn n n n b， 所以 110 3) 12(3533 n n nT， 于是 n n nT3) 12(35333 21 . 以上两式相减，得 n n nT3. .(12 分) 18（本题本题 12 分分） 解解： （1）过点 M，N 分别作BCMP 1 CCNQ ，垂足分别为 P，Q. 则NQMP/且NQMP ，所以PQMN /. 因为 1 /BCPQ，CBBC 11 ，所以CBPQ 1 . 因为 1 AA平面ABC，ACAA 1 ， 所以 11/ AA CC，所以ACCC 1 . 因为CBAC ，所以AC平面 11B BCC，所以PQ
15、AC ， 所以PQ平面 ACB1. 因为PQMN /，所以MN平面 ACB1. .(4 分) （2）设 C1到平面 B1MC 的距离为h. 因为 2 1 MP， 2 1 11 CCB S，所以 12 1 3 1 1111 MPSV CCBCCBM . 因为 2 2 CM，2 1 CB， 2 6 1 MB，所以 4 3 2 1 1 1 MBCMS CMB . 高三文科数学 第 2 页（共 4 页） 因为 CCBMMCBC VV 1111 ，所以MPShS CCBMCB 111 3 1 3 1 ，解得 3 3 h. 所以，点 C1到平面 B1MC 的距离为 3 3 . (12 分) 19 （ （本
16、题本题 12 分分） 解解： （1）因为，男生人数女生人数=9001100=911， 所以， 男生人数为45100 20 9 人，女生人数为55100 20 11 人. (4 分) （2）由频率分布直方图可得到学生平均每周体育锻炼时间超过 2 小时的人数为： (1 0.300 1 0.250 1 0.150 1 0.050) 10075 人， 所以，平均每周体育锻炼时间超过 2 小时的女生人数为 37 人. 所以，每周体育锻炼时间与性别的列联表为： 男生 女生 总计 每周平均体育锻炼时间不超过 2 小时 7 18 25 每周平均体育锻炼时间超过 2 小时 38 37 75 总计 45 55 1
17、00 因为841. 3892. 3 45557525 )3773818(100 )()()( )( 22 2 dbcadcba bcadn K， 所以，有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”. (12 分) 20 （ （本题本题 12 分分） 解解： （1）设 ),( 00 yxA ，且 0 2 0 2pxy ，则), 2 2 ( 0 0 y x C . 圆C的直径 2 0 2 0 )2(|yxAB，圆心C到直线1x的距离为 | 2 |1 2 2 | 00 xx d . 因为2MN，所以 222 ) 2 | () 2 | ( AB d MN ， 即 4 )2( 4 1
18、 2 0 2 0 2 0 yxx ，将 0 2 0 2pxy 代入， 化简，得 0)42( 0 xp ，所以 2p . 所以，抛物线E的方程为xy4 2 . .(4 分) （2）由 , 9)5( ,2 22 2 yx pxy 得016)5(2 2 xpx，且0. 设 ),( 11 yxP ， ),( 22 yxQ ，则 )5(2 21 pxx ， 16 21 xx . 高三文科数学 第 3 页（共 4 页） 所以 pxG 5 ， 2 21 21 9)( 2 2 2 ppxx pyy yG . 所以，) 10( 5 9 2 p p pp kOG. 令 )54(5ttp ，则) 4 11 5 1
19、(1 12020 22 2 tttt tt kOG， 解得 2 2 0 OG k，即直线OG斜率的取值范围为) 2 2 , 0(. .(12 分) 21 （ （本题本题 12 分分） 解解： （1） x t txxf22)(，因为2x是)(xf的极值点， 所以0 2 24)2( t tf，解得4t. 此时 x xx x xx x xxf )2)(1(24624 62)( 2 . 所以， )(xf 的极大值为 3) 1 (f . .(4 分) （2）要使得 2)(xf 恒成立，即0x 时，0ln)2( 2 xtxtx恒成立. 设xtxtxxgln)2()( 2 ，则 x txx x t txxg
20、 )2)(1( )2(2)( . （）当0t时，函数 )(xg 在 ) 1 , 0( 单调递减，在 ), 1 ( 单调递增， 所以 01) 1 ()( min tgxg ，解得1t. （）当02t时，函数 )(xg 在) 1 , 2 ( t 单调递减，在) 2 , 0( t 和), 1 ( 单调递增， 此时 11) 1 ( tg ，不合题意. （）当2t时，0 ) 1(2 )( 2 x x xg，函数 )(xg 在 ), 0( 单调递增， 此时 31) 1 ( tg ，不合题意. （）当2t时，函数 )(xg 在) 2 , 1 ( t 单调递减，在) 1 , 0(和), 2 ( t 单调递增，
21、 此时 31) 1 ( tg ，不合题意. 综上所述，当1t时， 2)(xf 恒成立. .(12 分) 22选修选修 4-4：坐标系与参数方程坐标系与参数方程（本题本题 10 分分） 解解： （1）直线l的普通方程为30xy， 圆C的直角坐标方程为034 22 xyx. .(5 分) （2）联立直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程可得 高三文科数学 第 4 页（共 4 页） 03) 2 2 2(4) 2 2 1 () 2 2 2( 22 ttt， 化简可得062 2 tt . 所以， 6| 21 ttPBPA . .(10 分) 另解另解：将3 yx代入4)2( 22 yx，并整理得06102
22、 2 xx， 所以5 21 xx，3 21 xx. 因为|-2|2| 1 xPA ，|2|2| 2 xPB， 所以64)(2(2| 2121 xxxxPBPA. .(10 分) 23选修选修 4-5：不等式选讲不等式选讲（本题本题 10 分分） 解解： （1）当1a时， |1|)( xxf 当1x 时，原不等式可化为122xx ，解得1x 当 1 1 2 x 时，原不等式可化为122xx ，解得1x ，此时原不等式无解 当 1 2 x 时，原不等式可化为12xx ，解得1x 综上可知，原不等式的解集为1x x 或1x .(5 分) （2） 当3a时， . 3, 3 , 3, 32 ,3 )( xa xaax axa xg 所以函数 )(xg 的值域 33|axaxA . 因为 A 1 , 2 ，所以 , 13 , 23 a a 解得5a. 当3a时， ., 3 , 33, 32 , 3,3 )( axa xax xa xg 所以函数 )(xg 的值域 33|axaxA . 因为 A 1 , 2 ，所以 , 13 , 23 a a 解得1a. 综上可知，a的取值范围是 ), 15,( . .(10 分)
