1、第三节第三节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布一.随机变量的概念,ZYX0X1X30X30X,ZYX为方便起见,我们引入大写字母不同试验的事件.无论事件是数量或不是数量,为了便和分别表示出现正面或反面;某种货物进口30可以取不同的值,所以是变量.分别例如例如 抛一枚硬币可能出现正面或反面,可用于用数学的方法处理问题,我们总可以赋予数值表示不同的事件.吨和出口30吨分别可用和表示.显然,这样的变量取何值是不确定的,取不同值的概率(可能性)一般定义定义8.3.1满足以下两个条件的变量称为随机变量随机变量.(1)变量可以表示样本空间所有的事件;(2)变量取何值是随机(不确定)的,但取某一
2、个值的概率是可确定的.随机变量与一般变量概念的区别在:一般变量取注注:何值是确定的,没有“可能与不可能”取到的问题;而随机是不同的.按照随机变量取值的特点,随机变量可以分为两类,即离散型随机变量和非离散型随机变量.XXXYX,0X定义定义8.3.2 8.3.2 如果随机变量可能取的值是“可数可为离散型随机变量离散型随机变量.、抽检产品抽到的次品数如果随机变量可能取的所有数不可以数不可以列的,寿命,用 表示其寿命,则是一个变量,它可能的取上的某个数,所以是非离散型随机变量.一区间,则称此变量列”的,则称如如 投掷骰子所列点数等等,都为离散型随机变量.则称为非离散型随机变量.例如,测试某种电子元件
3、的值为区间如果随机变量的可能取值充满某是该区间上所谓的“连续型随机变量”.有关“连续型随机变量”将在第四节讨论.二二.离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布1离散型随机变量离散型随机变量分布律分布律设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 12,x x，且与其对应的概率 12,p p 列成下表:1x2xkx1p2pkpXP此表称为 X的概率分布列，可简写为(1,2,)kkP Xxp k由概率的定义知道，离散型随机变量的分布列有以下性质：（1）非负性 0(1,2,)kpk（2）规范性 1kkp 例例8.3.1【摸球试验】一个袋中有7个均匀的小球,其中有2个白球5个红球,从中每次随机取一个,如果每
4、次取出的白球不再放回,求取得红球之前已经取出的白球数的分布律.解解 设 X表示“取得红球之前已经取出的白球数”,则 012X ，1125117605/70.7143,10.2381CCP XP xCC ，11121511176520.0476CCCP XCCC 于是，X 的分布列为 X012P0.7143 0.2381 0.047623种常见离散型随机变量的概率分布种常见离散型随机变量的概率分布（1）两点分布 如果随机变量 X 的分布列为 X01Pqp其中 1,01qpp，则称 X 服从两点分布(或0-1分布)，记为(0,1)X，它适用于一次试验仅有两个结果的随机现象。（2）二项分布 如果随机
5、变量 X 可能取值为 0,1,2,n。它的分布(0,1,2,)kk n knP X kC p qkn列为 其中 01,1pqp ，则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布，记为(,)XB n p二项分布的分布列也可以写为X012knPpnq11nnC pq222nnC p qkkn knC p q例例8.3.2 【射击模型】一射手对某一目标进行射击，一次命中率为0.8(1)求一次射击的分布列;(2)求到击中目标为止所需射击次数的分布列.解解(1)一次射击是随机现象，设 1X 表示“击中目标”，0X 表示“未击中目标”。则 1200.2,10.8PP XPP X所以分布列为X01P0.20.8(
6、2)射击到击中目标为止射击次数为 Y,范围是 1,2,k110.8,20.2 0.8,0.20.8,kP YP YP Yk所以分布列为X12kP0.8 0.20.810.20.8k则 Y 的取值例例8.3.3【传染问题】设某种传染病进入一羊群，已知此种传染 病的发病率为2/3，求在50头已感染的羊群中发病头数 的概率分布列。解解 把观察一头羊是否发病作为一次试验，发病率 2/3,p 不发病率 1/3,q 由于对50头感染羊来说是否发病，可以近似看作相互独立，所以将它作为50次重复独立试验，设50头羊群中发病的头数为 X,则(50,2/3)XBX的分布列为 505021(0,1,2,50).33
7、kkkP XkCk n00011(0.2)(0.8)1(0.2)(0.8)0.9nkkn knnnkP XCC 10.n 例例8.3.4 8.3.4 某地方的网络不稳定,一次能连接成功的概率是0.2,如果要至少一次连接成功的概率不小于0.9,问至少要进行多少次的连接?,因为所以,求得.解解 设连接的次数为例例8.3.58.3.5【核电站事故概率】假设核电站一年内发生重大事故的概率是 0.0001，如果某个国家有100个核电站，问在一年内该国核电站至少发生一次重大事故的概率是多少？解解 设X(100,0.0001),XB(1)1(0)P XP X 0.00995表示某年内至少会发生一次重大事故的
8、次数,则所求的概率为说明,重大事故是小概率事件,是依题意001001001(0.0001)(1 0.0001)C 1001 0.9999 0.00995.注注:由概率几乎不会发生的.(3)泊松分布 如果随机变量的可能取值为 0,1,2,它的分布列为(0,1,2,)!kP Xkekk其中 0为常数，则称 X服从参数为 的泊松分布，记为()XP实际问题中服从泊松分布的随机变量很多，生产的一批布匹上瑕疵的点数，如工厂电话程控交换机在单位时间接收到的电话呼唤数等都是服从泊松分布.(3),XP202kP XP Xk例例8.3.68.3.6【服务电话接收次数】某公司的客服电话解解 所求的概率为.每分钟接收
9、到的服务请求次数求一分钟内请求次数不超过2次的概率.2303!kkek0.423.(0.8)XP3131012P XP XP XP XP X 20.800.810.0474.!kkek np30,0.05np100,0.1),np(1)!kkkn knC ppek.np例例8.3.7 8.3.7【灾害发生概率】某城市每天发生火灾的,求该城市一天内发生3次或3次以上火 当二项分布中的 较大,概率 较小时（如：或 其中.次数解由题意知解由题意知 灾的概率.可以用泊松分布近似表示二项分布:即A A XX(300,0.01).B300,n 0.01p 3,np5360351.!kkkP XP Xkek
10、 510.9160820.083918.P X 例例8.3.8 8.3.8【产品检测】某公司生产一种产品300件.根据历史生产记录知废品率为0.01,问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少?正品,废品.检验300件产品就表示检验出的废品由数,则有.查泊松分布表得.解解 把每件产品的检验看作一次伯努利试验,两个结果表示为：是做300次独立的伯努利试验.用有可得XiAi 例例8.3.98.3.9【维修方案模型】设某种汽车品牌的4S店对其已销售的80辆汽车进行保养维修,有两种方案给销售部经理.方案A：由4人维护,每人负责20台;方案B：由3人共同维护80台.设每辆车的故障率为0.01.现
11、在需要考虑哪种方案较好,即出现此种汽车需要维修而得不到维修（由于维修人员正忙于其他设备的维修）的概率较小？一时刻发生故障的台数”,以表示事件“第解解 “按方案A”:以及时维修”,则80辆中发生故障而表示“第1个人维护的20辆中同人维护的20辆中发生故障不能不能及时维修的概率为12341()()(2),P AAAAP AP X(20,0.01),XB2019(2)1(1)(0)1 0.9920 0.01 0.99P XP XP X =20 0.01=0.2，0.20.2(2)10.20.0175.P Xee Y(80,0.01),YB而则用泊松公式近似,于是“按方案B”:以记“80台中同一时刻发
12、生故障的台数”,故80台中发生故障而不能及时维修则的概率为380800(4)1(0.01)(0.99),kkkkP YC=80 0.01=0.8，30.800.8(4)10.0091.!kkP Yek 用泊松公式近似,于是 对两种方案进行比较,方案B中组成工作小组后,尽管任务加重（每人平均维护80/3,约27台）且人数减少,但工作效率反而提高了.3.随机变量的分布函数随机变量的分布函数设为 X 随机变量，x 为任意实数，称()()F xP Xxx 为随机变量 X函数，简称分布函数。的概率分布()().P a X bP X bP XaF bF a11(),P XaP XaF a 如果将 X看作随
13、机点的坐标，则分布函数()F x值就表示点 X落在,x内的概率，且有 定义定义8.3.3的分布函数具有下列性质：性质1 对一切(,),0()1;xF x 有性质2()F x是 x 的不减函数，即当 12xx时，12()();F xF x性质3()lim()0 xFF x()lim()1xFF x 注意:分布列是表示随机变量分布的规律,数是表示随机变量取值的概率,而分布函二者间有着直接的联系,但概念完全不同.例例8.3.10 设随机变量 X的分布函数为 20,0(),011,1xF xxxx试求（1）12P X（2）314PX（3）12P X解解 1(1)2P X3(2)14PX 1(3)2P X1()2F143()(1)4FF9901616112P X 131()24F
