1、甲 乙排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法， ，在第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有： N = m1 + m2 + + mn 种不同的方法2.分步计数原理 (乘法原理)完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法， ，做第 n 步有 mn 种不同 的方法，那么完成这件事共有： N = m1 m2 mn 种不同的方法3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立
2、地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有 C3(1)然后排首位共有 C4(1) 最后排其它位置共有 A4(3) C 4(1) A 4(3) C 3(1)由分步计数原理得 C4(1)C3(1)A4(3) = 288练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站
3、成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 由分步计数原理可得共有 A5(5)A2(2)A2(2) = 480 种不同的排法丙 丁三.不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A5(5)种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有 种 A6(4) 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同
4、顺序共有 A5(5)A 6(4) 种四.定序问题倍缩空位插入策略例 4. 7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解: (倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： A 7(7)/ A 3(3)(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A7(4) 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有 A7(4) 种方法。五.重排问题求幂策略例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7
5、 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原 理共有 76 种不同的排法六.环排问题线排策略例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人 A4(4) 并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有 (8-1) ！种排法即 7 ！D C BE A A B C D E F G H AF G H七.多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有 A4(2) 种,再排后 4 个位置上
6、的特殊元素丙有 A 4(1) 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A5(5)种,则共有 A4(2)A 4(1)A 5(5)种1八.排列组合混合问题先选后排策略例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C5(2)种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有 A4(4) 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有 C5(2)A 4(4)九.小集团问题先整体后局部策略例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1, 5在两个奇数之间,这样
7、的五位数有多少个？解：把 1 , 5 , 2 , 4 当作一个小集团与3排队共有 A2(2) 种排法，再排小集团内部共有 A2(2)A 2(2)种排法， 由分步计数原理共有A 2(2)A 2(2)A 2(2) 种排法 .十.元素相同问题隔板策略例 10.有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有 C9(6)种分法。十一.正难则反总体淘汰策略例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
8、这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有3 个偶数的取法有 C5(3) ,只含有 1 个偶数的取法有 C5(1)C5(2) ,和为偶数的取法共有 C5(1)C5(2) + C5(3) 。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种，符合条件的取法共有 C5(1)C5(2) + C5(3) 一 9十二.平均分组问题除法策略例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？解: 分三步取书得 C6(2)C4(2)C2(2) 种方法,
9、但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF，若第一步取 AB,第二步取 CD,第三 步取 EF 该分法记为(AB,CD,EF),则 C6(2)C4(2)C2(2) 中还有(AB,EF,CD), (CD,AB,EF), (CD,EF,AB)(EF,CD,AB), (EF,AB,CD)共有 A 3(3)种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有 C6(2)C4(2)C2(2) / A 3(3) 种分法。十三. 合理分类与分步策略例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法 解
10、：10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C3(2)C3(2) 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员 C5(1)C3(1)C4(2) 种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 C5(2)C5(2) 种， 由分类计数原理共有 C3(2)C3(2) + C5(1)C3(1)C4(2) + C5(2)C5(2) 种。十四.构造模型策略例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2盏
11、,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 C5(3) 种十五.实际操作穷举策略例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C5(2)种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下 3,4,5 号球, 3,4,5号盒 3 号球装 4 号盒时，则 4,5 号球有只有 1 种装法，同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球
12、有也只有 1 种装法,由分步计数原 理有 2C5(2)种十六. 分解与合成策略例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除分析：先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=235 7 11 13，依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为： C5(1) + C5(2) + C5(3) + C5(4) + C5(5)练习:正方体的8 个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共 C8(4) 一 12 = 58 ,每个四面体有 3 对异面直线,正方体中的8 个顶点可连 成 3 58 = 174 对异面直
13、线十七.化归策略例 17. 25 人排成 55 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？解：将这个问题退化成 9 人排成 33 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有 1 人从其2解:中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从 33 方队中选 3 人的方法有 C3(1)C2(1)C1(1)种。再从 55 方阵选 出 3 3 方阵便可解决问题.从 5 5 方队中选取 3 行 3 列有 C5(3)C5(3)选法所以从 5 5 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人有C5(3)C5(3)C3
14、(1)C2(1)C1(1) 选法。十八.数字排序问题查字典策略例 18 由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数？解: N = 2A5(5) + 2A4(4) + A3(3) + A2(2) + A1(1) = 297十九.树图策略例 19 3 人相互传球, 由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有_N = 10二十.复杂分类问题表格策略例 20有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种 不同的取法红111223黄123121兰321211取法C5(1)C4(1)C5(1)C4(2)C5(1)C4(3)C5(2)C3(1)C5(2)C3(2)C5(3)C2(1)二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复 的元素看作“店” ，再利用乘法原理直接求解.例 21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .分析：因同一学生可以同时夺得 n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作 7 家“店”，五项冠军看作 5 名“客”，每个“客” 有 7 种住宿法， 由乘法原理得 7 5 种.3
