1、 绝密启用前 2003 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文史类） （北京卷） 本试卷分第卷（选择题）第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟 奎屯 王新敞 新疆 第卷（选择题 共 50 分） 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式： 三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 )sin()sin( 2 1 cossin+= lccS)
2、( 2 1 += 台侧 )sin()sin( 2 1 sincos+= 其中 c 、c分别表示上、下底面 )cos()cos( 2 1 coscos+= 周长，l表示斜高或母线长. )cos()cos( 2 1 sinsin+= 球 体 的 体 积 公 式 ： 3 3 4 RV= 球 ，其中 R 表示球的半径. 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的. 1设集合BAxxBxxA=则|,0log|,01| 2 2 等于 （ ） A 1|xx B0|xx C1|xx D11|xxx或 2设 5 . 1 3 44. 0 2 9
3、 . 0 1 ) 2 1 (,8,4 =yyy，则 （ ） Ay3y1y2 By2y1y3 Cy1y2y3 Dy1y3y2 3 “ 2 3 2cos= ”是“ Zkk+=, 12 5 2 ”的 （ ） A必要非充分条件 B充分非必要条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件 4已知，是平面，m，n 是直线.下列命题中不 正确的是 （ ） A若 m，=n，则 m/n B若 mn，=n，则 n C若 m，m，则 D若 m，m，则 5如图，直线022:=+ yxl过椭圆的左焦点 F1和 一个顶点 B，该椭圆的离心率为 （ ） A 5 1 B 5 2 C 5 5 D 5 52 6若Cz且|22|,
4、1|22|iziz=+则的最小值是 （ ） A2 B3 C4 D5 7如果圆台的母线与底面成 60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （ ） A2 B 2 3 C 3 32 D 2 1 8 若数列 n a的通项公式是 , 2 , 1, 2 3) 1(3 = + = na nnn n ， 则 )(lim 21n n aaa+ 等于 （ ） A 24 1 B 8 1 C 6 1 D 2 1 9从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上， 其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 （ ） A24 种 B18 种 C12 种 D6 种 10某班试用电子投票
5、系统选举班干部候选人.全班 k 名同学都有选举权和被选举权，他们的 编号分别为 1，2，k，规定：同意按“1” ，不同意（含弃权）按“0” ，令 = ., 0 ., 1 号同学当选号同学不同意第第 号同学当选号同学同意第第 ji ji aij 其中 i=1，2，k，且 j=1，2，k，则同时同意第 1，2 号同学当选的人数为（ ） A kk aaaaaa 2222111211 + B 2221212111kk aaaaaa+ C 2122211211kk aaaaaa+ D kka aaaaa 2122122111 + 第卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题
6、4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上. 11已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 奎屯 王新敞 新疆 12函数xtgxhxxgxxf2)(|,|2)(),1lg()( 2 =+=中， 是偶函数. 13以双曲线1 916 22 = yx 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 奎屯 王新敞 新疆 14将长度为 1 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积 之和最小，正方形的周长应为 奎屯 王新敞 新疆 三、解答题：本大题共 6 小题，共 84 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 （本小题满分 13 分） 已知函数.sincos
7、sin2cos)( 44 xxxxxf= （）求)(xf的最小正周期； （）求)(xf的最大值、最小值. 16 （本小题满分 13 分） 已知数列 n a是等差数列，且.12, 2 3211 =+=aaaa （）求数列 n a的通项公式； （）令).(3Rxab n nn =求数列 n b前 n 项和的公式. 17 （本小题满分 15 分） 如图，正三棱柱 ABCA1B1C1中，D 是 BC 的中点，AB=a. （）求证：直线 A1DB1C1； （）求点 D 到平面 ACC1的距离； （）判断 A1B 与平面 ADC 的位置关系， 并证明你的结论. C A B C1 A1 B1 D 18 （本
8、小题满分 15 分） 如图，A1，A 为椭圆的两个顶点，F1，F2为椭圆的两个焦点. （）写出椭圆的方程及准线方程； （）过线段 OA 上异于 O，A 的任一点 K 作 OA 的垂线，交椭圆于 P，P1两点，直线 A1P 与 AP1交于点 M. 求证：点 M 在双曲线1 925 22 = yx 上. B1 x y (5,0)(4,0) (-4,0)(-5,0) O A2 F1F2 B2 A1 19 （本小题满分 14 分） 有三个新兴城镇，分别位于 A，B，C 三点处，且 AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建 一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处
9、， （建立坐标系 如图） （）若希望点 P 到三镇距离的平方和为最小， 点 P 应位于何处？ （）若希望点 P 到三镇的最远距离为最小， 点 P 应位于何处？ x y B(-b,0) P C(b,0) O A 20 （本小题满分 14 分） 设)(xfy =是定义在区间 1 , 1上的函数，且满足条件： （i）; 0) 1 () 1(=ff （ii）对任意的. | )()(|,1 , 1,vuvfufvu都有 （）证明：对任意的;1)(1,1 , 1xxfxx都有 （）判断函数 + = 1 , 0,1 )0 , 1,1 )( xx xx xg是否满足题设条件； （）在区间1，1上是否存在满足题
10、设条件的函数)(xfy =，且使得对任意的 .| )()(|,1 , 1,vuvfufvu=都有 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由. 绝密启用前 2003 年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（文史类） （北京卷）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 50 分. 1A 2D 3A 4A 5D 6B 7C 8B 9B 10C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 113 12)();(xgxf 13)4(36 2 =xy 14 4 4 + 三、解答题：本大题共 6 小题，共 84 分.解答应写出文字说明，证明过程或
11、演算步骤. 15本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分 13 分. （）解：因为xxxxxf 44 sincossin2cos)(= ) 4 2cos(22sin2cos 2sin)sin)(cossin(cos 2222 += += xxx xxxxx 所以)(xf的最小正周期. 2 2 =T （）解：因为), 4 2cos(2)( +=xxf所以)(xf的最大值为2,最小值为2 16本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分 13 分. （）解：设数列 n a公差为d，则 ,1233 1321 =
12、+=+daaaa又. 2, 2 1 =da 所以.2nan= （）解：由,323 nn nn nab=得 ,323)22(3432 12nn n nnS+= .323)22(34323 132+ += nn n nnS 将式减去式，得 .32) 13( 332)333(22 112+ =+= nnnn n nnS 所以 .3 2 )31 (3 1+ + = n n n nS 17本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和 逻辑推理能力. 满分 15 分. （）证法一：点 D 是正ABC 中 BC 边的中点，ADBC， 又 A1A底面 ABC，A1
13、DBC ，BCB1C1，A1DB1C1. 证法二：连结 A1C1，则 A1C=A1B. 点 D 是正A1CB 的底边中 BC 的中点， A1DBC ，BCB1C1，A1DB1C1. （）解法一：作 DEAC 于 E， 平面 ACC1平面 ABC， DE平面 ACC1于 E，即 DE 的长为点 D 到平面 ACC1的 距离. 在 RtADC 中，AC=2CD= . 2 3 ,aADa= 所求的距离 . 4 3 a AC ADCD DE= = C A B C1 A1 B1 D E 解法二：设点 D 到平面 ACC1的距离为x， 体积 111 ACCDACDC VV = . 2 1 3 1 8 3
14、3 1 11 2 xCCaCCa= , 4 3 ax = 即点 D 到平面 ACC1的距离为 a 4 3 . （）答：直线 A1B/平面 ADC1，证明如下： 证法一：如图 1，连结 A1C 交 AC1于 F，则 F 为 A1C 的中点，D 是 BC 的中点，DFA1B， 又 DF 平面 ADC1，A1B平面 ADC1，A1B平面 ADC1. 证法二：如图 2,取 C1B1的中点 D1，则 ADA1D1，C1DD1B， AD平面 A1D1B，且 C1D平面 A1D1B， 平面 ADC1平面 A1D1B，A1B平面 A1D1B，A1B平面 ADC1. 图（2） 图（1） F C A B C1 A
15、1 B1B1 A1 C1 B A CDD D1 18本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分 15 分. （）解：由图可知,. 3ab, 4, 5 22 =cca所以 该椭圆的方程为 , 1 925 22 =+ yx 准线方程为. 4 25 =x B1 x y (5,0) (0,3) (0,-3) (-5,0) K M P O A2 B2 A1 P1 （）证明：设 K 点坐标)0 ,( 0 x,点 P、P1的坐标分别记为),(),( 0000 yxyx， 其中, 50 0 x则 , 1 925 2 0 2 0 =+ yx 直线 A1P，P1A 的方程分别为：
16、 ),5()5( 00 +=+xyyx ).5()5( 00 =xyyx 式除以式得 , 5 5 5 5 0 0 + = + x x x x 化简上式得, 25 0 x x =代入式得, 5 0 0 x y y = 于是，直线 A1P 与 AP1的交点 M 的坐标为). 5 , 25 ( 0 0 0 x y x 因为 . 1) 25 1 ( 2525 ) 5 ( 9 1 ) 25 ( 25 1 2 0 2 0 2 0 2 0 02 0 = x xxx y x 所以，直线 A1P 与 AP1的交点 M 在双曲线 上1 925 22 =+ yx . 19本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运
17、用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分. （）解：设 P 的坐标为（0，y） ，则 P 至三镇距离的平方和为 .146)4(3)12()25(2)( 222 +=+=yyyyf 所以，当4=y时，函数)(yf取得最小值. 答:点 P 的坐标是).4 , 0( （）解法一：P 至三镇的最远距离为 + + = . |12|25|,12| |,12|25,25 )( 2 22 yyy yyy xg 当 当 由|12|25 2 yy+解得, 24 119 y记, 24 119 * =y于是 + = .|,12| ,25 )( * *2 yyy yyy xg 当 当 因为 2 25y+ 在)
18、, * +y上是增函数，而y,(-|12| * 在y 上是减函数. 所以 * yy =时,函数)(yg取得最小值. 答:点 P 的坐标是); 24 119 , 0( 解法二：P 至三镇的最远距离为 + + = . |12|25|,12| |,12|25,25 )( 2 22 yyy yyy xg 当 当 由|12|25 2 yy+解得, 24 119 y记, 24 119 * =y于是 + = .|,12| ,25 )( * *2 yyy yyy xg 当 当 函数)(ygx =的图象如图)(a，因此， 当 * yy =时，函数)(yg取得最小值.答:点 P 的坐标是); 24 119 , 0
19、( 解法三：因为在ABC 中，AB=AC=13,且， (b)., 4 ,512 22 如图 =ACBOCOCAC 所以ABC 的外心 M 在线段 AO 上,其坐标为) 24 119 , 0(, 且 AM=BM=CM. 当 P 在射线 MA 上，记 P 为 P1；当 P 在射线 MA 的反向延长线上，记 P 为 P2， 这时 P 到 A、B、C 三点的最远距离为 P1C 和 P2A，且 P1CMC，P2AMA，所以点 P 与外心 M 重合时，P 到三镇的最远距离最小. 答:点 P 的坐标是); 24 119 , 0( 20本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的
20、能力.满分 14 分. （）证明：由题设条件可知，当 1 , 1x时，有,1| 1| ) 1 ()(| )(|xxfxfxf= 即.1)(1xxfx （）答：函数)(xg满足题设条件.验证如下：).1 (0) 1(gg= 对任意的 1 , 1,vu， 当|;| )1 ()1 ( | )()(|,0,1, uvuvuvgugv=有时 当|;| )()(|,01- , uvuvgugv=同理有时 当0,uv不妨设,1 , 0(),0 , 1vu 有. | )1 ()1 ( | )()(|uvvuvuvgug+=+= 所以，函数)(xg满足题设条件. （）答：这样满足的函数不存在.理由如下： 假设存在函数)(xf满足条件，则由, 0) 1 () 1(=ff得, 0| ) 1() 1 (|= ff 由于对任意的 1 , 1,vu，都有. | )()(|vuvfuf= 所以，. 2| ) 1(1| ) 1() 1 (|= ff 与矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.
