1、 2004 年普通高等学校春季招生考试数学（文史） （北京卷）年普通高等学校春季招生考试数学（文史） （北京卷） 一. 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 奎屯 王新敞 新疆在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 奎屯 王新敞 新疆 1. 在函数yxyxyxytg x =sinsincos2 2 ，中，最小正周期为的函数是（ ） A. yx= sin2 B. yx= sin C. yx= cos D. ytg x = 2 2. 当m1时，复数zmi=+21()在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.
2、 双曲线 xy 22 49 1=的渐近线方程是（ ） A. yx= 3 2 B. yx= 2 3 C. yx= 9 4 D. yx= 4 9 4. 一个圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 5. 已知sin()cos()+00，则下列不等关系中必定成立的是（ ） A. sin 0，cos 0 B. sincos00， C.sincos00， D. sincos00， 6. 在抛物线ypx 2 2=上，横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5，则 p 的值为（ ） A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 4 7. 已知
3、 a，b，c，d 均为实数，有下列命题： 若abbcad00， 则 c a d b 0； 若ab c a d b 00， 则bcad 0 若bcad c a d b 00，则ab 0 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体， 在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ） A. 77cm B. 7 2cm C. 5 5cm D. 10 2cm 9. 在 100 件产品中有 6 件次品，现从中任取 3 件产品，恰有 1 件次品的不同取法的种数是（ ） A. C C 6
4、 1 94 2 B. C C 6 1 99 2 C. P P 6 1 94 2 D. CC 100 3 94 3 10. 期中考试以后，班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均分为 M，如果把 M 当成一个同学的分数， 与原来的 40 个分数一起，算出这 41 个分数的平均值为 N，那么 M:N 为（ ） A. 40 41 B. 1 C. 41 40 D. 2 二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 11. 直线xya+=30（a 为实常数）的倾斜角的大小是_ 奎屯 王新敞 新疆 12. sin()sin() cos + 303
5、0 的值为_ 奎屯 王新敞 新疆 13. 若fx 1( ) 为函数f xx( )lg()=1的反函数，则fx 1( ) 的值域是_ 奎屯 王新敞 新疆 14. 若直线mxny+=30与圆xy 22 3+=没有公共点，则 m，n 满足的关系式为_；以 （m，n）为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆 xy 22 73 1+=的公共点有_个 奎屯 王新敞 新疆 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 84 分 奎屯 王新敞 新疆解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 15. （本小题满分 13 分） 解不等式212xx 奎屯 王新敞 新疆 16. （本小题满分 13 分）
6、在ABC中，a，b，c 分别是ABC，的对边长，已知 a，b，c 成等比数列，且acacbc 22 =，求A的大小及 bB c sin 的值 奎屯 王新敞 新疆 17. （本小题满分 15 分） 如图，四棱锥SABCD的底面是边长为 1 的正方形，SD 垂直于底面 ABCD，SB =3 奎屯 王新敞 新疆 （I）求证BC SC； （II）求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小； D AB S C 18. （本小题满分 14 分） 2003 年 10 月 15 日 9 时， “神舟”五号载人飞船发射升空，于 9 时 9 分 50 秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行 奎屯 王新敞 新疆该轨道是
7、以地球的中心F2为一个焦点的椭圆 奎屯 王新敞 新疆选取坐标系如图所 示，椭圆中心在原点 奎屯 王新敞 新疆近地点 A 距地面 200km，远地点 B 距地面 350km 奎屯 王新敞 新疆已知地球半径 R6371km 奎屯 王新敞 新疆 （I）求飞船飞行的椭圆轨道的方程； （II）飞船绕地球飞行了十四圈后，于 16 日 5 时 59 分返 回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约 6105km，问飞船巡天飞行的平均速度是多少 km/s？ （结果精确到 1km/s） （注：km/s 即千米/秒） 19. （本小题满分 15 分） 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为 40 元，出厂
8、单价定为 60 元 奎屯 王新敞 新疆该 厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就 降低 0.02 元 奎屯 王新敞 新疆根据市场调查，销售商一次订购量不会超过 500 件 奎屯 王新敞 新疆 （I）设一次订购量为 x 件，服装的实际出厂单价为 P 元，写出函数Pf x=( )的表达式； （II）当销售商一次订购了 450 件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？ （服装厂售出一件服装的利润实际出厂单价成本） 20. （本小题满分 14 分） 下表给出一个“等差数阵” ： 4 7 （ ） （ ） （ ） a j1 7 12 （ ） （ ）
9、（ ） a j2 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） a j3 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） a j4 ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 aij 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第 i 行第 j 列的数 奎屯 王新敞 新疆 （I）写出a45的值； （II）写出aij的计算公式以及 2008 这个数在等差数阵中所在的一个位置 奎屯 王新敞 新疆 B y F1OF2 A x 2004 年普通高等学校春季招生考试数学试题（文史） （北京卷）参考解答 一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算 奎屯 王新敞 新疆每小题 5 分，满分 50 分 奎屯 王新敞 新疆 1.
10、 A 2. D 3. A 4. C 5. B 6. C 7. D 8. C 9. A 10. B 二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算 奎屯 王新敞 新疆每小题 4 分，满分 16 分 奎屯 王新敞 新疆 11. 30 12. 1 13. ()1，+ 14. 03 22 +mn 2 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 84 分 奎屯 王新敞 新疆解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 15. 本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分 13 分 奎屯 王新敞 新疆 解：原不等式的解集是下面不等式组(1)及(2)的解集的并集： 210
11、20 1 x x ( ) 或 210 20 212 2 2 x x xx () ( ) 解不等式组(1)得解集 |xx 1 2 2 解不等式组(2)得解集 |xx25 所以原不等式的解集为 |xx 1 2 5 16. 本小题主要考查解斜三角形等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 13 分 奎屯 王新敞 新疆 解： （I）abc， ，成等比数列 =bac 2 又acacbc 22 = +=bcabc 222 在ABC中，由余弦定理得 cosA bca bc bc bc = + = 222 22 1 2 =A60 （II）解：在ABC中，由正弦定理得sin
12、 sin B bA a = bacA 2 60=， = = bB c b ca sinsin sin 2 60 60 3 2 17. 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 奎屯 王新敞 新疆 满分 15 分 奎屯 王新敞 新疆 （I）证明：如图 1 D AB S C 图 1 底面 ABCD 是正方形 BC DC SD底面 ABCD DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影 由三垂线定理得BC SC （II）解： SD底面 ABCD，且 ABCD 为正方形 可以把四棱锥SABCD补形为长方体A B C SABCD 111 ，如图 2 面 ASD
13、 与面 BSC 所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角， SC BCBCA S SC A S ，/ / 1 1 又SD A S 1 CSD为所求二面角的平面角 在Rt SCB中，由勾股定理得SC =2 在Rt SDC中，由勾股定理得SD =1 =CSD45 即面 ASD 与面 BSC 所成的二面角为45 C1 C A D B A1 S B1 图 2 BA D S l C 图 3 18. 本小题主要考查椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 14 分 解： （I）设椭圆的方程为 x a y b 2 2 2 2 1+= 由题设条件得 acOAOFF A
14、 acOBOFF B =+= +=+=+= | | | | | | 22 22 63712006571 63713506721 解得ac=664675， 所以a244169316= bacac ac 222 6721657144163691=+=()() 所以椭圆的方程为 xy 22 4416931644163691 1+= （注：由4416369166455768.得椭圆的方程为 xy 2 2 2 2 664666456 1+= . ，也是正确的 奎屯 王新敞 新疆） （II）从 15 日 9 时到 16 日 6 时共 21 个小时，合 213600 秒 减去开始的 9 分 50 秒，即 9
15、6050590（秒） ，再减去最后多计的 1 分钟，共减去 59060650 （秒） 得飞船巡天飞行的时间是 21 360065074950=（秒） 平均速度是 600000 74950 8（千米/秒） 所以飞船巡天飞行的平均速度是 8km/s 奎屯 王新敞 新疆 19. 本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 15 分 解： （I）当0100x时，P = 60 当100500x时，Px x =6000210062 50 .() 所以Pf x x x x xN= ( )() 600100 62 50 100500 （II）设销售商的一次订
16、购量为 x 件时，工厂获得的利润为 L 元，则 LPx xx x x xxN = () () 40 200100 22 50 100500 2 当x = 450时，L =5850 因此，当销售商一次订购了 450 件服装时，该厂获利的利润是 5850 元 奎屯 王新敞 新疆 20. 本小题主要考查等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 14 分 解： （I）a4549= （II）该等差数阵的第一行是首项为 4，公差为 3 的等差数列： aj j1 431=+() 第二行是首项为 7，公差为 5 的等差数列： aj j2 751=+() 第 i 行是首项为431+()i，公差为21i +的等差数列，因此 aiij ijij ij =+ =+ + 431211 2 ()()() 要找 2008 在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数 i，j，使得 22008ijij+ += 所以j i i = + 2008 21 当i =1时，得j = 669 所以 2008 在等差数阵中的一个位置是第 1 行第 669 列 奎屯 王新敞 新疆
