1、人教版八年级数学下册精人教版八年级数学下册精编版课件编版课件 教育部审定教育部审定 使用说明：点击对应使用说明：点击对应 课时，就会跳转到相课时，就会跳转到相 应章节内容，方便使应章节内容，方便使 用。用。 17.1勾股定理 17.2勾股定理的 逆定理 17.1 17.1 勾股定理勾股定理 第一课时第一课时 第二课时第二课时 第三课时第三课时 人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册 勾股定理勾股定理 第一课时第一课时 返回返回 数学家曾建议用这个图作为与“外星人”联系的信号数学家曾建议用这个图作为与“外星人”联系的信号. . 导入新知导入新知 你知道这是你知道这是 为什么吗？为什么吗？
2、 1. 了解了解勾股定理勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的发现过程，掌握勾股定理 的内容，会用面积法证明勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理. 2. 能用勾股定理解决一些能用勾股定理解决一些简单问题简单问题. 素养目标素养目标 3. 通过利用勾股定理解决简单问题，通过利用勾股定理解决简单问题，体会体会数形结数形结 合合的思想的思想. 相 传 两 千 五 百 年 前 ， 一 次 毕 相 传 两 千 五 百 年 前 ， 一 次 毕 达 哥 拉 斯 去 朋 友 家 作 客 ， 发 现 达 哥 拉 斯 去 朋 友 家 作 客 ， 发 现 朋 友 家 用 砖 铺 成 的 地 面 反 映 直 朋 友 家
3、 用 砖 铺 成 的 地 面 反 映 直 角 三 角 形 三 边 的 某 种 数 量 关 系 ， 角 三 角 形 三 边 的 某 种 数 量 关 系 ， 同 学 们 ， 我 们 也 来 观 察 一 下 图 同 学 们 ， 我 们 也 来 观 察 一 下 图 案 ， 看 看 你 能 发 现 什 案 ， 看 看 你 能 发 现 什 么 数 量 关 么 数 量 关 系 ？ 系 ？ 探究新知探究新知 知识点 1 勾股定理的认识与证明勾股定理的认识与证明 A B C 2.由由这三个正方这三个正方形形A，B， C的边长构成的等腰直的边长构成的等腰直 角三角形三条边长度之角三角形三条边长度之 间有怎样的特殊
4、关系？间有怎样的特殊关系？ 【思考思考】1.三三个正方形个正方形A，B，C 的面积有什么关系？的面积有什么关系？ SA+SB=SC 探究新知探究新知 （图中每个小方格是（图中每个小方格是1个单位面积）个单位面积） A中含有中含有_个小方格，个小方格，即即 A的面积是的面积是 个单位面积个单位面积 B的的面积面积是是 个单位面积个单位面积 C的面积是的面积是 个单位面积个单位面积 9 9 18 9 A B C 图图1 结论：结论：图图1中三个正方形中三个正方形A， B，C的面积之间的数量关系的面积之间的数量关系 是是: SA+SB=SC 【讨论讨论】1.三个正方形三个正方形A，B，C 的面积有什
5、么关系？的面积有什么关系？ 探究新知探究新知 【讨论讨论】2. SA+SB=SC在图在图2中还成立吗？中还成立吗？ A B C 图图2 2 结论：结论：仍然成立。仍然成立。 A的面积是的面积是 个个单位面积单位面积 B的面积是的面积是 个单位面积个单位面积 C的面积是的面积是 个个单位面积单位面积 25 16 9 （图中每个小方格是（图中每个小方格是1 1个单位面积）个单位面积） 探究新知探究新知 你是怎样得到你是怎样得到 正方形正方形C的面积的面积 的？与同伴交的？与同伴交 流交流流交流 A B B C 问题问题2 式式子子SA+SB=SC能用直角三能用直角三 角形的三边角形的三边a、b、c
6、来表示吗来表示吗? ? 问题问题4 那那么直角三角形三边么直角三角形三边a、b、 c之间的关系式是之间的关系式是: : a a b b c c c b a C B A 至至此，我们在网格中验证了此，我们在网格中验证了: :直角三角形两条直角边上的直角三角形两条直角边上的 正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC a2 + b2 = c2 a2 + b2 = c2 问题问题1 去去掉网格结论会改变吗？掉网格结论会改变吗？ 问题问题3 去去掉正方形结论会改变吗？掉正方形结论会改变吗？ 探究新知探究新知 命题命题1：如果直角三角形的两直角边长分
7、别为：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为斜边长为c， 那么那么a2+b2=c2. a b c 猜猜想：想： 拼拼图证明图证明 是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和 猜想还不能把问题彻底搞清楚猜想还不能把问题彻底搞清楚. . 这就需要我们对一般的直角三角形进行证明下面我们就一这就需要我们对一般的直角三角形进行证明下面我们就一 起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的 探究新知探究新知 以直角三角形的两条直角边以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个
8、正方形，把两为边作两个正方形，把两 个正方形如图个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子的样子.你能你能 做到吗？试试看做到吗？试试看. 赵爽拼图证明法：赵爽拼图证明法： c c 图图1 ab 黄实黄实 朱实朱实 朱实朱实 朱实朱实 朱实朱实 图图2 c c 小组活动小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方 形，拼成一个新的正方形形，拼成一个新的正方形. . 探究新知探究新知 黄实黄实 朱实朱实 朱实朱实 朱实朱实 朱实朱实 b b a a c b a b a b a ba c M M N
9、N P P 剪、拼过程展示：剪、拼过程展示： 探究新知探究新知 “赵爽弦图”赵爽弦图” 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 c a b 探究新知探究新知 S大正方形 大正方形 c2， S小正方形 小正方形 (b-a)2, S大正方形 大正方形 4 S三角形 三角形 S小正方形， 小正方形， 证明：证明： 毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. . 探究新知探究新知 a a a a b b b b c c c a2+b2+2ab=c2+2ab， a2 +b2
10、=c2. 证明：证明：S大正方形 大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形 大正方形=4S直角三角形直角三角形+ S小正方形小正方形 =4 ab+c2 =c2+2ab， 1 2 探究新知探究新知 a a b b c c a2 + b2 = c2. 美国第二十任总统伽菲尔德的美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法总统证法”.”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，如图，图中的三个三角形都是直角三角形， 求证：求证：a2 + b2 = c2. . 证明：证明： )( 2 1 babaS 梯形 2 2 1 2 1 2 1 cababS 梯形 探究新知探究新知 勾股定理勾股定理 如果
11、直角三角形两直角边分别如果直角三角形两直角边分别 为为a、b,斜边为斜边为c，那么，那么 222 abc 即直即直角三角形两直角边的平方和等于角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方. a b c 勾勾 股股 弦弦 a b c 表示为：表示为：RtABC中，中，C=90 则则 222 cba 探究新知探究新知 A B C CB A 勾股定理给出了直角三角形三边之间的关勾股定理给出了直角三角形三边之间的关 系，即两直角边的平方和等于斜边的平方系，即两直角边的平方和等于斜边的平方. . c b a a2 + b2 =c2 a2=c2b2 b2 =c2-a2 探究新知探究新知 22 bca
12、 22 bac 22 acb 公式变形公式变形 1.求求下列图中字母所表示的正方形的面积下列图中字母所表示的正方形的面积. . =625 225 400 A 225 81 B =144 巩固练习巩固练习 在在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为为“勾勾”， 下半部分称为“股”下半部分称为“股”. .我国古代学者把直角三角形较短的直角边我国古代学者把直角三角形较短的直角边 称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. . 勾勾 股股 勾勾2 2+ +股股2 2= =弦弦2 2 探究新知
13、探究新知 小贴士小贴士 例例1 如图，在如图，在RtABC中，中， C=90. . （1）若若a=b=5,求求c; （2）若若a=1,c=2,求求b. 解解： ( (1) )据勾股定理得据勾股定理得 ( (2) )据勾股定理得据勾股定理得 C A B 利用勾股定理求直角三角形的边长利用勾股定理求直角三角形的边长 素养考点素养考点 1 c b a 探究新知探究新知 2222 55505 2;cab 2222 213.bca 2. 设直角三角形的两条直角边长分别为设直角三角形的两条直角边长分别为a和和b，斜边长为斜边长为c. （1）已知已知a=6，c=10，求求b； （2）已知已知a=5，b=12
14、，求求c； （3）已知已知c=25，b=15，求求a. 解：解：由勾股定理得由勾股定理得52+122=c2 c=13 解：解：由勾股定理得由勾股定理得62+b2=102 b=8 解：解：由勾股定理得由勾股定理得a2+152=252 a=20 a c b 巩固练习巩固练习 a b c （1）若）若a：b=1：2 ，c=5, ,求求a; ; （2）若）若b=15，A=30, ,求求a,c. 例例2 在在RtABC中，中， C=90. . 解：解： ( (1) )设设a=x,b=2x,根据根据勾股定理勾股定理建立方程得建立方程得 x2+(2x)2=52， 解得解得 ( (2) ) 因此设因此设a=x
15、,c=2x, ,根据根据勾股定理勾股定理建立方程得建立方程得 (2x)2-x2=152， 解得解得 提示：提示：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时， 要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解. . 探究新知探究新知 勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长 素养考点素养考点 2 5x（舍去）（舍去） 35x（舍去）（舍去） 3.求求出下列直角三角形中未知边的长出下列直角三角形中未知边的长度：度： 6 8 x 5 x 13 解：解：（1）由勾股定理得
16、：由勾股定理得： =36+64 =100 x2=62+82 x=10 x2+52=132 x2=132-52 =169-25 =144 x=12 （2）由勾股定理得：由勾股定理得： 巩固练习巩固练习 1.（2018滨州）在直角三角形中，若勾为滨州）在直角三角形中，若勾为3， ，股为股为4，则弦则弦 为为（ ） A5 B6 C 7 D8 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 A 2.（2019毕节市）如图，点毕节市）如图，点E在正方形在正方形ABCD的边的边AB上，上，若若 EB1，EC2，那么正方形，那么正方形ABCD的面积为（的面积为（ ） A B3 C D5 35 B 1. 若若
17、一个直角三角形的两边长分别一个直角三角形的两边长分别为为3和和4， 则第三边的长为（则第三边的长为（ ） A.7或或1 B. C. 5或或 D.15或或12 2.若一个直角三角形的斜边长为若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为，一条直角边长为15，则另，则另 一直角边长为（一直角边长为（ ） A.8 B.40 C.50 D.36 3.在在RtABC中，中，C=90，若，若ab=34，c=100，则，则 a= _，b = _. . 13 C A 60 80 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 7 A B C D 7cm 4如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是
18、直角三角如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为形，其中最大的正方形的边长为7cm, ,则正方形则正方形A，B，C，D的的面面 积积之和为之和为_cm2 49 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 在在RtABC中中，AB4，AC3，求，求BC的长的长. . 解：解：本题斜边不确定，需分类讨论：本题斜边不确定，需分类讨论： 当当AB为斜边时，如图为斜边时，如图， 当当BC为斜边时，如图为斜边时，如图， 4 3 A C B 4 3 C A B 22 437;BC 22 435.BC 图图 图图 提示：提示：当直角三角形中所给的两条边没
19、有指明是斜边或直角边当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边 时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下 一定要进行分类讨论，否则容易丢解一定要进行分类讨论，否则容易丢解. . 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 已知已知ACB=90,CDAB,AC=3,BC=4.求求CD的长的长. . 解：解：由勾股定理可得由勾股定理可得 AB2=AC2+BC2=25，即，即 AB=5. . 根根据三角形面积公式，据三角形面积公式， ACBC= ABCD. CD= . A D B C 3 4 1 2 1 2 12
20、5 提示：提示：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的 积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 勾股定理勾股定理 内 容内 容 在在RtABC中中， C=90,a,b为为 直角边，直角边，c为斜边，则有为斜边，则有a2+b2=c2. 注 意注 意 在在直角直角三角形中三角形中 看清哪个角是直角看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还已知两边没有指明是直角边还 是斜边时一定要是斜边时一定要分类讨论分类讨论 课堂小结课堂小结 证
21、 明证 明 构造直角三角形解决实际问题构造直角三角形解决实际问题 第二课时第二课时 返回返回 这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题. . 导入新知导入新知 波平如镜一湖面，波平如镜一湖面，3尺高处出红莲尺高处出红莲. 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边. 离开原处离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲尺远，花贴湖面像睡莲. 请君动脑想一想，湖水在此深几尺？请君动脑想一想，湖水在此深几尺？ 2. 能应用勾股定理解决能应用勾股定理解决简单的简单的实际问题实际问题. . 1. 能应用勾股定理计算直角三角形的能应用勾股定理计算直角三角形的边
22、长边长. 素养目标素养目标 3. 从实际问题中从实际问题中构造直角三角形构造直角三角形解决生产解决生产、生活中、生活中 的有关问题的有关问题. 一个门框的尺寸如图所示，一块一个门框的尺寸如图所示，一块 长长3 m，宽，宽2.2 m的长方形薄木板能否的长方形薄木板能否 从门框内通过？为什么？从门框内通过？为什么？ 已知条件有哪些？已知条件有哪些？ 探究新知探究新知 知识点 1 勾股定理解决线段长度问题勾股定理解决线段长度问题 【思考思考】 1.木板能横着或竖着从门框通过吗？木板能横着或竖着从门框通过吗？ 2.这个门框能通过的最大长度是多少？这个门框能通过的最大长度是多少？ 不能不能 3.怎样判定
23、这块木板能否通过木框？怎样判定这块木板能否通过木框？ 求出求出斜边的长斜边的长，与木板的宽比较，与木板的宽比较. . 探究新知探究新知 小小于于AC即即可可 解：解：在在RtABC中，根据勾股定理，中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5 AC= 2.24 因因为为AC大于木板的宽大于木板的宽2.2 m，所所 以木板能从门框内通过以木板能从门框内通过 5 探究新知探究新知 1.如图，池塘边有两点如图，池塘边有两点A，B，点点C是与是与BA方向成直角的方向成直角的AC 方向上一点，测得方向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求求A，B两点间的距两点间的距 离（结果取整数）
24、离（结果取整数）. 解解: : 巩固练习巩固练习 22 ABBCAC 22 2060 240 57m 如如图，一架图，一架2.6米长的梯子米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙斜靠在一竖直的墙 AO上，这时上，这时AO 为为2.4米米 （1）求梯子的底端）求梯子的底端B距墙角距墙角O多少米？多少米？ （2）如果梯子的顶端）如果梯子的顶端A沿墙下滑沿墙下滑0.5 米，那么梯子底端米，那么梯子底端B也外移也外移0.5米吗？米吗？ 知识点 2 勾股定理解决线段移动问题勾股定理解决线段移动问题 探究新知探究新知 C O D B A （2）在）在RtCOD中，根据勾股定理，中，根据勾股定理， OD2=CD2-
25、OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15. . 解：解：（1）在）在RtAOB中，根据勾股定理，中，根据勾股定理， OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1. OB=1. 探究新知探究新知 答：答：梯子的底端梯子的底端B距墙角距墙角O为为1米米. . 答：答：梯子底端梯子底端B也外移约也外移约0.77米米. 77. 115. 3OD 77. 0177. 1OBODBD 2.我国古代数学著作我国古代数学著作九章算术九章算术中的一个问题，原文是：今中的一个问题，原文是：今 有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐， 水
26、深、葭长各几何？请用学过的数学知识回答这个问水深、葭长各几何？请用学过的数学知识回答这个问题题. . 译：有一个水池，水面是一译：有一个水池，水面是一个边个边 长为长为10尺的正方形，在水池正中尺的正方形，在水池正中 央有一根芦苇，它高出水面一央有一根芦苇，它高出水面一尺尺. . 如如果把这根芦苇拉向水池一边的果把这根芦苇拉向水池一边的 中点，它的顶端恰好到达池边的中点，它的顶端恰好到达池边的 水面。这个水池的深度与这根芦水面。这个水池的深度与这根芦 苇的长度分别是多少？苇的长度分别是多少？ A B C 巩固练习巩固练习 A B C 解解：设设AB=x,则则AC=x+1， 有有 AB2+BC2
27、=AC2， 可列方程，得可列方程，得 x2+52=（x1）2 ， 解方程得解方程得x=12. . 因此因此x+1=13 巩固练习巩固练习 答：答：这个水池的深度这个水池的深度是是12尺，尺， 这根芦苇的长度是这根芦苇的长度是13尺尺. . 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 C 1.（2018东营）东营）如图所示，圆柱的高如图所示，圆柱的高AB=3， ，底面直径底面直径BC=3， 现在有一只蚂蚁想要从现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它处捕食，则它 爬行的最短距离是爬行的最短距离是（ ） A B C D 1323 2 43 2 2 13 解析
28、：解析：把圆柱侧面展开，展开图把圆柱侧面展开，展开图如图如图所示，点所示，点A、C的最短距离的最短距离 为线段为线段AC的长的长 2 43 ) 2 3 (3 2 22 在在RtADC中，中，ADC=90，CD=AB=3，AD 为底面半圆弧长，为底面半圆弧长，AD=1.5，所以，所以AC= ， 故选：故选：C 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 5 2.（2019南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长 为为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至 少有少有_cm 解析：解
29、析：由题意可得：杯子内的筷子长由题意可得：杯子内的筷子长度最长为度最长为： 15， 则筷子露在杯子外面的筷子长则筷子露在杯子外面的筷子长度度最少最少为为：20155（cm） 22 912 1.求出下列直角三角形中未知的边求出下列直角三角形中未知的边. . 22BCAC， 13BCAC， AC=8 AB=17 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 A B C 6 10 A B C 8 15 A B C 2 30 A B C 2 45 2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和和8， 则以斜边为边长的正方形的面积为则以斜边
30、为边长的正方形的面积为 . . 15 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3.如图，在平面直角坐标系中有两点如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0) 和和B(0，4)，求这两点间的距离，求这两点间的距离. . 解解：在在RtAOB中中，OA=5，OB=4 41A、B两点间的距两点间的距离为离为 . . AB2OA2+OB252+4241 41AB= . 4.一木杆在离地面一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米米处处. . 木杆折断之前有多高？木杆折断之前有多高？ 解：解：由题意可知，在由题意可知，在RtRPQ中中， PR=3，
31、PQ=4， RQ2PR2+PQ232+4225 RQ5，PR+RQ3+58 木杆折断之前木杆折断之前有有8m高高. . 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 R P Q 5.如图，铁路上如图，铁路上A，B两点相距两点相距25km，C，D为两庄，为两庄，DAAB于于A， CBAB于于B，已知，已知DA=15km, CB=10km，现在要在铁路，现在要在铁路AB上建上建 一个土特产品收购站一个土特产品收购站E，使得，使得C，D两村到两村到E站的距离相等，则站的距离相等，则E站站 应建在离应建在离A站多少站多少km处？处？ C A E B D x 25-x 解：解：设设AE= x
32、km， 根据勾股定理，得根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2 即即 152+x2=102+（25-x）2 答：答：E站应建在离站应建在离A站站10km处处. . x=10 则则 BE=（25-x）km 15 10 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 在在ABC中中，若若AC=15，BC=13，AB边上的高边上的高CD=12，则则 ABC的周长为的周长为( ( ) ) A.32 B.42 C.32或或42 D.以上都不对以上都不对 C 解解析析：如图，如图，CD在在ABC内部时，内部时，AB=AD
33、+BD=9+5=14，此时，此时， ABC的周长的周长=14+13+15=42，如图，如图，CD在在ABC 外部时，外部时， AB=AD-BD=9-5=4，此时，此时，ABC的周长的周长=4+13+15=32.综上所述，综上所述， ABC的周长为的周长为32或或42.故选故选C. 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 如图，边长为如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着出发沿着 正方体的外表面爬到顶点正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（的最短距离是（ ）. . A.3 B . C.2 D.1 A B A B C 2 1 提示：提示： 由于
34、蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）故需把正方体展开成平面图形（如图）. . B 5 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 2 1 化化非直角三角形非直角三角形为直角三角形为直角三角形 将实际问题转化为将实际问题转化为直角三角形模型直角三角形模型 课堂小结课堂小结 勾股定理勾股定理 的应用的应用 利用勾股定理作图或计算 第三课时第三课时 返回返回 欣赏下面海螺的图片：欣赏下面海螺的图片： 在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案， 如第七届国际数学教育大会的会徽如第七届国
35、际数学教育大会的会徽. . 导入新知导入新知 这个图是怎样这个图是怎样 绘制出来的呢？绘制出来的呢？ 2. 能利用勾股定理在数轴上作出表示能利用勾股定理在数轴上作出表示无理数的点无理数的点. 1. 会用勾股定理解决简单的实际问题会用勾股定理解决简单的实际问题，建立，建立数数 形结合形结合的思的思想想. 素养目标素养目标 3.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理 解决相应的解决相应的折叠问题折叠问题. 在在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一 条直角边分别相等的两个直角三角形全等学习了勾股
36、定理后，条直角边分别相等的两个直角三角形全等学习了勾股定理后， 你能证明这一结论吗？你能证明这一结论吗？ 知识点 1 探究新知探究新知 证明证明“HL” 已知：如图，在已知：如图，在RtABC 和和RtAB C中，中， C=C=90，AB=AB ，AC=AC 求证：求证：ABC AB C A B C A B C 22 BCABAC ，=-=- 22 B CA BA C =-=- 证证明：明：在在RtABC 和和RtA B C中中，C=C=90， 根根据勾股定理，得据勾股定理，得 A B C A B C AB=AB , AC=AC , BC=BC ABC A B C （SSS） 探究新知探究新知
37、 -1 0 1 2 3 问题问题1 你能在数轴上表示你能在数轴上表示出出 的点吗？的点吗？ 呢？呢？ 22 用同样的方法作用同样的方法作 呢？呢？ 3, 4, 5, 6, 7 探究新知探究新知 知识点 2 利用勾股定理在数轴上确定无理数利用勾股定理在数轴上确定无理数 提示：提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数 轴上画出表示该无理数的点轴上画出表示该无理数的点. . 【讨论讨论】根根据上面问题你能在数轴上画出表示据上面问题你能在数轴上画出表示 的的点吗？点吗？ 13 1 13 2 13 3 13? ? ? 问题问题2 长长为为 的
38、的线段能是直角边的长都为正整数的直角三线段能是直角边的长都为正整数的直角三 角形的斜边吗？角形的斜边吗？ 13 探究新知探究新知 0 1 2 3 4 步骤：步骤： l A B C 1.在数轴上找到点在数轴上找到点A,使使OA=3; 2.作直线作直线lOA,在在l上取一点上取一点B，使，使AB=2; 3.以原点以原点O为圆心，以为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于为半径作弧，弧与数轴交于C 点，则点点，则点C即为表即为表示示 的点的点. 13 3 13 2 O 探究新知探究新知 也可以使也可以使OA=2， AB=3，同样可同样可 以求出以求出C点点. . 探究新知探究新知 方法点拨 利用勾股定
39、理表示无理数的方法利用勾股定理表示无理数的方法: : （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正 数的直角三角形的数的直角三角形的斜边斜边. . （2）以原点为圆心，以）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴无理数斜边长为半径画弧与数轴 存在交点存在交点，在原点，在原点左边的点左边的点表示是负无理数，在原点表示是负无理数，在原点右边右边 的点的点表示是正无理数表示是正无理数. . 0 1 2 3 4 l A B C 1 17 ? 探究新知探究新知 利用勾股定理在数轴上确定无理数的点利用勾股定理在数轴上确定无理数的点 素养考点素养考点
40、1 例例1 在在数轴上作出表数轴上作出表示示 的点的点. . 17 作作法法： （1）在数轴上找到点在数轴上找到点A，使，使OA=1； （2）过点过点A作直线垂直于作直线垂直于OA，在直线上在直线上取点取点B, 使使AB=4，那么，那么OB= ； （3）以原点以原点O为圆心，以为圆心，以OB为半径作为半径作 弧，弧与数轴交于点弧，弧与数轴交于点C，则，则OC= . 如如图，在数轴上，点图，在数轴上，点C为表示为表示 的点的点. 17 17 17 1.如图，点如图，点A表示的实数是表示的实数是 （ ） 2.如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以在数轴上，若
41、以 点点A为圆心，对角线为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于的长为半径作弧交数轴于点点M，则点则点M 表示的数为（表示的数为（ ） A.2 B. 51 C. 101 D. 5 C A. 3 B. 5 C.3 D.5 D 巩固练习巩固练习 在在55的正方形网格中，每个小正方形的边长都为的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请，请 在给定网格中以在给定网格中以A出发分别画出长度为出发分别画出长度为 的线段的线段AB 25, 8， 2AB5AB8AB B B B 探究新知探究新知 知识点 3 利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段 A . A . A
42、 . A 【想想一一想想】如如图为图为44的正方形网格的正方形网格, ,以格点与点以格点与点A为端为端 点点, ,你能画出几条边长为你能画出几条边长为 的线段的线段? ? 10 探究新知探究新知 小结：小结：勾股定理与网勾股定理与网 格的综合求线段长时，格的综合求线段长时， 通常是把线段放在与通常是把线段放在与 网格构成的直角三角网格构成的直角三角 形中，利用勾股定理形中，利用勾股定理 求其长度求其长度. . 例例2 如图是由如图是由4个边长为个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻的正方形构成的田字格，只用没有刻 度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度度的直尺在这个田字格中最多可以作
43、出多少条长度为为 的线段？的线段？ 5 解：解：如图所示，有如图所示，有8条条. . 素养考点素养考点 1 利用勾股定理在网格上作线段利用勾股定理在网格上作线段 探究新知探究新知 一个点一个点地一个点一个点地 找，不要漏解找，不要漏解. . 3.如图，在如图，在55正方形网格中，每个小正方形的正方形网格中，每个小正方形的 边边长均长均为为1，画出一个三角形的长分别为，画出一个三角形的长分别为 . 2 210、 、 A B C 解：解：如图所示如图所示. . 巩固练习巩固练习 A B 如如图，四边形图，四边形ABCD是边长为是边长为9的正方形纸片，将其沿的正方形纸片，将其沿MN折折 叠，使点叠，
44、使点B落在落在CD边上的边上的B处，点处，点A的对应点为的对应点为A，且，且BC3， 求求AM的长的长. . 解：解：连接连接BM，MB.设设AMx， 在在RtABM中，中，AB2AM2BM2. 在在RtMDB中，中，MD2DB2=MB2. MBMB，AB2AM2MD2DB2， 即即92x2(9x)2(93)2， 解得解得x2.即即AM2. 知识点 4 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度 探究新知探究新知 探究新知探究新知 方法点拨 折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法: : ( (1) )设一条设一条未知未知线段的长为
45、线段的长为x( (一般设所求线段的长为一般设所求线段的长为x) )； ( (2) )用用已知已知线段或线段或含含x的代数式的代数式表示出其他线段长；表示出其他线段长； ( (3) )在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的的 方程方程； ( (4) )解这个方程，从而求出所求解这个方程，从而求出所求线段长线段长. . 4. 如图，折叠长方形如图，折叠长方形ABCD的一边的一边AD，使点，使点D落在落在BC边的边的 F点处，若点处，若AB=8cm，BC=10cm，求，求EC的长的长. . D D A A B B C C E E F F 解：解：在在RtABF中中,由勾股定理由勾股定理得得 BF2=AF2 AB2=10282=36， BF=6cm.CF=BCBF=4. 设设EC=xcm，则，则EF=DE=(8x)cm ， 在在RtECF中中,根据勾股定理根据勾股定理 得得x2+ 42=(8x)2
