1、1717 勾股定理勾股定理17.1 勾股定理第二课时 勾股定理在实际生活中的应用课 时 目 标课 时 目 标1.1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题。问题。2.2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长。之间的联系，并进一步求出未知边长。探 究 新 知探 究 新 知勾股定理的简单实际应用勾股定理的简单实际应用例例1 1 一个门框的尺寸如图所示，一块长一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,3m,宽宽2.
2、2m2.2m的的长方形薄木板能否从门框内通过长方形薄木板能否从门框内通过?为什么为什么?2m2m1m1mA AB BD DC C分析分析：可以可以看出，木板看出，木板横着，竖着都不能通横着，竖着都不能通过，只能斜着过，只能斜着.门框门框ACAC的长度是斜着能的长度是斜着能通过的最大长度，只要通过的最大长度，只要ACAC的长大于木的长大于木板的宽就能通过板的宽就能通过.探 究 新 知探 究 新 知解：在解：在RtRtABCABC中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，ACAC2 2=ABAB2 2+BCBC2 2=1=12 2+2+22 2=5=5 52.24.AC 因为因为ACAC大于木板的宽大于
3、木板的宽2.2m,2.2m,所以木板能从门框内通过所以木板能从门框内通过.探 究 新 知探 究 新 知例例2 2 如图，一架如图，一架2.6m2.6m长的梯子长的梯子ABAB斜斜靠在一竖直的墙靠在一竖直的墙AOAO上，这时上，这时AOAO为为2.4m.2.4m.如果梯子的顶端如果梯子的顶端A A沿墙下滑沿墙下滑0.5m,0.5m,那么梯子底端那么梯子底端B B也外移也外移0.5m0.5m吗吗?探 究 新 知探 究 新 知解：在解：在RtRtABCABC中，根据勾股定理得中，根据勾股定理得OBOB2 2=ABAB2 2-OAOA2 2=2.6=2.62 2-2.4-2.42 2=1=1，OB O
4、B=1.=1.在在RtRtCODCOD中，根据勾股定理得中，根据勾股定理得ODOD2 2=CDCD2 2-OCOC2 2=2.6=2.62 2-(2.4-0.5)-(2.4-0.5)2 2=3.15=3.15,3.151.77,OD1.7710.77.BDODOB 梯子的顶端沿墙下滑梯子的顶端沿墙下滑0.5m0.5m时，梯子底端并不是也时，梯子底端并不是也外移外移0.5m0.5m，而是外移约，而是外移约0.77m.0.77m.探 究 新 知探 究 新 知例例3 3 在一次台风的袭击中，小在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面明家房前的一棵大树在离地面6 6米处断裂，树的顶部落在离树根
5、米处断裂，树的顶部落在离树根底部底部8 8米处米处.你能告诉小明这棵树你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？折断之前有多高吗？6 6米米 8 8 米米探 究 新 知探 究 新 知6 6米米 8 8 米米ACB解：根据题意可以构建一直角解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图三角形模型，如图.在在RtRtABCABC中中，ACAC=6=6米，米，BCBC=8=8米，米，由勾股定理得由勾股定理得22226810.ABACBC米这棵树在折断之前的高度是这棵树在折断之前的高度是10+6=1610+6=16（米）（米）.探 究 新 知探 究 新 知归纳总结归纳总结利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：利用
6、勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1 1）读懂题意，分析已知、未）读懂题意，分析已知、未知间的关系；知间的关系；（2 2）构造直角三角形；）构造直角三角形；（3 3）利用勾股定理等列方程；）利用勾股定理等列方程；（4 4）解决实际问题）解决实际问题.数学问题数学问题直角三角形直角三角形勾股定理勾股定理实际问题实际问题转化转化构构建建利用利用解解决决巩 固 练 习巩 固 练 习1.1.湖的两端有湖的两端有A A、B B两点，从与两点，从与BABA方向成直角的方向成直角的BCBC方向方向上的点上的点C C测得测得CACA=130=130米米,CBCB=120=120米米,则则ABAB为为 ()A.
7、50A.50米米 B.120B.120米米 C.100C.100米米 D.130D.130米米A AA AB BC C130130120120?巩 固 练 习巩 固 练 习C CA AB B2.2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为如图，学校教学楼前有一块长方形长为4 4米，宽为米，宽为3 3米的米的草坪，有极少数人为了避开拐角走草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径捷径”，在草坪内走，在草坪内走出了一条出了一条“径路径路”，却踩伤了花草，却踩伤了花草.（1 1）求这条）求这条“径路径路”的长；的长；（2 2）他们仅仅少走了几步）他们仅仅少走了几步(假设假设2 2步为步为1 1米米)？巩 固 练
8、 习巩 固 练 习（2 2）他们仅仅少走了）他们仅仅少走了 (3+4-5)3+4-5)2=4(2=4(步步).).解：（解：（1 1）在）在RtRt ABCABC中中，根据，根据勾股定理得勾股定理得 这条这条“径路径路”的长为的长为5 5米米.22345AB 米，-2-2探 究 新 知探 究 新 知利用勾股定理求两点距离及利用勾股定理求两点距离及验证验证“HL”HL”A A2 21 1-4-4-3-3-1-1-1-12 23 31 14 45 5例例4 4 如如图，在平面直角坐标图，在平面直角坐标系中有两点系中有两点A A(-3,5(-3,5),),B B(1,2(1,2)求求A A,B B两
9、点间的距离两点间的距离.y yO Ox x3 3B BC C探 究 新 知探 究 新 知解：如图，过点解：如图，过点A A作作x x轴的垂线轴的垂线,过点过点B B作作x x,y y轴的垂线轴的垂线.相交于点相交于点C C,连接连接ABAB.ACAC=5-2=3=5-2=3，BCBC=3+1=4=3+1=4，在在RtRtABCABC中，由勾股定理得中，由勾股定理得A A,B B两点间的距离为两点间的距离为5.5.225.ABACBC方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点任意两点2211222121,.A x yB xyABxxyy则
10、探 究 新 知探 究 新 知思考思考 在在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等学斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？已知已知：如图，在：如图，在RtRtABCABC 和和RtRtA A B B C C 中，中，C C=C C =90=90，ABAB=A AB B，ACAC=A AC C求证求证：ABCABCA A B B C CA A B B C C A AB BC C探 究 新 知探 究 新 知证明证明：在：在RtRtABCA
11、BC 和和RtRtA A B B C C 中，中，C C=C C=90=90，根据根据勾股定理得勾股定理得22.B CA BA C ,ABAB ACAC .BCB C(SSS).ABCA B C 22BCABAC，=-=-探 究 新 知探 究 新 知利用勾股定理求最短距离利用勾股定理求最短距离问题问题 在在A A点的点的小猫，小猫，为了尽快吃到为了尽快吃到B B点点的的鱼鱼，它选择它选择A A B B 路线，而不选择路线，而不选择A A C C B B路线，难道路线，难道小猫小猫也也懂数学？懂数学？在在立体图形中，立体图形中，怎么寻找最短线怎么寻找最短线路呢？路呢？AC+CB ABAC+CB
12、AB（两点之间线段最短）（两点之间线段最短）C CB BA A探 究 新 知探 究 新 知问题问题 在在一个圆柱石凳上，一个圆柱石凳上，若蚂蚁在若蚂蚁在A A处，食物在处，食物在B B处，处，于是它想从于是它想从A A处爬向处爬向B B处，蚂蚁怎么走最近？处，蚂蚁怎么走最近？B BA A探 究 新 知探 究 新 知B BA Ad dA AB BAAA AB BB BA AO O蚂蚁蚂蚁走哪一条路线最近？走哪一条路线最近？AA 蚂蚁蚂蚁A A B B 的的路线路线根据两点之间线段最根据两点之间线段最短短,知知第一个路线最近第一个路线最近.探 究 新 知探 究 新 知若若已知圆柱体高为已知圆柱体高
13、为12 cm12 cm，底面半径为，底面半径为3 cm3 cm，取取3.3.侧面展开图侧面展开图B BA A3 3O O1212A A 解解：在：在RtRtABAABA中，由勾股定理得中，由勾股定理得2222123 315.ABAABA1212A AB BA A 33探 究 新 知探 究 新 知立体图形中求两点间的最短距离，一般把立立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线点之间线段最短确定最短路线.探 究 新 知探 究 新 知例例5 5 有有一个圆柱形油罐，要以一个圆柱形油罐，要以A A点环绕油
14、罐建梯子，点环绕油罐建梯子，正好建在正好建在A A点的正上方点点的正上方点B B处，问梯子最短需多少米处，问梯子最短需多少米(已已知油罐的底面半径是知油罐的底面半径是2 m2 m，高，高ABAB是是5 m5 m，取取3 3）?A AB BA AB BA A B B 探 究 新 知探 究 新 知解：油罐的展开图如图，则解：油罐的展开图如图，则ABAB 为梯子的最短距离为梯子的最短距离.AAAA=2=23 32=12,2=12,A AB B=5=5,ABAB=13=13.即梯子最短需即梯子最短需1313米米.立体图形立体图形平面图形平面图形转化转化展开展开探 究 新 知探 究 新 知例例6 6 如
15、图，一个牧童在小河的南如图，一个牧童在小河的南4km4km的的A A处牧马，而他正位于他的小屋处牧马，而他正位于他的小屋B B的的西西8km8km北北7km7km处，他想把他的马牵到小处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家他要完成这河边去饮水，然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是多少？件事情所走的最短路程是多少？牧童牧童A A小屋小屋B B东东北北探 究 新 知探 究 新 知解：如图，解：如图，作出点作出点A A关于河岸的对称点关于河岸的对称点A A，连接连接A AB B则则A AB B就是最短路线就是最短路线.由题意得由题意得A AC C=4+4+7=15(km)=4+4+7=15(
16、km)，BCBC=8km.=8km.在在RtRtA ADBDB中，由勾股定理得中，由勾股定理得2215817.A B 牧童牧童A A小屋小屋B B东东北北AAC C探 究 新 知探 究 新 知求求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径再运用勾
17、股定理求最短路径.探 究 新 知探 究 新 知如图，是一个边长为如图，是一个边长为1 1的正方体硬纸盒，现在的正方体硬纸盒，现在A A处有处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B B处吃食物，处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少求蚂蚁爬行的最短距离是多少.A AB B2 21 1A AB BC C探 究 新 知探 究 新 知解：由题意得解：由题意得ACAC=2 2，BC BC=1 1,在在RtRtABCABC中，由勾股定理得中，由勾股定理得 AB AB =AC AC +BC BC=2 2+1 1=5=5AB AB=，即最短路程为即最短路程为 .55巩 固 练
18、习巩 固 练 习1.1.从电杆上离地面从电杆上离地面5m5m的的C C处向地面拉一条长为处向地面拉一条长为7m7m的钢的钢缆，则地面钢缆缆，则地面钢缆A A到电线杆底部到电线杆底部B B的距离是的距离是（）A A.24.24m m B B.12m 12m C C.m m D D.cm cm 742 6D DC C巩 固 练 习巩 固 练 习2.2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是笔筒的内部底面直径是9cm9cm，内壁高，内壁高12cm12cm，则这只铅笔的长度可能是（）则这只铅笔的长度可能是（）A A.9cm B9cm B.12cm 12cm
19、 C C.15cm 15cm D D.18cm 18cm D D巩 固 练 习巩 固 练 习3.3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于于55cm55cm，10cm10cm和和6cm6cm，A A和和B B是这个台阶的两个相对的端点，是这个台阶的两个相对的端点，A A点上有一只蚂蚁，点上有一只蚂蚁，想想吃吃B B点点的的食物。这食物。这只蚂蚁从只蚂蚁从A A点出发，沿点出发，沿着台阶面爬到着台阶面爬到B B点，最短线路是多少？点，最短线路是多少？B BA A巩 固 练 习巩 固 练 习解：台阶的展开图如图，连接解：台阶的展开图如
20、图，连接ABAB.在在RtRtABCABC中，根据勾股定理得中，根据勾股定理得ABAB2 2=BCBC2 2ACAC2 255552 248482 253295329,ABAB=73cm=73cm.A AB BC C巩 固 练 习巩 固 练 习4.4.为为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆已知圆筒的高为筒的高为108cm108cm，其横截面周长为，其横截面周长为36cm36cm，如果在表面均，如果在表面均匀缠绕油纸匀缠绕油纸4 4圈，应裁剪多长的油纸？圈，应
21、裁剪多长的油纸？巩 固 练 习巩 固 练 习解：解：如图如图，在，在RtRtABCABC中，中，ACAC36cm36cm，BCBC1081084 427(cm)27(cm)由勾股定理，得由勾股定理，得ABAB2 2ACAC2 2BCBC2 236362 227272 22025202545452 2，ABAB45cm45cm，整个油纸的长为整个油纸的长为45454 4180(cm)180(cm)课 堂 小 结课 堂 小 结勾股定理勾股定理的应用的应用用勾股定理解用勾股定理解决 实 际 问 题决 实 际 问 题用勾股定理解决点的用勾股定理解决点的距离及路径最短问题距离及路径最短问题解决解决“HL”HL”判定方法判定方法证全等的正确性问题证全等的正确性问题
