1、1717 勾股定理勾股定理17.2 勾股定理的逆定理第二课时 勾股定理的逆定理的应用课 时 目 标课 时 目 标1.1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。2.2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题。的数学问题。情 景 导 入情 景 导 入前面前面的学习让我们对的学习让我们对勾股定理及其勾股定理及其逆定理的逆定理的知知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗?a a2 2+b b2 2=c c2 2(a a,b b为直角边，为直角边，c c斜边）斜边）RtRtAB
2、CABC,C C是直角是直角a a2 2+b b2 2=c c2 2(a a,b b为较短边，为较短边，c c为最长边）为最长边）RtRtABCABC，且，且C C是直角是直角.情 景 导 入情 景 导 入8 8填一填填一填：(1)1)已知已知 ABCABC中，中，BCBC=41,=41,ACAC=40,=40,ABAB=9,=9,则此则此三角形为三角形为 三角形三角形，是最大角是最大角.(2)(2)等腰等腰 ABCABC中，中，ABAB=ACAC=10cm=10cm,BC,BC=12cm,=12cm,则则BCBC边上边上的的高是高是 cmcm.直角直角A A前面前面我们已经学会了用勾股定理解
3、决生活中的很多问我们已经学会了用勾股定理解决生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理解决哪些实际问题呢？你题，那么勾股定理的逆定理解决哪些实际问题呢？你能举举例吗？能举举例吗？探 究 新 知探 究 新 知12例例1 1 如图，某港口如图，某港口P P位于东西方向的海岸位于东西方向的海岸线上线上.“.“远航远航”号、号、“海天海天”号轮船同时号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行离开港口，各自沿一固定方向航行,“,“远远航航”号每小时航行号每小时航行1616海里海里,“海天海天”号每号每小时航行小时航行1212海里海里.它们离开港口一个半小它们离开港口一个半小时后分别位于点时后分别位于点Q Q,
4、R R处，且相距处，且相距3030海里海里.如如果知道果知道“远航远航”号沿东北方向航行号沿东北方向航行,能知能知道道“海天海天”号沿哪个方向航行吗？号沿哪个方向航行吗？NEP QR勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理的应用探 究 新 知探 究 新 知问题问题1 1 认真认真审题审题，已知，已知是什么？要解决是什么？要解决的问题的问题是什么？是什么？12NEP QR16161.5=241.5=2412121.5=181.5=183030“远航远航”号的航向、两艘船的一个号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图半小时后的航程及距离已知，如图.实质是要求出两艘船实质是要求出两艘船航向
5、航向所成角所成角.探 究 新 知探 究 新 知问题问题2 2 由于由于我们现在所能得到的都是线段长，要我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？求角，由此你联想到了什么？勾股定理逆定理勾股定理逆定理探 究 新 知探 究 新 知解：根据题意得解：根据题意得PQPQ=16=161.5=24(1.5=24(海里海里),),PRPR=12=121.5=18(1.5=18(海里海里),),QRQR=30=30海里海里.24242 2+18+182 2=30=302 2，即，即PQPQ2 2+PRPR2 2=QRQR2 2,QPRQPR=90=90.由由“远航远航”号沿东北方向航行可知号沿
6、东北方向航行可知1=451=45.2=452=45，即，即“海天海天”号沿西北方向航行号沿西北方向航行.NEP QR12探 究 新 知探 究 新 知解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：1.1.构建构建几何模型几何模型(从整体到局部从整体到局部)；2.2.标注标注有用信息有用信息,明确已知和所求；明确已知和所求；3.3.应用数学应用数学知识求解知识求解.探 究 新 知探 究 新 知【变式题】【变式题】如图，如图，南北方向南北方向PQPQ以东为我国领海，以东为我国领海，以西为公海，晚上以西为公海，晚上1010时时2828分，我边防反偷渡巡逻分，我边防反偷渡巡逻101101号艇在号艇在A A处发
7、现其处发现其正西方向正西方向的的C C处有一艘可疑处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQPQ上上B B处巡处巡逻的逻的103103号艇注意其动向，经检测，号艇注意其动向，经检测，ACAC=10=10海里，海里，BCBC=8=8海里，海里，AB=6AB=6海里，若该船只的速度为海里，若该船只的速度为12.812.8海海里里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？时，则可疑船只最早何时进入我领海？东东北北PABCQD探 究 新 知探 究 新 知分析：分析：根据根据勾股定理的逆定可得勾股定理的逆定可得ABCABC是直角三角形，是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定
8、理及直角三角形的面积然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求公式可求PDPD，然后再利用勾股定理便可求，然后再利用勾股定理便可求CDCD.探 究 新 知探 究 新 知解：解：ACAC=10=10，ABAB=6=6，BCBC=8=8，ACAC2 2=AB=AB2 2+BC+BC2 2，即，即ABCABC是直角三角形是直角三角形.设设PQPQ与与ACAC相交于点相交于点D D，根据，根据三角形三角形面积公式面积公式有有 BCAB=ACBDBCAB=ACBD，即即6 68=108=10BDBD，解得，解得BD=BD=在在RtRtBCDBCD中，中，22222486.4().5CDBCBD海
9、里又又该船只的速度为该船只的速度为12.812.8海里海里/时，时，6.46.412.8=0.512.8=0.5（小时）（小时）=30=30（分钟），（分钟），需要需要3030分钟进入我领海，即最早晚上分钟进入我领海，即最早晚上1010时时5858分分进入我领海进入我领海.24.51212探 究 新 知探 究 新 知例例2 2 一个零件的形状如图一个零件的形状如图所示所示,按规定这个零件中按规定这个零件中A A和和DBCDBC都应为直角都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图如图所示所示,这个零件符合要求吗这个零件符合要求吗?DABC图图DABC435131
10、2图图探 究 新 知探 究 新 知在在BCDBCD中，中，BCDBCD 是直角三角形，是直角三角形，DBCDBC是直角是直角.因此，这个零件符合要求因此，这个零件符合要求.解：在解：在ABDABD中，中，ABDABD 是直角三角形，是直角三角形，A A是直角是直角.巩 固 练 习巩 固 练 习 1.1.A A、B B、C C三地的两两距离如图所示，三地的两两距离如图所示，A A地在地在B B地的正地的正东方向，东方向，C C在在B B地的什么方向？地的什么方向？A AB BC C5cm5cm12cm12cm13cm13cm解：解：BCBC2 2+ABAB2 2=5=52 2+12+122 2=
11、169=169，ACAC2 2=13=132 2=169=169，BCBC2 2+ABAB2 2=ACAC2 2，即即ABCABC是直角三角形，是直角三角形，B B=90=90.答：答：C C在在B B地的正北方向地的正北方向巩 固 练 习巩 固 练 习2.2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABABDCDC8m8m，ADADBCBC6m6m，ACAC9m9m，请你运用所学知识帮他检验一，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？下挖的是否合格？解：解：ABABDCD
12、C8m8m，ADADBCBC6m6m，ABAB2 2BCBC2 28 82 26 62 264643636100.100.又又ACAC2 29 92 28181，ABAB2 2BCBC2 2ACAC2 2，ABCABC9090，该农民挖的不合格该农民挖的不合格探 究 新 知探 究 新 知例例3 3 如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，中，B B9090，ABAB3 3，BCBC4 4，CDCD1212，ADAD13,13,求四边形求四边形ABCDABCD的面积的面积.解析：连接解析：连接ACAC，把四边形分成，把四边形分成两个三角形两个三角形.先用勾股定理求先用勾股定理求出出ACAC的
13、长度，再利用勾股定理的长度，再利用勾股定理的逆定理判断的逆定理判断ACDACD是直角三是直角三角形角形.ADBC341312勾股定理及其逆定理的综合应用勾股定理及其逆定理的综合应用探 究 新 知探 究 新 知解：连接解：连接ACAC.在在RtRtABCABC中，中，在在ACDACD中，中，ACAC2 2+CDCD2 2=5=52 2+12+122 2=169=169=ADAD2 2，ACDACD是直角三角形是直角三角形，且，且ACDACD=90=90.S S四边形四边形ABCDABCD=S SRtRtABCABC+S SRtRtACDACD=6+30=36.=6+30=36.2222345,A
14、CABBC四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是时，它与勾股定理是“黄金搭挡黄金搭挡”，经常配套使用，经常配套使用.探 究 新 知探 究 新 知【变式题【变式题1 1】如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，中，ABABADAD，已知，已知ADAD=3cm=3cm，ABAB=4cm=4cm，CDCD=12cm=12cm，BCBC=13cm=13cm，求四边形，求四边形ABCD ABCD 的面积的面积.CBAD探 究
15、 新 知探 究 新 知解：连接解：连接BDBD.在在RtRtABDABD中中,由勾股定理得由勾股定理得 BDBD2 2=ABAB2 2+ADAD2 2，BDBD=5m=5m.又又 CDCD=12cm=12cm，BCBC=13cm,=13cm,BCBC2 2=CDCD2 2+BDBD2 2，BDCBDC是直角三角形是直角三角形.S S四边形四边形ABCABCD D=S SRtRtBCBCD DS SRtRtA AB BD D=B BD D C CD D A AB B A AD D =(5 512123 34 4)=2424 (c(cm m2 2)121212探 究 新 知探 究 新 知【变式题【
16、变式题2 2】如如图，在四边形图，在四边形ABCDABCD中，中，ACACDCDC，ADCADC的面积为的面积为30 cm30 cm2 2，DCDC12 cm12 cm，ABAB3cm3cm，BCBC4cm4cm，求，求ABCABC的面积的面积.DCBA探 究 新 知探 究 新 知解解:S SACDACD=30 cm=30 cm2 2，DCDC12 cm.12 cm.ACAC=5 cm.=5 cm.又又ABCABC是直角三角形是直角三角形,B B是直角是直角.探 究 新 知探 究 新 知例例4 4 如如图，图，ABCABC中，中，ABAB=ACAC，D D是是ACAC边上的一点，边上的一点，C
17、DCD=1=1，BCBC 5 5，BDBD=2=2（1 1）求证：）求证：BCDBCD是直角三角形；是直角三角形；（2 2）求）求ABCABC的面积的面积探 究 新 知探 究 新 知（1 1）证明：）证明：CDCD=1=1，BCBC 5 5，BDBD=2=2，CDCD2 2+BDBD2 2=BCBC2 2，BDCBDC是直角三角形；是直角三角形；（2 2）解：设腰长）解：设腰长ABAB=ACAC=x x，在在RtRtADBADB中，中，ABAB2 2=ADAD2 2+BDBD2 2，x x2 2=(x x-1-1)2 2+2+22 2，解得解得5.2x 11552.2222ABCSAC BD巩
18、 固 练 习巩 固 练 习1.1.医院、公园和超市的平面示意图医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东如图所示，超市在医院的南偏东2525的方向，且到医院的距离为的方向，且到医院的距离为300m,300m,公园到医院的距离为公园到医院的距离为400m.400m.若若公园到超市的距离为公园到超市的距离为500m,500m,则公园在则公园在医院的北偏东医院的北偏东 的方向的方向.东东医医院院公公园园超市超市北北6565巩 固 练 习巩 固 练 习2.2.五根小木棒，其长度分别为五根小木棒，其长度分别为7 7，1515，2020，2424，2525，现将，现将他们摆成两个直角三角形，
19、其中摆放方法正确的他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（是（）D DA.A.B B.C.C.D D.巩 固 练 习巩 固 练 习3.3.如图，某探险队的如图，某探险队的A A组由驻地组由驻地O O点出发，以点出发，以12km/h12km/h的速度前进，的速度前进，同时，同时，B B组也由驻地组也由驻地O O出发，以出发，以9km/h9km/h的速度向另一个方向前进，的速度向另一个方向前进，2h2h后同时停下来，这时后同时停下来，这时A A，B B两组相距两组相距30km30km此时，此时，A A，B B两组行进的两组行进的方向成直角吗？请说明理由方向成直角吗？请说明理由.解：解：出发出
20、发2 2小时，小时，A A组行了组行了12122=242=24(kmkm)，B B组行了组行了9 92=182=18(kmkm)，又又A A，B B两组相距两组相距3030kmkm，且有且有24242 2+18+182 2=30=302 2，A A，B B两组行进的方向成直角两组行进的方向成直角巩 固 练 习巩 固 练 习4.4.如图，在如图，在ABCABC中，中，ABAB=17=17，BCBC=16=16，BCBC边上的中线边上的中线ADAD=15=15，试说明：，试说明：ABAB=ACAC.解：解：BCBC=16=16，ADAD是是BCBC边上的中线，边上的中线，BDBD=CDCD=BCB
21、C=8=8.在在ABABD D中，中，ADAD2 2+BDBD2 2=15152 2+8+82 2=17=172 2=ABAB2 2，ABDABD是直角三角形，即是直角三角形，即ADBADB=90=90A AD DC C是直角三角形是直角三角形.在在RtRtA AD DC C中，中，ABAB=ACAC.12222215817ACADCD，巩 固 练 习巩 固 练 习5.5.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标息，在海面上有疑似漂浮目标A A、B B于是，一艘搜于是，一艘搜救艇以救艇以1616海里海里/时的速度离开港口时的
22、速度离开港口O O（如图）沿北偏（如图）沿北偏东东4040的方向向目标的方向向目标A A的前进，同时，另一艘搜救艇的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口也从港口O O出发，以出发，以1212海里海里/时的速度向着目标时的速度向着目标B B出发，出发，1.51.5小时后，他们同时分别到达目标小时后，他们同时分别到达目标A A、B B此时，他此时，他们相距们相距3030海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？偏西多少度？巩 固 练 习巩 固 练 习解：根据题意得解：根据题意得OAOA=16=161.5=241.5=24(海里海里),),OBOB=12=121
23、.5=181.5=18(海里海里)，OBOB2 2+OAOA2 2=24=242 2+18+182 2=900=900，ABAB2 2=30=302 2=900=900，OBOB2 2+OAOA2 2=ABAB2 2，AOBAOB=90=90.第一艘搜救艇以第一艘搜救艇以1616海里海里/时的速度离开港口时的速度离开港口O O(如图如图)沿北偏东沿北偏东4040的方向向目标的方向向目标A A的前进，的前进，BODBOD=50=50，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西5050度度巩 固 练 习巩 固 练 习6.6.如图，在如图，在ABCABC中，中，ABAB：BCB
24、C：CACA=3=3：4 4：5 5且周长为且周长为36cm36cm，点，点P P从点从点A A开始沿开始沿ABAB边向边向B B点以每秒点以每秒2cm2cm的速度移动，点的速度移动，点Q Q从点从点C C沿沿CBCB边向点边向点B B以每秒以每秒1cm1cm的速度移动，如果的速度移动，如果同时出发，则过同时出发，则过3 3s s时，求时，求PQPQ的长的长巩 固 练 习巩 固 练 习解：设解：设ABAB为为3 3x xcmcm，BCBC为为4 4x xcmcm，ACAC为为5 5x xcmcm，周长为周长为36cm36cm，即，即ABAB+BCBC+ACAC=36cm=36cm，33x x+
25、4+4x x+5+5x x=36=36，解得，解得x x=3=3.ABAB=9cm=9cm，BCBC=12cm=12cm，ACAC=15cm=15cm.ABAB2 2+BCBC2 2=ACAC2 2，ABCABC是直角三角形，是直角三角形，过过3 3秒时，秒时，BPBP=9-3=9-32=32=3(cmcm)，BQBQ=12-12-1 13=3=9(9(cmcm)，在在RtRtPBQPBQ中，由勾股定理得中，由勾股定理得22393 10(cm).PQ 课 堂 小 结课 堂 小 结勾股定理的逆勾股定理的逆定理的应用定理的应用应用应用航海问题航海问题方法方法认真审题认真审题,画出符合题意的画出符合题意的图形图形,熟练运用勾股定理及熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题其逆定理来解决问题与勾股定理结合解决与勾股定理结合解决不规则图形等问题不规则图形等问题
