1、1717 勾股定理勾股定理17.1 勾股定理第三课时 利用勾股定理作图或计算课 时 目 标课 时 目 标1.1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题。解决网格问题。2.2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定勾股定理解决理解决相应的折叠问题。相应的折叠问题。情 景 导 入情 景 导 入问题问题1 1 我们我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画你能在数轴上分别画出表示出表示3,-2.53,-2.5的点吗
2、？的点吗？3 3-2.5-2.5问题问题2 2 求下列三角形的各边长求下列三角形的各边长.1 12 21 12 23 3？21 1513探 究 新 知探 究 新 知-1 1 0 0 1 1 2 2 问题问题1 1 你能在数轴上表示出你能在数轴上表示出 的的点吗？点吗？呢呢？22用同样的方法作用同样的方法作 呢呢？3,4,5,6,71 11 1提示：可以构造提示：可以构造直角三角形作出直角三角形作出边长为无理数的边长为无理数的边，就能在数轴边，就能在数轴上画出表示该无上画出表示该无理数的点理数的点.探 究 新 知探 究 新 知根据根据上面问题你上面问题你能在数轴上画出能在数轴上画出表示表示 的的
3、点吗？点吗？13113213313?问题问题2 2 长为长为 的的线段能是直角边的长都为正整线段能是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？数的直角三角形的斜边吗？13探 究 新 知探 究 新 知0 01 12 23 34 4l lA AB BC C步骤：步骤：1 1.在数轴上找到点在数轴上找到点A A,使使OAOA=3;=3;2.2.作直线作直线l lOAOA,在在l l上取一点上取一点B B，使，使ABAB=2;=2;3.3.以原点以原点O O为圆心，以为圆心，以OBOB为半径作弧，弧与数轴交为半径作弧，弧与数轴交 于于C C点，则点点，则点C C即为表示即为表示 的的点点.13O O也
4、可以使也可以使OAOA=2=2，ABAB=3=3，同样可，同样可以求出以求出C C点点.探 究 新 知探 究 新 知利用勾股定理表示无理数的方法利用勾股定理表示无理数的方法:（1 1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2 2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数理数，在原点右边的点表示是正无理数.归纳总结归纳总结探 究 新 知探 究 新
5、知“数学海螺数学海螺”类似地，利用勾股定理可以作出长为类似地，利用勾股定理可以作出长为 线段线段.2,3,521 11 1345探 究 新 知探 究 新 知例例1 1 如如图，数轴上点图，数轴上点A A所表示的数为所表示的数为a a，求，求a a的值的值.解：解：图中的直角三角形的两直角边为图中的直角三角形的两直角边为1 1和和2 2，斜边长为斜边长为 ，即即1 1到到A A的距离是的距离是 ，点点A A所表示的数为所表示的数为 .2221=5551易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长起，因而所表示的数不是斜边
6、长.巩 固 练 习巩 固 练 习2.2.如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，ABAB=3=3，ADAD=1=1，ABAB在数轴在数轴上，若以点上，若以点A A为圆心，对角线为圆心，对角线ACAC的长为半径作弧交的长为半径作弧交数轴于点数轴于点M M，则点，则点M M表示的数为（）表示的数为（）A.2 B.51 C.101 D.5C C1.1.如图，点如图，点A A表示的实数表示的实数是（是（）A.3 B.5 C.3 D.5D D探 究 新 知探 究 新 知0 01 12 23 34 4l lA AB BC C3.3.你能在数轴上画出表示你能在数轴上画出表示 的的点吗？点吗？1711
7、7?探 究 新 知探 究 新 知画一画画一画 在在5 55 5的正方形网格中，每个小正方形的的正方形网格中，每个小正方形的边长都为边长都为1 1，请在给定网格中以，请在给定网格中以A A出发分别画出长度出发分别画出长度为为 的线段的线段ABAB25,8，2AB5AB8ABB BB BB B勾股定理与网格勾股定理与网格探 究 新 知探 究 新 知例例2 2 在在如图所示的如图所示的6 68 8的网格中，每个小正方形的边的网格中，每个小正方形的边长都为长都为1 1，写出格点，写出格点ABCABC各顶点的坐标，并求出此三各顶点的坐标，并求出此三角形的周长角形的周长解：由题图得解：由题图得A A(2,
8、2),(2,2),B B(-2,-1),(-2,-1),C C(3,-2).(3,-2).由勾股定理得由勾股定理得ABCABC的周长为的周长为22435AB ，221417AC，221526BC，51726.探 究 新 知探 究 新 知勾股定理与网格的综合求线段长时，通常勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度利用勾股定理求其长度.探 究 新 知探 究 新 知例例3 3 如如图是由图是由4 4个边长为个边长为1 1的正方形构成的田字格，的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出只
9、用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为多少条长度为 的的线段？线段？5解：如图所示，有解：如图所示，有8 8条条.探 究 新 知探 究 新 知例例4 4 如图，在如图，在2 22 2的方格中，小正方形的边长的方格中，小正方形的边长是是1 1，点，点A A、B B、C C都在格点上，求都在格点上，求ABAB边上的高边上的高.1113221 21 11 22222ABCS ，1,2ABCSAB CD又又22125AB，13,22AB CD解：如图，过点解：如图，过点C C作作CDCDABAB于点于点D D.33 555CD.D D此类网格中求格点三角此类网格中求格点三角形的高的题，
10、常用的方形的高的题，常用的方法是利用网格求面积，法是利用网格求面积，再用面积法求高再用面积法求高.探 究 新 知探 究 新 知如如图，在图，在5 55 5正方形网格中，每个小正方形的正方形网格中，每个小正方形的边长边长 均为均为1 1，画出一个三角形的长分别为，画出一个三角形的长分别为 .2 210、A AB BC C解：如图所解：如图所示示.探 究 新 知探 究 新 知例例5 5 如如图，折叠长方形图，折叠长方形ABCDABCD的一边的一边ADAD，使点，使点D D落在落在BCBC边的边的F F点处，若点处，若ABAB=8cm=8cm，BCBC=10cm=10cm，求，求ECEC的长的长.D
11、 DA AB BC CE EF F勾股定理与图形的计算勾股定理与图形的计算探 究 新 知探 究 新 知解：在解：在RtRtABFABF中中,由由勾股定理勾股定理得得BFBF2 2=AFAF2 2ABAB2 2=10=102 28 82 2=36=36，BFBF=6cm.6cm.CFCF=BCBCBFBF=4.4.设设ECEC=x xcmcm，则，则EFEF=DEDE=(=(8 8x x)cmcm，在在RtRtECFECF中中,根据勾股定理根据勾股定理得得x x2 2+4 42 2=(8 8x x)2 2，解得解得 x x=3=3.即即ECEC的长为的长为3cm3cm.探 究 新 知探 究 新
12、知【变式题】【变式题】如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是边是边长为长为9 9的正方形纸片，将其沿的正方形纸片，将其沿MNMN折叠，折叠，使点使点B B落在落在CDCD边上的边上的B B处，点处，点A A的对的对应点为应点为A A，且，且B BC C3 3，求，求AMAM的长的长.探 究 新 知探 究 新 知解：连接解：连接BMBM，MBMB.设设AMAMx x，在在RtRtABMABM中，中，ABAB2 2AMAM2 2BMBM2 2.在在RtRtMDBMDB中，中，MDMD2 2DBDB2 2=MBMB2 2.MBMBMBMB，ABAB2 2AMAM2 2MDMD2 2DBDB2 2
13、，即即9 92 2x x2 2(9(9x x)2 2(9(93)3)2 2，解得解得x x2.2.即即AMAM2.2.探 究 新 知探 究 新 知折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)(1)设一条未知线段的长为设一条未知线段的长为x x(一般设所求线段的长为一般设所求线段的长为x x)；(2)(2)用已知线数或含用已知线数或含x x的代数式表示出其他线段长；的代数式表示出其他线段长；(3)(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x x 的的方程；方程；(4)(4)解这个方程，从而求出所求线段长解这个方程
14、，从而求出所求线段长.归纳总结归纳总结探 究 新 知探 究 新 知例例6 6 如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中中A A=60=60，B B=D D=90=90，ABAB=2=2，CDCD=1=1，求四边形，求四边形ABCDABCD的面积的面积E ED DC CB BA A 补补形形法法 求面积求面积探 究 新 知探 究 新 知解：如图，延长解：如图，延长ADAD、BCBC交于交于E EB B=90=90，A A=60=60，E E=90=906060=30=30，在在RtRtABEABE和和RtRtCDECDE中，中，ABAB=2=2，CDCD=1=1，AEAE=2=2ABAB=2=
15、22=42=4，CECE=2=2CDCD=2=21=21=2，由勾股定理得由勾股定理得2222422 3213BEDE，113 3=2 323 1=.222ABCDS四四边边形形巩 固 练 习巩 固 练 习1.1.如图，在边长为如图，在边长为1 1个单位长度的小正方形组成的网个单位长度的小正方形组成的网格中，点格中，点A A、B B都是格点，则线段都是格点，则线段ABAB的长度为（的长度为（）A.5 A.5 B.6 B.6 C.7 C.7 D.25D.25A A 巩 固 练 习巩 固 练 习2.2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后
16、，于是在数轴上的上的2 2个单位长度的位置找一个点个单位长度的位置找一个点D D，然后点，然后点D D做一条垂直于数轴做一条垂直于数轴的线段的线段CDCD，CDCD为为3 3个单位长度，以原点为圆心，以到点个单位长度，以原点为圆心，以到点C C的距离为的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A A.2 2和和3 3之间之间 B B.3 3和和4 4之间之间 C C.4 4和和5 5之间之间 D D.5 5和和6 6之间之间 B B巩 固 练 习巩 固 练 习3.3.如图，网格中的小正方形边长均为如图，网格中的小正方形边长均为1
17、 1，ABCABC的三的三个顶点均在格点上，则个顶点均在格点上，则ABAB边上的高为边上的高为_._.8 1313巩 固 练 习巩 固 练 习4.4.如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，ABAB=ADAD=8cm=8cm，A A=60=60，ADCADC=150=150，已知四边形已知四边形ABCDABCD的周长为的周长为32cm32cm，求，求BCDBCD的面积的面积巩 固 练 习巩 固 练 习解：解：ABAB=ADAD=8cm=8cm，A A=60=60，ABDABD是等边三角形是等边三角形.ADCADC=150=150,CDBCDB=150=1506060=90=90，B
18、CDBCD是直角三角形是直角三角形.又又四边形的周长为四边形的周长为32cm32cm，CDCD+BCBC=32-=32-ADAD-ABAB=32-8-8=16=32-8-8=16(cmcm).).设设CDCD=x x，则，则BCBC=16-=16-x x，由勾股定理得由勾股定理得8 82 2+x x2 2=(16-16-x x)2 2解得解得x x=6cm=6cm.SSBCDBCD=6 68=248=24(cmcm)2 2.12巩 固 练 习巩 固 练 习5.5.如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，ABAB=8=8，BCBC=4=4，将矩形沿，将矩形沿ACAC折叠，点折叠，点D D
19、落在点落在点D D处，求重叠部分处，求重叠部分AFCAFC的面积的面积.解：易证解：易证AFDAFDCFBCFB，D DF F=BFBF，设设D DF F=x x，则，则AFAF=8-=8-x x，在在RtRtAFDAFD中，中，(8-8-x x)2 2=x x2 2+4+42 2，解得解得x x=3=3.AFAF=ABAB-FBFB=8-3=5=8-3=5，SSAFCAFC=AFAF BCBC=10=1012巩 固 练 习巩 固 练 习图图11173 31 2231 32222ABCS 解解：.6 6.在在ABCABC中，中，ABAB、BCBC、ACAC三边的长三边的长分别为分别为 ,求这个
20、求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为格（每个小正方形的边长为1 1），再在网格中画出格点），再在网格中画出格点ABCABC（即（即ABCABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求求ABCABC的高，而借用网格就能计算出它的面积的高，而借用网格就能计算出它的面积（1 1）求）求ABCABC的面积；的面积；5103a、巩 固 练 习巩 固 练 习解：如图解：如图,（2 2）若）若ABCABC三边的长分别为三边的长分别为 (a a0 0)
21、，请，请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为a a）画出）画出相应的相应的ABCABC，并求出它的面积，并求出它的面积5,2 2,17aaa2225,ABaaa22222 2,BCaaa22417,ACaaaABCABC即为所求，即为所求，2111=2422243.222ABCSaaaaaaaaa图图A AB BC C课 堂 小 结课 堂 小 结利用勾股定理利用勾股定理作图或计算作图或计算在数轴上表示在数轴上表示出无理数的点出无理数的点利用勾股定理解利用勾股定理解决网格中的问题决网格中的问题利用勾股定理解利用勾股定理解决折叠问题及其决折叠问题及其他图形的计算他图形的计算通常与网格求通常与网格求线段长或面积线段长或面积结合起来结合起来通常用到通常用到方程思想方程思想
