1、 第 1 页（共 17 页） 2019-2020 学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（理科）学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）若 |1Px x， |1Qx x，则( ) APQ BQP C RP Q D R QP 2 （5 分）设i是虚数单位，复数1 2 ai i 为纯虚数，则实数a为( ) A2 B2 C 1 2 D 1 2 3 （5 分）已知函数 2 1
2、( ) 2x xax f x ，若( (0)4f f，则 6 log(a ) A 1 2 B2 C1 D6 4 （5 分） “数列 n a既是等差数列又是等比数列”是“数列 n a是常数列”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）函数 2 ( ) () xb f x xc 的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A0b ，0c B0b ，0c C0b ，0c D0b ，0c 6 （5 分）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，3为公比的等比数列，若从这个 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是( ) A 7 10
3、B 3 5 C 1 2 D 2 5 7 （5 分）在四边形ABCD中，(1,2)AC ，( 4,2)BD ，则该四边形的面积为( ) A5 B2 5 C5 D10 第 2 页（共 17 页） 8 （5 分）若实数x，y满足 11 11 xy xy 剟 剟 ，则2xy的最大值和最小值分别为( ) A1，1 B2，2 C1，2 D2，1 9（5 分） 设 n a是任意等比数列， 它的前n项和， 前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z， 则下列等式中恒成立的是( ) A2XZY B()()Y YXZ ZX C 2 YXZ D()()Y YXX ZX 10 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0
4、) xy ab ab 的左顶点与抛物线 2 2(0)ypx p的焦点的 距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为( 2, 1)，则双曲线的焦距 为( ) A2 5 B2 3 C4 3 D4 5 11 （5 分）已知函数 2 2 ,0 ( ) (1),0 xx x f x ln xx ，若|( )|f xax，则a的取值范围是( ) A(，0 B(，1 C 2，1 D 2，0 12 （5 分）三棱锥PABC中，PA平面ABC，30ABC，APC的面积为 2，则三 棱锥PABC的外接球体积的最小值为( ) A 8 3 B16 3 C 32 3 D 64 3 二、填空题：本题共二、
5、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上分，把答案填在答题卷的横线上 13 （5 分）曲线(31)yx lnx在点(1,1)处的切线的斜率为 14 （5 分）已知 n a为等差数列， n S为其前n项和，若 1 1 2 a ， 23 Sa，则 7 S 15 （5 分）函数3sin4cosyxx在x处取得最大值，则sin 16 （5 分）已知圆 22 :1O xy和点( 2,0)A ，若定点(B b，0)(2)b 和常数满足，对 圆O上任意一点M，都有|MBMA，则 三、解答题：第三、解答题：第 1721 题为必做题，每题满分各为题为必做
6、题，每题满分各为 12 分，第分，第 2223 题为选做题，只能选题为选做题，只能选 做一题，满分做一题，满分 60 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （12 分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3 cossin3 4 aBbA （1）求边长a的值； 第 3 页（共 17 页） （2）若ABC的面积10S ，求ABC的周长L 18 （12 分）如图，直三棱柱 111 ABCABC中，D，E分别是AB， 1 BB的中点， 1 2 2 2 AAACCBAB （1）证明： 1/ / BC平面 1 ACD； （2）求二面角
7、 1 DACE的余弦值 19 （12 分）已知函数( )()f xxalnx aR （1）当0a 时，求函数( )f x的单调区间； （2）讨论函数( )f x的零点个数 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距为 4，且过点( 2P，3) （）求椭圆C的方程； （） 设 0 (Q x， 000 )(0)yx y 为椭圆C上一点， 过点Q作x轴的垂线， 垂足为E 取点(0A， 2 2)，连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D点G是点D关于y轴的对称点， 作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由 21 （12 分） 心理学
8、研究表明， 人极易受情绪的影响， 某选手参加 7 局 4 胜制的兵乒球比赛 （1） 在不受情绪的影响下， 该选手每局获胜的概率为 1 3 ； 但实际上， 如果前一句获胜的话， 此选手该局获胜的概率可提升到 1 2 ；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降 为 1 4 ，求该选手在前 3 局获胜局数X的分布列及数学期望； （2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sin A、sinB、sinC， 记A、B、C为锐角ABC的内角，求证： sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1ABCABACBCABC 第 4 页（共 17 页） 选做题：
9、请考生在下面两题中任选一题作答选做题：请考生在下面两题中任选一题作答. 22 （10 分）已知动点P、Q都在曲线 2cos :( 2sin x C y 为参数）上，对应参数分别为 与2 (02 )，M为PQ的中点 （1）求M的轨迹的参数方程； （2）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点 23设函数 1 ( ) |(0)f xxxaa a （）证明：( ) 2f x ； （）若f（3）5，求a的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2019-2020 学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（理科）学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答
10、案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）若 |1Px x， |1Qx x，则( ) APQ BQP C RP Q D R QP 【解答】解： |1Px x， |1 RP x x， |1Qx x， R QP ， 故选：D 2 （5 分）设i是虚数单位，复数1 2 ai i 为纯虚数，则实数a为( ) A2 B2 C 1 2 D 1 2 【解答】解：复数1 (1)(2)22 2(2)(2)5 aiaiiaa
11、ii iii ，它是纯虚数，所以2a ， 故选：A 3 （5 分）已知函数 2 1 ( ) 2x xax f x ，若( (0)4f f，则 6 log(a ) A 1 2 B2 C1 D6 【解答】解：函数 2 1 ( ) 2x xax f x ，( (0)4f f， (0)1f， ( (0)f ff（1） 2 4 2 a ，解得6a ， 66 loglog 61a 故选：C 4 （5 分） “数列 n a既是等差数列又是等比数列”是“数列 n a是常数列”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若数列 n a既是等差数列又是等比数列，则
12、数列 n a为常数列，且0 n a ， 则反之当0 n a 时，满足数列 n a为常数列，但数列 n a不是等比数列， 第 6 页（共 17 页） 即“数列 n a既是等差数列又是等比数列”是“数列 n a是常数列”的充分不必要条件， 故选：A 5 （5 分）函数 2 ( ) () xb f x xc 的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A0b ，0c B0b ，0c C0b ，0c D0b ，0c 【解答】解：函数的定义域为 |x xc ，即0cp ，则0c ，排除A，B， 2 (0)0 b f c ，得0b ， 故选：C 6 （5 分）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，
13、3为公比的等比数列，若从这个 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是( ) A 7 10 B 3 5 C 1 2 D 2 5 【解答】解：由题意成等比数列的 10 个数为：1，3， 2 ( 3)， 39 ( 3)( 3) 其中小于 8 的项有：1，3， 3 ( 3)， 5 ( 3)， 7 ( 3)， 9 ( 3)共 6 个数 这 10 个数中随机抽取一个数， 则它小于 8 的概率是 63 105 P 故选：B 7 （5 分）在四边形ABCD中，(1,2)AC ，( 4,2)BD ，则该四边形的面积为( ) A5 B2 5 C5 D10 【解答】解：因为在四边形ABCD中，(1,2)
14、AC ，( 4,2)BD ，0AC BD ， 所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又 22 |125AC ， 第 7 页（共 17 页） 22 |( 4)22 5BD ， 该四边形的面积： 11 | |52 55 22 ACBD 故选：C 8 （5 分）若实数x，y满足 11 11 xy xy 剟 剟 ，则2xy的最大值和最小值分别为( ) A1，1 B2，2 C1，2 D2，1 【解答】解：由 11 11 xy xy 剟 剟 作可行域如图， 令2zxy，则2yxz ， 由图可知，当2yxz 过(1,0)A时，截距z最大，最大值为2 102z ； 当2yxz 过( 1,0)C 时，截距z最小，
15、最小值为2 102z 2xy的最大值和最小值分别为 2，2 故选：B 9（5 分） 设 n a是任意等比数列， 它的前n项和， 前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z， 则下列等式中恒成立的是( ) A2XZY B()()Y YXZ ZX C 2 YXZ D()()Y YXX ZX 【解答】解：取等比数列 1，2，4，令1n 得1X ，3Y ，7Z 代入验算，只有选项D 第 8 页（共 17 页） 满足 故选：D 10 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左顶点与抛物线 2 2(0)ypx p的焦点的 距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(
16、 2, 1)，则双曲线的焦距 为( ) A2 5 B2 3 C4 3 D4 5 【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为( 2, 1)， 即点( 2, 1)在抛物线的准线上，又由抛物线 2 2ypx的准线方程为 2 p x ，则4p ， 则抛物线的焦点为(2,0)； 则双曲线的左顶点为( 2,0)，即2a ； 点( 2, 1)在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为 1 2 yx ， 由双曲线的性质，可得1b ； 则5c ，则焦距为22 5c 故选：A 11 （5 分）已知函数 2 2 ,0 ( ) (1),0 xx x f x ln xx ，若|( )|f xax，则a
17、的取值范围是( ) A(，0 B(，1 C 2，1 D 2，0 【解答】解：由题意可作出函数|( )|yf x的图象，和函数yax的图象， 由图象可知：函数yax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数|( )|yf x在第二象限的部分解析式为 2 2yxx， 第 9 页（共 17 页） 求其导数可得22yx，因为0x，故2y，故直线l的斜率为2， 故只需直线yax的斜率a介于2与 0 之间即可，即 2a ，0 故选：D 12 （5 分）三棱锥PABC中，PA平面ABC，30ABC，APC的面积为 2，则三 棱锥PABC的外接球体积的最小值为( )
18、 A 8 3 B16 3 C 32 3 D 64 3 【解答】 解：PA平面ABC，PAAC， 设P A c ， 因为APC的面积为 2， 1 2 2 AC PA ， 4 AC c ， 在ABC中，设外接圆的半径为r则2 sinsin30 ACAC r ABC ， 4 r c ， 设外接球的半径为R，由题意知侧棱垂直于底面，则外接球的球心为过底面外接圆的圆心 作 垂 直 于 底 面 的 直 线 与 中 截 面 的 交 点 ， 所 以 由 题 意 可 得 ： 22 222 22 1616 ( )24 244 ccc Rr cc ，2R ， 所以外接球的体积 3 432 33 VR ， 故选：C
19、二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上分，把答案填在答题卷的横线上 13 （5 分）曲线(31)yx lnx在点(1,1)处的切线的斜率为 4 【解答】解：(31)yx lnx的导函数为：34ylnx， 当1x 时，4y， 曲线(31)yx lnx在点(1,1)处的切线的斜率为：4 故答案为：4 第 10 页（共 17 页） 14 （5 分）已知 n a为等差数列， n S为其前n项和，若 1 1 2 a ， 23 Sa，则 7 S 14 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d， 1 1 2 a ， 23 Sa
20、， 11 22 22 dd ，解得 1 2 d 则 7 1761 714 222 S 故答案为：14 15 （5 分）函数3sin4cosyxx在x处取得最大值，则sin 3 5 【解答】解： 22 2222 34 3sin4cos34 (sincos )5sin() 3434 yxxxxx （其中 4 tan) 3 ， 依题意，2() 2 kkZ ， 故2() 2 kkZ ， 则 22 33 sincos 5 34 ， 故答案为： 3 5 16 （5 分）已知圆 22 :1O xy和点( 2,0)A ，若定点(B b，0)(2)b 和常数满足，对 圆O上任意一点M，都有|MBMA，则 1 2
21、 【解答】解：根据题意，设( , )M x y， 若|MBMA，变形可得 222 |MBMA， 即 222222 ()(2)xbyxy， 又由 22 1xy，则变形可得： 222 1245bbxx， 则有 22 2 51 42 b b ，解可得 1 2 ， 1 2 b ； 故答案为： 1 2 三、解答题：第三、解答题：第 1721 题为必做题，每题满分各为题为必做题，每题满分各为 12 分，第分，第 2223 题为选做题，只能选题为选做题，只能选 做一题，满分做一题，满分 60 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第 11 页（共 17 页）
22、 17 （12 分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3 cossin3 4 aBbA （1）求边长a的值； （2）若ABC的面积10S ，求ABC的周长L 【解答】解： （1） 3 cossin3 4 aBbA， sin4bA， 过C作CDAB于D，则由sin4CDbA，cos3BDaB， 在Rt BCD中， 22 5aBCBDCD （2）由面积公式可得 11 410 22 SABCDAB，可得5AB ， 又cos3aB ，可得 3 cos 5 B ， 由余弦定理可得： 22 3 2cos25252252 5 5 bacacB， ABC的周长552 5102 5l 18 （
23、12 分）如图，直三棱柱 111 ABCABC中，D，E分别是AB， 1 BB的中点， 1 2 2 2 AAACCBAB （1）证明： 1/ / BC平面 1 ACD； （2）求二面角 1 DACE的余弦值 第 12 页（共 17 页） 【解答】解： （1）证明：连接 1 AC交 1 AC于点F，则F为 1 AC的中点， 又D是AB的中点，连接DF，则 1/ / BCDF， DF 平面 1 ACD， 1 BC 平面 1 ACD， 1/ / BC平面 1 ACD； （2）由 1 2 2 2 AAACCBAB，可得2AB ，则 222 ACBCAB，即ACBC， 又 111 ABCABC为直三棱柱
24、， 以点C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 1 222 (0,0,0),( 2,0, 2),(,0), (0, 2,) 222 CADE， 1 222 ( 2,0, 2),(,0),(0, 2,) 222 CACDCE， 设平面 1 ACD的一个法向量为( , , )nx y z，则 1 0 0 n CA n CD ，计算可取(1, 1, 1)n ； 同理可得平面 1 ACE的一个法向量(2,1, 2)m ， 3 cos, |3 m n m n m n ， 二面角 1 DACE的余弦值为 3 3 第 13 页（共 17 页） 19 （12 分）已知函数( )()f xxalnx
25、aR （1）当0a 时，求函数( )f x的单调区间； （2）讨论函数( )f x的零点个数 【解答】解： （1）( )f xxalnx，( )1 axa fx xx ， 0a 时， 当0xa时，( )0fx，( )f x在区间(0, )a上单调递减； 当xa时，( )0fx，( )f x在区间( ,)a 上单调递增； （2）由( )1 axa fx xx 得： 当0a 时，( )10fx ，( )f x在区间(,) 上单调递增，且(0)0f，故( )f x只有一个 零点； 当0a 时，( )0fx，( )f x在区间(0,)上单调递增，且0x ，时，( )0f x ，又f（1） 10 ，故(
26、 )f x只有 1 个零点； 当0a 时，由（1）知( )f x在区间(0, )a上单调递减，在区间( ,)a 上单调递增； 当xa时，( )f x取得最小值f（a）(1)aalnaalna， 当0ae时，f（a）0，( )f x无零点； 当ae时，( )f x只有一个零点； 当ae时，f（a）(1)0aalnaalna， 且0x 时，( )0f x ，x， 时，( )f x ， 函数( )f x有 2 个零点 综上所述，当0ae时，( )f x无零点； 第 14 页（共 17 页） 当0a或ae时，( )f x只有一个零点； 当ae时，( )f x有 2 个零点 20 （12 分）已知椭圆
27、22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距为 4，且过点( 2P，3) （）求椭圆C的方程； （） 设 0 (Q x， 000 )(0)yx y 为椭圆C上一点， 过点Q作x轴的垂线， 垂足为E 取点(0A， 2 2)，连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D点G是点D关于y轴的对称点， 作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由 【解答】解：( ) I椭圆 22 22 :(0) xy Cab ab 的焦距为 4， 2c ，可得 22 2ab 又点( 2, 3)P在椭圆C上 22 23 1 ab 联解，可得 2 8a 且 2 4b ，椭圆C的方程为 22
28、 1 84 xy ； ()II由题意，得E点坐标为 0 (x，0)， 设( D D x，0)，可得 0 (AEx，2 2)，( D ADx，2 2)， ADAE，可得0AD AE 0 ( 2 2) ( 2 2)0 D x x ，即 0 80 D x x ，得 0 8 D x x 点G是点D关于y轴的对称点，点G的坐标为 0 8 ( x ，0) 因此，直线QG的斜率为 000 2 0 0 0 8 8 QG yx y k x x x 又点 0 (Q x， 0) y在椭圆C上，可得 22 00 28xy 000 2 00 22 QG x yx k yy 由此可得直线QG的方程为： 0 00 8 ()
29、 2 x yx yx ， 代入椭圆C方程，化简得 2222 0000 (2)1664 160xyxx xy 将 22 00 28xy代入上式，得 22 00 81680xx xx， 第 15 页（共 17 页） 化简得 22 00 20xx xx，所以 22 00 (2)40xx， 从而可得 0 xx， 0 yy是方程组的唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点 综上所述，可得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点 21 （12 分） 心理学研究表明， 人极易受情绪的影响， 某选手参加 7 局 4 胜制的兵乒球比赛 （1） 在不受情绪的影响下， 该选手每局获胜的概率为 1 3 ； 但实际上，
30、如果前一句获胜的话， 此选手该局获胜的概率可提升到 1 2 ；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降 为 1 4 ，求该选手在前 3 局获胜局数X的分布列及数学期望； （2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sin A、sinB、sinC， 记A、B、C为锐角ABC的内角，求证： sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1ABCABACBCABC 【解答】解： （1）解：依题意，可知X可取：0，1，2，3， 2 119 (0)(1)(1) 3424 P X ， 1111111118 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) 3243
31、4234424 P X ， 1111111115 (2)(1)(1)(1) 32232434224 P X ， 1112 (3) 32224 P X 随机变量 的分布列为： X 0 1 2 3 P 9 24 8 24 5 24 2 24 9852 ()01231 24242424 E X （2）证法一：ABC是锐角三角形，0sin1A，0sin1B，0sin1C， 第 16 页（共 17 页） 则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为： (1)sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinP XABCABBCBCABC， 由概率的定义可知：(1)1P X， 故有：sin
32、sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1ABCABACBCABC 证法二：sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1ABCABACBCABC (sin1)(sin1)(sin1)ABC， ABC是锐角三角形，0sin1A，0sin1B，0sin1C， sin10A ，sin10B ，sin10C ， (sin1)(sin1)(sin1)0ABC， sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1ABCABACBCABC 选做题：请考生在下面两题中任选一题作答选做题：请考生在下面两题中任选一题作答. 22 （1
33、0 分）已知动点P、Q都在曲线 2cos :( 2sin x C y 为参数）上，对应参数分别为 与2 (02 )，M为PQ的中点 （1）求M的轨迹的参数方程； （2）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点 【解答】解： （1）依题意有(2cos ,2sin )P，(2cos2 ,2sin2 )Q， 因此(coscos2 ,sinsin2 )M M的轨迹的参数方程为 coscos2 ( sin2sin x y 为参数，02 ) （2）M点到坐标原点的距离 22 22cos(02 )dxy 当时，0d ，故M的轨迹过坐标原点 23设函数 1 ( ) |(0)f xxxaa a （）证明：( ) 2f x ； （）若f（3）5，求a的取值范围 【解答】解：（）证明：0a ， 11111 ( ) |()()| |22f xxxaxxaaaa aaaaa 厖， 故不等式( ) 2f x 成立 第 17 页（共 17 页） （）f（3） 1 |3|3| 5a a ， 当3a 时，不等式即 1 5a a ，即 2 510aa ，解得 521 3 2 a 当03a 时，不等式即 1 65a a ，即 2 10aa ，求得 15 3 2 a 综上可得，a的取值范围 15 ( 2 ， 521) 2
