1、第第5章章 常微分方程与拉普拉斯变换常微分方程与拉普拉斯变换5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念5.2 一阶微分方程一阶微分方程 5.3 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程5.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 5.5 微分方程的应用微分方程的应用5.6 拉普拉斯变换的基本概念拉普拉斯变换的基本概念5.7 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 5.8 拉普拉斯变换的逆变换拉普拉斯变换的逆变换5.9 拉普拉斯变换的简单应用拉普拉斯变换的简单应用 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 例例1 已知曲线通过点（2，6），且该曲线任意点M(x,y)处的切线的斜率等于
2、，求此曲线方程 例例2 一质量为m的质点，从高h处，只受重力作用从静止状态自由下落，试求其运动方程.先看两个引例相关概念:常微分方程常微分方程 微分方程的阶微分方程的阶 通解、特解通解、特解积分曲线族积分曲线族例例3 验证 函数xC1cos ktC2 sin kt是微分方程 的通解 并求满足初始条件的特解 返回返回5.2 一阶微分方程一阶微分方程 解法解法分离变量法：分离变量法：第一步：分离变量第一步：分离变量 第二步：两端积分第二步：两端积分5.2.1 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程(,)0F x y y(,)0F x y y (,)0()F x y yg y dyfx dxyxy
3、或写成221xyyxdxdy0|1xy例例1 求微分方程满足条件的特解 例例 2 求方程22(lnln)ydx xdyx yxydx的通解 5.2.2 齐次方程齐次方程(,)0F x y y(,)0()dyyF x y ydxx 解法解法变量代换法：变量代换法：第一步：方程变形第一步：方程变形 第二步：分离变量第二步：分离变量 第三步：两端积分第三步：两端积分 第四步：回代求解第四步：回代求解(2)2yx yyx0|10 xy例例3 求微分方程满足的特解.例例4 求微分方程(12)2(1)0 xxyyxed xed yy的通解.5.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程()()yP x yQ
4、 x分类：一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程 一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程 ()0yP x y()()yP x yQ x（一）一阶线性齐次微分方程的解法（一）一阶线性齐次微分方程的解法分离变量法分离变量法()P x dxyCe其通解为（二）一阶线性非齐次微分方程的解法（二）一阶线性非齐次微分方程的解法常数变易法常数变易法非齐次方程（1-4）的通解为 )()()(CdxexQeydxxPdxxPdxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(或 例例5 求方程 72(1)2(1)xyyx的通解3()0ydxxy dy1|1xy例例6 求微分方程满足条件的特解.返回
5、返回5.3 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.把高阶方程降阶为阶数较低的方程求解，是求解高阶微分方程的常用技巧之一.5.3.1 y(n)f(x)型的微分方程型的微分方程 解法直接降阶法例例1 求微分方程ye2x-cos x 的通解 5.3.2 缺项型二阶微分方程缺项型二阶微分方程 1.(,)yf x y型的微分方程 2.(,)yf y y型的微分方程解法变量代换法变量代换法第一步：变量代换第一步：变量代换 第二步：方程变形第二步：方程变形第三步：回代求解第三步：回代求解设yp ,yyx0|3,xy0|1xy 例例2 求微分方程 满足初始条件的特
6、解 例例3求微分方程2-0yyy 的通解 23()0yy(0)0,(0)1yy 例例4 求微分方程满足初始条件的特解 返回返回5.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 2分类：二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程 0ypyqy()ypyqyf x5.4.1 二阶常系数线性齐次微分方程的解法二阶常系数线性齐次微分方程的解法特征根法特征根法()ypyqyf x一对共轭复数根 两个相等的实特征根 两个不等的实特征根 齐次方程的通解形式特征根的情况1212r xr xyC eC e112()r xyCC x e12(
7、cossin)xyeCxCx12rr12rr1,2(0)ri560yyy00|1,|0 xxyy 例例1 求微分方程的满足初始条件的特解.例例2 求微分方程22440d sdssdtdt的通解.例例3 求微分方程4130yyy的通解.5.4.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 特解公式法或待定公式法()ypyqyf x二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构为*yYy其中 y是通解，Y是对应齐次微分方程的通解，y*是该方程的特解（一）特解公式法1212()*()(0).r xrr xr xyeef x edx dxC（二）待定系数法1.()()xnf xP
8、x e型)(xQn110nn-10Q()bb.bbbb.nnnnnxxx，其中，.，待定 .2 1 ,0是重特征根时当，时；是两个相异特征根之一当，不是特征根时；当k其中为n次待定多项式，即而k的取法如下：xnkexQxy)(*特解为)sincos(xbxaeqyypyx()(cossin)xf xeaxbx,ba)sincos(*xBxAexyxk.i ,1i ,0是特征根时当不是特征根时；当k2.型此时方程为其中A,B为待定系数，而k的取法如下：其中 均为常数特解为例例5 5 求微分方程xexxyyy32)53(96 的通解.例例4 求微分方程xxeyyy2332 的一个特解.例例6 6
9、求微分方程)sin7(cos2xxeyyyx 的一个特解.xyysin2 00|1,|0 xxyy 例例7 7 求微分方程满足的特解.返回返回应用微分方程解决实际问题通常按照下列步骤进行：（1）建立模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件；（2）求解方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解；（3）解释问题：从微分方程的解，解释、分析实际问题，预测变化趋势.例例1 设RC电路如图5-3所示，其中电阻R和电容C均为正常数，电源电压为E.如果开关K闭合（t=0）时，电容两端的电压0,cU 求开关合上后电压随时间t 的变化规律.例例2 离地面10m高度的钉子上悬挂着一
10、链条，链条开始滑落时一端距离钉子4m，另一端距离钉子5m，若不计钉子与链条间的摩擦力，试求整条链子滑下钉子所用的时间.例例3 质量为m的重物挂在弹簧下端，使弹簧有一定的伸长而达到平衡.现再把重物拉下0 xx0个长度单位后放手，如果不计重物与滑道之间的摩擦力，求在弹簧弹力作用下重物在滑道内的位移规律.5.5 微分方程的应用微分方程的应用返回返回5.6 拉普拉斯变换的基本概念拉普拉斯变换的基本概念)(tf),0 dtetfpt0)()(pFdtetfpFpt0)()()(pF)(tf)(tf)(tfLdtetftfLpFpt0)()()()(tf)(pF)(tf)(pF)(1pFL)()(1pFL
11、tf定义定义2 设函数的定义域为，若广义积分 在p的某一范围内收敛，则此积分就确定了一个参数为p的函数，记作，即 函数叫做的拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）变换）变换，简称拉氏变换拉氏变换（或叫做的像函数），用记号表示，即 如果是的拉氏变换，那么把叫做的拉氏逆变换拉氏逆变换（或的像原函数），记作即 )(pF.例例1 1 求指数函数)0()(3tetft的拉氏变换.例例2 2 求一次函数0()(tattf，a是常数）的拉氏变换.例例3 求单位阶梯函数u(t)的拉氏变换.例例4 求狄拉克函数)(t的拉氏变换.例例5 5 求下列函数的拉氏变换442(1)();(2)();(3)()sin4ttf
12、 tef ttf tet返回返回5.7 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 21,aa)()(),()(2211pFtfLpFtfL)()()()()()(221122112211pFapFatfLatfLatfatfaL性质性质1（线性性质线性性质）如果是任意常数，且设则.)()(pFtfL)()()(apapFtfeLat性质性质2 2（平移性质平移性质）如果，那么.)()(pFtfL)0()()(apFeatfLap性质性质3 3（延滞性质延滞性质）如果，那么.()(),()在 0,)L f tF pf t)0()()(fppFtfL性质性质4 4（微分性质微分性质）如果上连续可微，那
13、么)(),0)()(tfppFtfL.)()(0ppFdttfLt性质性质5 5（积分性质积分性质）如果是连续函数且可积，那么)(1)(apFaatfL),()(pFtfL性质性质6 6（相似性质相似性质）如果 那么当a0时，有)(pFtfL)()1()()(pFtftLnnn性质性质7 如果，那么.且),()(pFtfLttft)(lim0pdppFttfL.)()(性质性质8 如果存在，那么 例例1 1 求函数)cos1(1)(tatf的拉氏变换.例例2 2 求sinteLat(1)()L u ta(2)sin3Lt例例3 求：（a0）;例例4*求32sin32ttuL.例例5 利用微分性
14、质求sintL.例例6 利用积分性质求3tL 例例7 求3sin tL 例例8求sinttL例例9 求ttL)sin(返回返回5.8 拉普拉斯变换的逆变换拉普拉斯变换的逆变换5.8.1 直接公式法直接公式法1.利用拉氏变换表求拉氏变换的逆变换利用拉氏变换表求拉氏变换的逆变换性质性质3（延滞性质）（延滞性质）)()()()()()(221121211122111tfatfapFLapFLapFapFaL性质性质1（线性性质（线性性质)性质性质2（平移性质）（平移性质）2.利用拉氏变换的性质求拉氏变换的逆变换利用拉氏变换的性质求拉氏变换的逆变换)()()(11tfepFLeapFLatat1()(
15、)()apLeF pf ta u ta.例例1 1 求下列函数的拉氏逆变换：.164)()2(;51)()1(2ppFppF例例2 2 求下列函数的拉氏逆变换：23237131(1)();(2)();(3)().(3)22ppF pF pF ppppp5.8.2 部分分式法部分分式法有理函数R(x)是指两个多项式的商，即10111011()()()mmmmnnnna xa xaxaP xR xQ xb xb xbxb一般可拆分为整式和真分式之和例例3 3 将652 xxx分解为部分分式.例例4 将(1)221;(2)(1)(1)(22)xx xxxx分解为部分分式.)1(1)()1(pppF2
16、2(2)()(1)(22)pF pppp例例 求下列函数的拉氏逆变换：返回返回5.9 拉普拉斯变换的简单应用拉普拉斯变换的简单应用5.9.1 利用拉氏变换解线性微分方程利用拉氏变换解线性微分方程方法及步骤如下：(1)对微分方程两边取拉氏变换，得像函数的代数方程；(2)解像函数的代数方程求出像函数；(3)对像函数取拉氏逆变换，求出像原函数，即为微分方程的解.0)(3)(tyty例例1 求微分方程，满足初始条件的解.30 xy)0(09 tyy4)0(,2)0(yy例例2 求方程，满足初始条件的解.5.9.2 利用拉氏变换解线性微分方程组利用拉氏变换解线性微分方程组 0,02yxxyx1)0(,1)0(,0)0(yxx例例3求微分方程组满足初始条件的特解.
