1、 龙岩市 2020 年高中毕业班教学质量检查 数学（理科）试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题） 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项： 1考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上 2答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项” 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知集合32|,2|xxNxyxM，则MN= A32 xx B32 xx C22 xx D22 xx 2若复数z满足iiz）（21，则复平面内z对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象
2、限 D第四象限 3已知8log3a， 1 . 1 2b， 1 . 3 8 . 0c，则 A.cab B.bca C.abc D.bac 4 5 ) 1 2)(1( x xx的展开式中常数项为 A.40 B.40 C.80 D.80 5赵爽弦图（图 1）是取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方 图 ，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的 一个大正方形.图 2 是由弦图变化得到，它是由八个全等的直 角三角形和中间的一个小正方形拼接而成现随机向图 2 中大 正方形的内部投掷一枚飞镖,若直角三角形的直角边长分别为 2 和 3，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为 A. 25 1 B. 25
3、4 C. 25 9 D. 36 5 6已知函数)2sin(2)(xxf满足) 8 () 8 (xfxf ，则) 8 3 ( f A.2 B.0 C.2 D.2 7函数 3 2 33log xx f xx的图象大致为 A B C D （第 5 题图） 8已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若AFB 是直角三角形，则椭圆C的离心率为 A. 2 2 B. 2 3 C. 2 13 D. 2 15 9关于函数( )2sinsin+ 222 （） xx f xx有下述四个结论： 函数( )f x的图象把圆 22 1xy的面积两等分 ( )f
4、x是周期为的函数 函数( )f x在区间(,) 上有 3 个零点 函数( )f x在区间(,) 上单调递减 其中所有正确结论的编号是 A B C D 10已知O是坐标原点，F是双曲线C: 22 22 1 xy ab （340ab）的左焦点，过F作斜率 为k（0k ）的直线l与双曲线渐近线相交于点A，A在第一象限且OAOF，则k 等于 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 11已知在ABC中，6, 4ACAB，其外接圆的圆心为O，则AO BC（ ） A.20 B. 2 29 C.10 D. 2 9 12已知正三棱柱 111 CBAABC 的底面边长为 2，用一平面截此棱柱与侧棱 111
5、 ,CCBBAA分 别交于QNM,，若MNQ为直角三角形，则MNQ面积的最小值为 A.7 B.3 C.72 D.6 第卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13曲线xxyln)2( 2 在1x处的切线方程为_. 14ABC的内角CBA,的对边分别为cba,.若ABC的面积为 222 3) 4 abc（ ，则 A_. 15记 n S为数列 n a的前n项和，若1 1 a， 1 12 nn aS，则 10 10 12 a S _. 16波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前 262-190 年）的著作圆锥曲线论是古代世界光 辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几
6、乎使后人没有插足的余地.他证明过这样 一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（, 0k且1k）的点的轨迹是圆，后人 将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有ABC,ACACsin2sin, 4，则当ABC的面积 最大时，AC边上的高为_. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a的公差0d，若11 6 a，且 1452 ,aaa成等比数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 1 nn n aa b，求数列 n b的前n项和 n S. 18.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱柱 1111
7、DCBAABCD中，底面ABCD是等腰梯形，CDAB/，4AB， 2CDBC，顶点 1 D在底面ABCD内的射影恰为点C. （1）求证：BC平面 1 ACD； （2）若直线 1 DD与底面ABCD所成的角为 4 ，求平面 11D ABC与平面ABCD所成锐二面角的余弦值 19.（本小题满分 12 分） 近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养 猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的 作用正在逐步显现. 现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有 1 万头猪，将其中重量（kg）在139, 1 内 的猪分为三个成长阶
8、段如下表. 猪生长的三个阶段 阶段 幼年期 成长期 成年期 重量（Kg） )24, 1 )116,24 116,139 根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布X)23,70( 2 N. 由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成 年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖 模式. 已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为 5 4 , 4 3 . （1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量； （2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利 600 元，若为不 合格的猪，则亏损 1
9、00 元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利 500 元，若为不合格的猪，则亏损 200 元. （）记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列； （）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值. （参考数据: 若),( 2 NZ，6826. 0)(ZP， 9544. 0)22(ZP，9974. 0)33(ZP） 20.（本小题满分 12 分） 已知抛物线C: 2 2xpy (0)p 上一点(2,)Pm，F为焦点，PFO面积为 1. （1）求抛物线C的方程； （2） 过点P引圆 222 :(3)(02)M xyrr的两条切线PA、PB
10、， 切线PA、PB 与抛物线C的另一个交点分别为A、B,求直线AB斜率的取值范围. （第 18 题图） 21.（本小题满分 12 分） 已知函数)(ln)( 2 Raaxxxxf （1）讨论函数的极值点个数； （2）若xxfxg)()(有两个极值点 12 ,x x，试判断 12 xx与 12 xx的大小关系并证明. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所 做第一个题目计分. 作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是6cos0，以极点为原点，极轴为
11、x轴的正半轴，建 立平面直角坐标系，直线l过点0,2M，倾斜角为 3 4 （1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程； （2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求 11 MAMB 的值 23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数. |2| 1|)(axxxf （1）若1a，解不等式4)(xf； （2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得)(42 2 xfmm ，求实数a的取值范围. 龙岩市 2020 年高中毕业班教学质量检查 数学（理科）参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可在评卷组内 讨论后根据试题的主要考查内
12、容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步仅出现严谨性或规范性错误时，不要影响后续部分 的判分；当考生的解答在某一步出现了将影响后续解答的严重性错误时，后继部分的解答不 再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C D D A A B B D C B C B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小
13、题 5 分，满分 20 分 1301 yx 14 3 2 （或 o 120） 153 16 3 8 12略解一：把N画到B处，Q在 1 CC上，M在 1 AA上，设,AMx CQy不妨设xy ， 222 4,4,()4BMxBQyMQyx,此时90oBMQ 由 222 BMMQBQ，得 x xyxyx 2 , 02 2 4)(4 2 1 22 xyxS，95 4 25 4 2 2 2 22 x x x xS 3S，当且仅当2x时取等号，3 min S. 略解二：以AC中点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴， 建立空间直角坐标系，设), 1, 0(aM，), 1 , 0(),
14、0 , 3(cQbN，不妨设N为直角， ), 1, 3(), 1 , 3(cbQNabMN，所以0QNMN， 02)(cbab（, 22 )(4)4 2 1 | 2 1 cbabQNMNS（ 341616 2 1 )()()(416 2 1 222 cbabcbab 16解：sin2sinCA， sin 2 sin ABC CBA 为非零常数，故点B的轨迹是圆. 以线段AC中点为原点，AC所在直线为 x 轴建立直角坐标系 则AC( 2,0),(2,0)，设( , )B x yABCB2， 22 xyxy 22 (22 (2） 22 3320120xyx，整理得 222 108 ()( ) 33
15、 xy 因此，当ABC面积最大时，BC边上的高为圆的半径 8 3 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 解： （1）11 6 a，115 1 da 2 分 1452 ,aaa成等比数列， 142 2 5 aaa ，)13)()4 11 2 1 dadada （ 化简得 2 1 36dda，0d，da 1 2 4 分 由可得，2, 1 1 da 所以数列的通项公式是12 nan 6 分 （2）由（1）得) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 12)(12( 1 nnnn bn 9 分 ) 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 ( 2 1
16、21 nn bbbS nn 12 ) 12 1 1 2 1 n n n （ 12 分 18（本小题满分 12 分） 解： （1）证明：如图，连接DC 1 ，则DC 1 平面ABCD， BC平面ABCD, BCDC 1 2 分 在等腰梯形ABCD中，连接AC，过点C作CGAB于点G， AB4，BCCD2,ABCD/， 则AGBG3,1，CG 22 213 ACAGCG 2222 3( 3)2 3 因此满足ACBCAB 222 16，BCAC 5 分 又 1 ,DC AC 1 面AD C，DCACC 1 BC平面ADC 1 6 分 （2）由（1）知AC BC DC 1 ,两两垂直， DC 1 平面
17、ABCD，D DC 1 4 ，DCCD 1 2 以C为坐标原点，分别以CA CB CD1,所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 7 分 则C(0,0,0)，A(2 3,0,0)，B(0,2,0)，D1(0,0,2)， ( 2 3,2,0)AB ， 1 ( 2 3,0,2)AD 设平面ABC D 11的法向量 ( , , )nx y z，由 1 0 0 AB n ADn 得 2 320 2 320 xy xz 可得平面ABC D 11的一个法向量 (1, 3, 3)n ， 9 分 又 1 (0,0,2)CD 为平面ABCD的一个法向量， 10 分 设平面ABC D 11与
18、平面ABCD 所成锐二面角为 则 CDn CDn 1 1 2 321 cos 72 7 因此平面ABC D 11与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为 21 7 12 分 19（本小题满分 12 分） 解：（1）由于猪的体重X近似服从正态分布 2 (70,23 )XN, 设各阶段猪的数量分别为 123 ,n n n 0215. 0 2 9544. 09974. 0 )2327023370()241 ( XPXP 2150215. 010000 1 n（头）； 同理，9544. 0)2327023270()11624(XPXP 95449544. 010000 2 n（头） 0215. 0 2
19、9544. 09974. 0 )2337023270()139116( XPXP 2150215. 010000 3 n 所以，甲养猪场有幼年期猪 215 头，成长期猪 9544 头，成年期猪 215 头. 6分 （每个2分） （2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为 3 4 , 4 5 ， 随机变量Y可能取值为1100,400, 300. 5 3 5 4 4 3 )1100(YP， 20 7 5 4 4 1 5 1 4 3 )400(YP， 20 1 5 1 4 1 )300(YP 所以Y的分布列为： Y 1100 400 300 P 5 3 20 7 20 1
20、 所以785 20 1 300 20 7 400 5 3 1100)(YE（元） 10 分 由于各养猪场均有 215 头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为 785 元， 则总利润期望为785215168775（元）. 12 分 20（本小题满分 12 分） 解：（1）由已知得，12| 2 1 OF，即1 2 p ，解得2p， 所以C的方程为 2 4xy 4 分 （2）由（1）得) 1 , 2(P，设直线PA斜率为 1 k，则PA方程为)2(1 1 xky， 即021 11 kyxk,直线PA与圆相切，r k k 1 | 1|2 2 1 1 ， 048)4 2 1 2 1 2 rkkr（ 6
21、 分 设直线PB斜率为 2 k，同理得 222 22 4)840r kkr（ 21,k k是方程048)4 222 rkkr（的两个根 )20(0)8(4 22 rrr 4 8 2 21 r kk，1 21 kk 8 分 设),(),( 2211 yxByxA 由 1 2 1(2) 4 yk x xy 得 2 11 4840xk xk，由韦达定理得 11 2=4xk 11 42xk ，同理 24 22 kx9 分 所以1 4 8 1)( 4 1 44 2 2121 12 2 1 2 2 12 12 r kkxx xx xx xx yy kAB10 分 20 2 r，2 4 8 4 2 r )3
22、, 5( AB k 直线 AB 斜率的取值范围是( 5, 3) 12 分 21（本小题满分 12 分） 解：（1）)0( 12ln2 1 ln)( xaxxax x xxxf 1 分 令, 0)xf（得 1ln 2 x a x ，记 1ln ( ), x Q x x 则 2 ln )( x x xQ 令0)( xQ，得10 x；令0)( xQ，得1x )(xQ在) 1 , 0(上是增函数，在), 1 ( 上是减函数，且( )= (1)1Q xQ 最大 当, 12 a即 2 1 a时，0)( xf无解，)(xf无极值点 当, 12 a即 2 1 a时，0)( xf有一解， 1ln 2 x a x
23、 ，即012ln axx ( )0fx 恒成立，)(xf无极值点 当120 a，即 2 1 0 a时，0)( xf有两解，)(xf有 2 个极值点 当02 a即0a时，0)( xf有一解，)(xf有一个极值点. 综上所述：当 1 2 a ,( )f x无极值点； 2 1 0 a时，( )f x有 2 个极值点； 当0a，( )f x有 1 个极值点. 5 分 （2）xaxxxxg 2 ln)(，)0(2ln)( xaxxxg 令0)( xg，则02ln axx， x x a ln 2 记 x x xh ln )(，则 2 ln1 )( x x xh 由, 0)( xh得ex 0，由0)( xh
24、，得ex ， )(xh在), 0(e上是增函数，在),( e上是减函数 , 1 )()( max e ehxh当ex 时，0)(xf 当 e a 1 20即 e a 2 1 0时 )(xg有 2 个极值点 21,x x 7 分 由 22 11 2ln 2ln axx axx 得 121212 ln()lnln2 ()x xxxa xx 12 12 ln() 2 x x a xx 8 分 不妨设, 21 xx 则 21 1xex，exxx 221 9 分 又)(xh在),( e上是减函数 12212 12212 ln()lnln() 2 xxxx x a xxxxx 11 分 1212 ln()
25、ln()xxx x 2121 xxxx 12 分 22（本小题满分 10 分） 解：（1）因为6cos，所以 2 6 cos， 所以 22 6xyx，即曲线C的直角坐标方程为： 22 (3)9xy， 2 分 直线l的参数方程 3 cos 4 3 2sin 4 xt yt (t为参数)，即 2 2 2 2 2 xt yt (t为参数)， 5 分 （2）设点A，B对应的参数分别为 1 t， 2 t， 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得 22 22 329 22 tt ， 整理，得 2 405 2tt，所以 12 12 5 2 4 tt t t ， 7 分 121212 0,0,0,0tt
26、tttt 所以 12 MAMBtt 12 ()tt =5 2 , MA MB| 21t t =4, 所以 11 MAMB = M M M AMB AB 5 2 4 10 分 23（本小题满分 10 分） 解：（1）当1a时，4|2| 1|4)(xxxf ， 化为 32 1 x x 或 43 21x 或 412 2 x x 3 分 解得 1 2 3 x 或 21x 或 2 5 2 x ， 2 5 2 3 x .即不等式 ( )4f x 的解集为) 2 5 , 2 3 ( . 5 分 （2）根据题意，得 2 24mm的取值范围是( )f x值域的子集. 33) 1(42 22 mmm 又由于| 12|2| 1|)(aaxxxf，)(xf的值域为)|,12|a 4 分 故3| 12|a，12a.即实数a的取值范围为 1 , 2. 10 分
