1、第一章 数列2.1等差数列(二)1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点一等差数列通项公式的推广已知等差数列an的首项a1和公差d能表示出通项ana1(n1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?答案设等差数列的首项为a1，则ama1(m1)d，变形得a1am(m1)d，则ana1(n1)dam(m1)d(n1)dam(nm)d.思考2由思考1可得d ，d ，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？答案等差数列通项公式可变形为andn(a1d)，其图像为一条直线上孤
2、立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d .当两点为(n，an)，(m，am)时，有d .梳理梳理等差数列an中，若公差为d，则anam(nm)d，当nm时，d .知识点二等差数列的性质利用1100299.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1ana2an1a3an2.思考还记得高斯怎么计算123100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？答案梳理梳理在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN)，则am ap .特别地，若mn2p，则anam2ap.anaq
3、知识点三由等差数列衍生的新数列(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)dd2d.anan2是公差为2d的等差数列.思考若an是公差为d的等差数列，那么anan2是等差数列吗？若是，公差是多少？答案梳理梳理若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN)panqbn 公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)题型探究例例1在等差数列an中，已知a25，a817，求数列的公差及通项公式.解答类型一等差数列推广通项公式的应用因为a8a2(82)d，
4、所以1756d，解得d2.又因为ana2(n2)d，所以an5(n2)22n1.灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.反思与感悟 跟踪训练跟踪训练1数列an的首项为3，bn为等差数列，且bnan1an(nN)，若b32，b1012，则a8等于A.0 B.3C.8 D.11答案解析bn为等差数列，设公差为d，则d 2，bnb3(n3)d2n8.a8(a8a7)(a7a6)(a6a5)(a5a4)(a4a3)(a3a2)(a2a1)a1b7b6b1a1(b7b1)(b6b2)(b5b3)b4a17b4a17033.类型二等差数列与一次函数的关系例例2已知数列an的通项公式anpnq，其中p，q为常
5、数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？取数列an中任意相邻两项an和an1(n1)，求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p.它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列.由于anpnqqp(n1)p，所以首项a1pq，公差dp.解答反思与感悟判断一个数列是不是等差数列的常用方法：(1)从递推公式上看，an1and(d为常数，nN)an是等差数列；(2)从任意连续三项关系上看，2an1anan2(nN)an是等差数列；(3)从通项公式代数特点上看，anknb(k，b为常数，nN)an是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.如：
6、其中某连续三项不成等差数列；存在nN，an1an的结果不等于同一个常数等.跟踪训练跟踪训练2若数列an满足a115,3an13an2，则使akak10的k值为_.答案解析23类型三等差数列性质的应用例例3已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式.解答方法一因为a1a72a4，a1a4a73a415，所以a45.又因为a2a4a645，所以a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d132n.方法二设等差数列的公差为d，则由a1a4a715，得a1a13da16d15，即
7、a13d5，由a2a4a645，得(a1d)(a13d)(a15d)45，将代入上式，得(a1d)5(52d)45，即(a1d)(52d)9，解，组成的方程组，得a11，d2或a111，d2，an12(n1)2n3或an112(n1)2n13.引申探究引申探究1.在例3中，不难验证a1a4a7a2a4a6，那么，在等差数列an中，若mnpqrs，m，n，p，q，r，sN，是否有amanapaqaras?解答设公差为d，则ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，ara1(r1)d，asa1(s1)d，amanap3a1(mnp3)d，aqaras3a1(q
8、rs3)d，mnpqrs，amanapaqaras.2.在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.a3a810，a3a3a8a820.33885557，a3a3a8a8a5a5a5a7，即3a5a72(a3a8)20.答案解析20反思与感悟解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列an的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.跟踪训练跟踪训练3在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值.解答方法一(a2a5a8)(a1a4a7)3d，(a3a6a9)(a2a
9、5a8)3d，a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差数列.a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7)2333927.方法二a1a4a7a1(a13d)(a16d)3a19d39，a13d13，a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d)3a112d33.a14d11，a3a6a9(a12d)(a15d)(a18d)3a115d31915(2)27.当堂训练1.等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于 A.3 B.6C.4 D.3答案解析123由a8a4(84)d4d，得d3，所以a15a8(158)d147335.答案解析1232.在等差数列an中，已知a42，a81
10、4，则a15等于 A.32 B.32C.35 D.35由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a215123.123答案解析3.等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于 A.3 B.3C.D.规律与方法1.在等差数列an中，当mn时，d ，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为aman(mn)d.2.等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.3.等差数列an中，若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN)，特别地，若mn2p，则anam2ap.4.在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.本课结束
