1、第十八章平行四边形人教版特殊平行四边形的性质与判定的综合应用习题练习1如图如图，矩形矩形ABCD中中，E是是AD的中点的中点，延长延长CE，BA交于点交于点F，连接连接AC，DF.(1)求证：四边形求证：四边形ACDF是平行四边形；是平行四边形；(2)当当CF平分平分BCD时时，写出写出BC与与CD的数量关系的数量关系，并说明理由并说明理由(3)如图，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当ABC120时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由证明：CF平分BCD，18012060，BFEOCE，矩形ABCD为正方形ABP BCE(AAS)，(2)当点P运动到什么位
2、置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由四边形BFDE是矩形(2)四边形AGBD是矩形，(2)当BAC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在；解：(1)当BAC150时，四边形ADFE是矩形，在RtBCF和RtBOF中，3如图，在 ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在边CD上，DFBE，连接AF，BF.FBAO，且FBOA，ABPPAB90，(2)求CPE的度数；(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；平行四边形ABCD是矩形，DAPDEP，(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由DFAFAB，解：解：(1)四边形四边形ABCD
3、是矩形是矩形，ABCD，FAECDE，E是是AD的中点的中点，AEDE，又又 FEACED，FAE CDE，CDFA，又又 CDAF，四边形四边形ACDF是平行四边形是平行四边形(2)BC2CD.证明：证明：CF平分平分BCD，DCE45，CDE90，CDE是等腰直角三角形是等腰直角三角形，CDDE，E是是AD的中点的中点，AD2CD，ADBC，BC2CD如图，在ABC中，AB6，AC8，BC10，P为边BC上一动点(且点P不与点B，C重合)，PEAB于点E，PFAC于点F，则EF的最小值为_4.8在RtBCF和RtBOF中，CFOF，BFBF，RtBCF RtBOF，BCBO.BC23，BO
4、23，AC43，ABAC2BC2（43）2（23）26C3如图如图，在菱形在菱形ABCD中中，对角线对角线AC与与BD交于点交于点O.过点过点C作作BD的平行线的平行线，过点过点D作作AC的平行线的平行线，两直线相交于点两直线相交于点E.(1)求证：四边形求证：四边形OCED是矩形；是矩形；(2)若若CE1，DE2，菱形菱形ABCD的面积是多少？的面积是多少？(2)由(1)知，OCED是矩形，则CEOD1，DEOC2.四边形ABCD是菱形，AC2OC4，BD2OD2，菱形ABCD的面积为12ACBD124243如图，在ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在边CD上，DFBE，连接AF，BF
5、.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF3，BF4，DF5，求证：AF平分DAB.解：(1)在ABCD中，ABCD，DFBE，四边形BFDE为平行四边形，DEAB，DEB90，四边形BFDE是矩形(2)由(1)可得BFC90，在RtBFC中，由勾股定理可得BC5，ADBC5，ADDF，DAFDFA，ABCD，DFAFAB，DAFFAB，AF平分DAB4如图如图，在在 ABCD中中，DAB60，AB2AD，点点E，F分别是分别是AB，CD的中点的中点，过点过点A作作AGBD交交CB的延长线于点的延长线于点G.(1)求证：四边形求证：四边形DEBF是菱形；是菱形；(2)请判断四边形请判断四
6、边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明是什么特殊四边形？并加以证明(2)四边形AGBD是矩形，理由如下：ADBC，且AGBD，四边形AGBD是平行四边形由(1)的证明知ADDEAEBE，ADB90，AGBD是矩形5.在正方形在正方形ABCD中中，对角线对角线BD所在的直线上有两点所在的直线上有两点E，F满足满足BEDF，连接连接AE，AF，CE，CF，如图所示如图所示(1)求证：求证：ABE ADF；(2)试判断四边形试判断四边形AECF的形状的形状，并说明理由并说明理由证明：(1)正方形ABCD，ABAD，ABDADB，ABEADF，在ABE与ADF中，ABAD，ABEADF，BEDF，A
7、BE ADF(SAS)如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过点B作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接AF.(1)求证：FBAO；(2)当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？证明你的结论解：(1)BFAC，BFEOCE，又BEOE，BEFOEC，BEF OEC(AAS)，BFOC，又OCOA，BFOA(2)当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形理由：FBAO，且FBOA，四边形AFBO是平行四边形，平行四边形ABCD是矩形，OAOB，四边形AFBO是菱形6如图如图，ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形，A90，点点P，Q分别是分
8、别是AB，AC上的动点上的动点，且满足且满足BPAQ，D是是BC的中点的中点(1)求证：求证：PDQ是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；(2)当点当点P运动到什么位置时运动到什么位置时，四边形四边形APDQ是正方形是正方形，并说明理由并说明理由解：(1)连接AD，易证：ADQ BDP，PDDQ，ADQBDP，易知ADBC，ADPPDB90，ADQPDA90，PDQ是等腰直角三角形6如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD16，点O是直线BD上的动点，OEAB于点E，OFAD于点F.(1)对角线AC的长是_，菱形ABCD的面积是_；(2)如图，当点O在对角线BD上运动时，OEOF的值是否会
9、发生变化？请说明理由；(3)如图，当点O在对角线BD的延长线上时，OEOF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由1296如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过点B作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接AF.(2)如图，当点O在对角线BD上运动时，OEOF的值是否会发生变化？请说明理由；FBAO，且FBOA，DAPDEP，证明：(1)正方形ABCD，FBAO，且FBOA，易证：ADQ BDP，(2)当BAC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在；四边形ACDF是平行四边形BAPBCP，(2)当BAC60时，平行
10、四边形ADFE不存在，如图，P是矩形ABCD内一点，APBP于点P，CEBP于点E，BPEC.ABPPAB90，DAE360606060180(2)若CF3，BF4，DF5，求证：AF平分DAB.(3)如图，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当ABC120时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由DAPDCP，(2)由(1)可得BFC90，在RtBCF和RtBOF中，APBP，CEBP，ABP BCE(AAS)，解：(1)四边形ABCD为正方形7如图如图，在正方形在正方形ABCD中中，P是对角线是对角线BD上的一点上的一点，点点E在在AD的延的延长线上长线上，且
11、且PAPE，PE交交CD于点于点F.(1)证明：证明：PCPE；(2)求求CPE的度数；的度数；(3)如图如图，把正方形把正方形ABCD改为菱形改为菱形ABCD，其他条件不变其他条件不变，当当ABC120时时，连接连接CE，试探究线段试探究线段AP与线段与线段CE的数量关系的数量关系，并说明理由并说明理由解：解：(1)证明：在正方形证明：在正方形ABCD中中，ABBC，ABPCBP45，ABP CBP(SAS)，PAPC，PAPE，PCPE(2)由由(1)知知ABP CBP，BAPBCP，DAPDCP，PAPE，DAPE，DCPE，CFPEFD(对顶角相等对顶角相等)，180PFCPCF 18
12、0DFEE，即即CPFEDF90(3)易知易知ABP CBP(SAS)，PAPC，BAPBCP，PAPE，PCPE，DAPDCP，PAPE，DAPDEP，DCPDEP，CFPEFD(对顶角相等对顶角相等)，180CFPPCF 180EFDDEP，即即CPFEDF180ADC 18012060，EPC是等边三角形是等边三角形，PCCE，APCE如图，P是矩形ABCD内一点，APBP于点P，CEBP于点E，BPEC.(1)请判断四边形ABCD是否是正方形？若是，写出证明过程；若不是，说明理由；(2)延长EC到点F，使CFBE，连接PF交BC的延长线于点G，求BGP的度数解：(1)四边形ABCD为正
13、方形证明：四边形ABCD是矩形，ABC90，即ABPPBC90，APBP，ABPPAB90，PBCPAB，CEBP，APBBEC90，又BPCE，ABPBCE(AAS)，ABBC，矩形ABCD为正方形(2)连接AC，ABPBCE，APBE，BECF，APCF，APBP，CEBP，APCF，四边形ACFP是平行四边形，ACPF，ACBBGP，四边形ABCD是正方形，AC是对角线，ACB45，BGP45180EFDDEP，在RtBCF和RtBOF中，DAPDCP，FBAO，且FBOA，3如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.18012060，DAPDCP，(2)当BAC满足什么条件时，
14、平行四边形ADFE不存在；(3)如图，当点O在对角线BD的延长线上时，OEOF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；解：(1)在 ABCD中，(1)求证：ABE ADF；180CFPPCFABC90，即ABPPBC90，(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由DAPDCP，(2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由则CEOD1，DEOC2.(2)四边形AGBD是矩形，18012060，DFAFAB，四边形AFBO是菱形在RtBFC中，由勾股定理可得BC5，ADBC5，8如图如图，以以ABC的边的边AB，AC为边的等边三角形为边的等边三角形ABD和等边三角形和等边三角
15、形ACE，四边形四边形ADFE是平行四边形是平行四边形(1)当当BAC满足什么条件时满足什么条件时，四边形四边形ADFE是矩形；是矩形；(2)当当BAC满足什么条件时满足什么条件时，平行四边形平行四边形ADFE不存在；不存在；(3)当当ABC分别满足什么条件时分别满足什么条件时，平行四边形平行四边形ADFE是菱形？正方形？是菱形？正方形？解：解：(1)当当BAC150时时，四边形四边形ADFE是矩形是矩形，DAE36012015090，四边形四边形ADFE是平行四边形是平行四边形，四边形四边形ADFE是矩形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形)(2)当当BAC60时时，平行四边形平行四边形ADFE不存在不存在，DAE360606060180(3)当当ABAC且且BAC不等于不等于60时时，ADFE是菱形是菱形当当ABAC，BAC150时时，ADFE是正方形是正方形
