1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年西藏高考数学（理科）模拟试卷（年西藏高考数学（理科）模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|1x2，Bx|x1，则 AB（ ） A （1，1） B （1，2） C （1，+） D （1，+） 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 zi1+2i，则 z 的共轭复数为（ ） A2i B2+i Cl2i Di2 3 （5 分）设集合 Mx|0x2，Ny|0y2，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有（ ） A B
2、C D 4 （5 分）首项为15 的等差数列，从第 6 项开始为正数，则公差 d 的取值范围为（ ） Ad3 B 15 4 C3 15 4 D3 15 4 5 （5 分）把函数 ysin（2x+ 6）图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2倍（纵坐标不变） ， 再将图象向右平移 3个单位，得到函数 yg（x） ，那么 g（ 3）的值为（ ） A 1 2 B1 2 C 3 2 D 3 2 6 （5 分）已知偶函数 f（x）在0，+）上单调递减，且 f（1）0，则满足 f（2x3） 0 的 x 的取值范围是（ ） A （1，2） B （2，+） C （，1）（2，+） D0，2） 7 （5 分）若
3、x，y 满足约束条件 + 0 2 2 2 0 ，则 zx2y 的最小值为（ ） A2 B2 C6 D6 8 （5 分）某厂去年产值是 a 亿元，计划今后五年内年产值平均增长率是 10%则从今年起 到第 10 年末的该厂总产值是（ ） A11（1.1101）a 亿元 B10x（1.1101）a 亿元 第 2 页（共 16 页） C11x（1.191）a 亿元 D10x（1.191）a 亿元 9 （5 分）等式 12+22+32+n2= 1 2（5n 27n+4） （ ） An 为任何正整数都成立 B仅当 n1，2，3 时成立 C当 n4 时成立，n5 时不成立 D仅当 n4 时不成立 10 （5
4、 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 b（ ） A5 B4 C3 D2 11 （5 分）设 F1，F2是双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左，右焦点，O 是坐标原 点 过F2的一条直线与双曲线C和y轴分别交于A、 B两点 若|OA|OF2|， |OB|= 3|OA|， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A2:1 2 B3:1 2 C2 + 1 D3 + 1 12 （5 分）若关于 x 的不等式 x2+axc0 的解集为x|2x1，对于任意的 t1，2， 函数 f（x）ax3+（m+ 1 2）x 2cx 在区间（t，3）上总不是单调函数，m 的取什值范围是 （ ） A 14 3
5、m3 B3m1 C 14 3 m1 D3m0 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 x，y 均为正数，则 : 22:2:6的最大值是 14 （5 分）已知向量 = (1，1)， = (2，)，若(2 ) ，则实数 m 15 （5 分）已知某校高一、高二、高三年级分别有 1000、800、600 名学生，现计划用分层 第 3 页（共 16 页） 抽样方法在各年级共抽取 120 名学生去参加社会实践， 则在高一年级需抽取 名学 生 16 （5 分）已知函数 f（x）e2x，则过原点且与曲线 yf（x）相切的直线方程为 三
6、解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2bcosBacosC+ccosA （1）求B 的大小； （2）若 b2，求ABC 面积的最大值 18 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AB 垂直于 AD 和 BC， 侧棱 SA底面 ABCD，且 SAABBC2，AD1 （1）求四棱锥 SABCD 的体积； （2）求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值 19 （12 分） “绿水青山就是金山银山” ，为推广生态环境保护意识，高
7、二一班组织了环境保 护兴趣小组，分为两组，讨论学习甲组一共有 4 人，其中男生 3 人，女生 1 人，乙组 一共有 5 人，其中男生 2 人，女生 3 人，现要从这 9 人的两个兴趣小组中抽出 4 人参加 学校的环保知识竞赛 （）设事件 A 为“选出的这 4 个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来 自不同的组” ，求事件 A 发生的概率； （）用 X 表示抽取的 4 人中 B 组女生的人数，求随机变量 X 的分布列和期望 20 （12 分）已知函数 f（x）ax3+bx2，当 x1 时，有极大值 3； （1）求 a，b 的值； （2）求函数 f（x）的极小值及单调区间 21 （12
8、分）在直角坐标系 xOy 中，动点 P（x，y） （其中 x2）到点 F（3，0）的距离的 4 倍与点 P 到直线 x2 的距离的 3 倍之和记为 d，且 dx+18 （）求点 P 的轨迹 C 的方程； （）设过点 F 的直线 l 与轨迹 C 交于 M，N 两点，求|MN|的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 4 页（共 16 页） 22 （10 分）已知直线 l 的参数方程为 = 1 2 + 3 2 = 1 2 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos
9、（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点 P（1 2，0） ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AP|+|PB|的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 f（x）|x+1|+|x2| （1）已知关于 x 的不等式 f（x）a 有实数解，求 a 的取值范围； （2）求不等式 f（x）x22x 的解集 第 5 页（共 16 页） 2020 年西藏高考数学（理科）模拟试卷（年西藏高考数学（理科）模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分）
10、1 （5 分）已知集合 Ax|1x2，Bx|x1，则 AB（ ） A （1，1） B （1，2） C （1，+） D （1，+） 【解答】解：Ax|1x2，Bx|x1， ABx|1x2x|x1（1，+） 故选：C 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 zi1+2i，则 z 的共轭复数为（ ） A2i B2+i Cl2i Di2 【解答】解：zi1+2i，z= 1+2 = (1+2) 2 =2i， z 的共轭复数为：2+i， 故选：B 3 （5 分）设集合 Mx|0x2，Ny|0y2，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有（ ） A B C D 【解答
11、】解：图象不满足函数的定义域，不正确； 满足函数的定义域以及函数的值域，正确； 不满足函数的定义， 故选：C 4 （5 分）首项为15 的等差数列，从第 6 项开始为正数，则公差 d 的取值范围为（ ） Ad3 B 15 4 C3 15 4 D3 15 4 【解答】解：an15+（n1）d， 第 6 页（共 16 页） 从第 6 项开始为正数， a615+5d0，a515+4d0， 解得3 15 4 ， 故选：D 5 （5 分）把函数 ysin（2x+ 6）图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2倍（纵坐标不变） ， 再将图象向右平移 3个单位，得到函数 yg（x） ，那么 g（ 3）的值为（
12、） A 1 2 B1 2 C 3 2 D 3 2 【解答】解：把函数 ysin（2x+ 6）图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2倍（纵坐标不 变） ， 得到函数 ysin（4x+ 6）图象， 再将函数 ysin（4x+ 6）图象向右平移 3个单位， 所得图象的函数解析式为 g（x）sin4（x 3）+ 6）sin（4x 6） ， 可得：g（ 3）sin（4 3 6）sin 6 = 1 2 故选：B 6 （5 分）已知偶函数 f（x）在0，+）上单调递减，且 f（1）0，则满足 f（2x3） 0 的 x 的取值范围是（ ） A （1，2） B （2，+） C （，1）（2，+） D0，2） 【
13、解答】解：偶函数 f（x）在0，+）上单调递减，且 f（1）0， 不等式 f（2x3）0 等价为 f（2x3）f（1） ，即等价为 f（|2x3|）f（1） ， 则|2x3|1，得12x31，得 22x4，即 1x2， 即 x 的取值范围是（1，2） ， 故选：A 7 （5 分）若 x，y 满足约束条件 + 0 2 2 2 0 ，则 zx2y 的最小值为（ ） A2 B2 C6 D6 第 7 页（共 16 页） 【解答】解：由 zx2y 得 y= 1 2x 2， 作出 x，y 满足约束条件 + 0 2 2 2 0 对应的平面区域如图（阴影部分 ABC） ： 平移直线 y= 1 2x 2， 由图
14、象可知当直线 y= 1 2x 2，过点 A 时， 直线 y= 1 2x 2的截距最大，此时 z 最小， = 2 2 = 2，解得 A（2，2） 代入目标函数 zx2y， 得 z2222， 目标函数 zx2y 的最小值是2 故选：A 8 （5 分）某厂去年产值是 a 亿元，计划今后五年内年产值平均增长率是 10%则从今年起 到第 10 年末的该厂总产值是（ ） A11（1.1101）a 亿元 B10x（1.1101）a 亿元 C11x（1.191）a 亿元 D10x（1.191）a 亿元 【解答】解：某厂去年产值是 a 亿元，计划今后五年内年产值平均增长率是 10% 从今年起到第 10 年末的该
15、厂总产值是： S10a+a1.1+a1.12+a1.13+a1.19 = (11110) 11.1 10（1.1101）a（亿元） 第 8 页（共 16 页） 故选：B 9 （5 分）等式 12+22+32+n2= 1 2（5n 27n+4） （ ） An 为任何正整数都成立 B仅当 n1，2，3 时成立 C当 n4 时成立，n5 时不成立 D仅当 n4 时不成立 【解答】解：当 n1 时，左边1，右边1，成立； 当 n2 时，左边1+45，右边5，成立； 当 n3 时，左边1+4+914，右边14，成立； 当 n4 时，左边1+4+9+1640，右边28，不成立； 当 n5 时，左边1+4+
16、9+16+2565，右边94，不成立； 故选：B 10 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 b（ ） A5 B4 C3 D2 【解答】解：由题意知，该程序的运行过程为： a1，b10，ab，继续循环； b8，a2，ab，继续循环； b6，a3，ab，继续循环； b4，a4，ab，继续循环； b2，a5，ab，终止循环； 输出 b2 故选：D 第 9 页（共 16 页） 11 （5 分）设 F1，F2是双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左，右焦点，O 是坐标原 点 过F2的一条直线与双曲线C和y轴分别交于A、 B两点 若|OA|OF2|， |OB|= 3|OA|， 则双曲
17、线 C 的离心率为（ ） A2:1 2 B3:1 2 C2 + 1 D3 + 1 【解答】解：如下图所示， 由于| = 3|2| = 3|，所以，2 = | |2| = 3则2 = 3， 所以，|2| = |2| 2 = 2|2| = 2， | = |2| = 1 2 |2|，则 A 为线段 BF2的中点， 连接 BF1（F1为双曲线 C 的左焦点） ，由对称性可知，1 = 3，则BF1F2 为等边三 角形， A 为 BF2的中点，AF1BF2，|1| = |12|2 |2|2= 3， 由双曲线的定义可得2 = |1| |2| = 3 = (3 1)， 因此，双曲线的离心率为 = = 2 31
18、 = 3 + 1 故选：D 12 （5 分）若关于 x 的不等式 x2+axc0 的解集为x|2x1，对于任意的 t1，2， 函数 f（x）ax3+（m+ 1 2）x 2cx 在区间（t，3）上总不是单调函数，m 的取什值范围是 第 10 页（共 16 页） （ ） A 14 3 m3 B3m1 C 14 3 m1 D3m0 【解答】解：关于 x 的不等式 x2+axc0 的解集为x|2x1， = 2 + 1 = 1 = 2 1 = 2， 解得 a1，c2； f（x）ax3+（m+ 1 2）x 2cxx3+（m+1 2）x 22x， 求导得 f（x）3x2+（2m+1）x2； 又对于任意的 t
19、1，2，f（x）在区间（t，3）上总不是单调函数， f（x）在（2，3）上有零点， f（2）f（3）0， 即10+2（2m+1）25+3（2m+1）0， 解得 14 3 m3， m 的取什值范围是 14 3 m3 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 x，y 均为正数，则 : 22:2:6的最大值是 1 4 【解答】解： : 22:2:6 = : 22:2:2:4 : 2222:224 = : 4(:) = 1 4， 当且仅当 x1，y2 时，等号成立 故函数的最大值为1 4 故答案为：1 4 14 （5
20、分）已知向量 = (1，1)， = (2，)，若(2 ) ，则实数 m 2 【解答】解：2 = (4，2 )； (2 ) ； 4m+2（2m）0； m2 故答案为：2 第 11 页（共 16 页） 15 （5 分）已知某校高一、高二、高三年级分别有 1000、800、600 名学生，现计划用分层 抽样方法在各年级共抽取 120 名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取 50 名学 生 【解答】解：高一年级学生所占的比例为 1000 1000:800:600 = 5 12， 高一年级需抽取 120 5 12 =50 人， 故答案为：50 16 （5 分）已知函数 f（x）e2x，则过原点且与曲线
21、 yf（x）相切的直线方程为 2exy 0 【解答】解：设切点为（m，n） ， 函数 f（x）e2x的导数为 f（x）2e2x， 可得切线的斜率为 2e2m， 由切线过原点，可得 = 2 =2e2m， 解得 m= 1 2，ne， 则切线方程为 y2ex 故答案为：2exy0 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2bcosBacosC+ccosA （1）求B 的大小； （2）若 b2，求ABC 面积的最大值 【解答】解： （1）2bcosBacosC+ccos
22、A， 可得：2sinBcosBsinAcosC+sinCcosAsinB， sinB0， cosB= 1 2， 由 B（0，） ，B= 3 （2）b2，B= 3， 由余弦定理可得 aca2+c24， 由基本不等式可得 aca2+c242ac4，可得：ac4，当且仅当 ac 时， “”成 第 12 页（共 16 页） 立， 从而 SABC= 1 2acsinB 1 2 4 3 2 = 3故ABC 面积的最大值为3 18 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AB 垂直于 AD 和 BC， 侧棱 SA底面 ABCD，且 SAABBC2，AD1 （1）求四棱锥 SA
23、BCD 的体积； （2）求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值 【解答】解： （1）在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AB 垂直于 AD 和 BC， 侧棱 SA底面 ABCD，且 SAABBC2，AD1， 梯形= 1 2 (1 + 2) 2 =3， 四棱锥 SABCD 的体积 VSABCD= 1 3 梯形 = 1 3 3 2 =2 （2）如图，以 A 为原点，AD、AB、AS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系， A（0，0，0） ，B（0，2，0） ，C（2，2，0） ，D（1，0，0） ，S（0，0，2） ， 平面 SAB 的法向量1 =（
24、1，0，0） ， 又 =（2，2，2） ， =（1，0，2） ， 设平面 SCD 的法向量2 =（x，y，z） ， 则 = 2 + 2 2 = 0 = 2 = 0 ，取 x2，得2 =（2，1，1） ， 设面 SCD 与面 SAB 所成二面角的平面角为 ， 则 cos= |1 2 | |1 |2 | = 2 6 = 6 3 面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值为 6 3 12 第 13 页（共 16 页） 19 （12 分） “绿水青山就是金山银山” ，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保 护兴趣小组，分为两组，讨论学习甲组一共有 4 人，其中男生 3 人，女生 1 人，乙组
25、一共有 5 人，其中男生 2 人，女生 3 人，现要从这 9 人的两个兴趣小组中抽出 4 人参加 学校的环保知识竞赛 （）设事件 A 为“选出的这 4 个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来 自不同的组” ，求事件 A 发生的概率； （）用 X 表示抽取的 4 人中 B 组女生的人数，求随机变量 X 的分布列和期望 【解答】 （本小题满分 13 分） 解： （）高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习 甲组一共有 4 人，其中男生 3 人，女生 1 人，乙组一共有 5 人，其中男生 2 人，女生 3 人， 要从这 9 人的两个兴趣小组中抽出 4 人参加学校的环保知识竞赛，
26、基本事件总数 n= 9 4， 事件 A 为“选出的这 4 个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的 组” ， 则事件 A 包含的基本事件个数 m= 3 12142， 事件 A 发生的概率() = 3 1 2 1 4 2 9 4 = 36 126 = 2 7 （3 分） （列式 （2 分） ， 结果 1 分） （）X 可能取值为 0，1，2，3（4 分） ( = 0) = 6 4 3 0 9 4 = 15 126 = 5 42 （5 分） （列式（1 分） ，结果 1 分） ( = 1) = 6 3 3 1 9 4 = 60 126 = 10 21 （7 分） （列式（1 分）
27、，结果 1 分） ( = 2) = 6 2 3 2 9 4 = 45 126 = 5 14 （9 分） （列式（1 分） ，结果 1 分） ( = 3) = 6 1 3 3 9 4 = 6 126 = 1 21 （11 分） （列式（1 分） ，结果 1 分） X 的分布列为 第 14 页（共 16 页） X 0 1 2 3 P 5 42 10 21 5 14 1 21 = 0 5 42 + 1 10 21 + 2 5 14 + 3 1 21 = 4 3 （13 分） （列式（1 分） ，结果 1 分） （本题得数不约分不扣分） 20 （12 分）已知函数 f（x）ax3+bx2，当 x1 时
28、，有极大值 3； （1）求 a，b 的值； （2）求函数 f（x）的极小值及单调区间 【解答】解： （1）f（x）3ax2+2bx， 当 x1 时，(1) = 3 + 2 = 0 (1) = + = 3 ， 据此解得 a6，b9， 函数解析式为：y6x3+9x2 （2）由（1）知 f（x）6x3+9x2， f（x）18x2+18x18x（x1） ，令 f（x）0，得 0x1；令 f（x）0， 得 x1 或 x0， 当 x0 时函数取得极小值为 0， 函数的单调增区间为： （0，1） ， 单调减区间为： （，0）和（1，+） 21 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，动点 P（x，y） （其中
29、 x2）到点 F（3，0）的距离的 4 倍与点 P 到直线 x2 的距离的 3 倍之和记为 d，且 dx+18 （）求点 P 的轨迹 C 的方程； （）设过点 F 的直线 l 与轨迹 C 交于 M，N 两点，求|MN|的取值范围 【解答】解： （）依题意，4( 3)2+ 2+3（x2）x+18， ( 3)2+ 2= 6 1 2 化简得 2 36 + 2 27 = 1，点 P 的轨迹 C 的方程为 2 36 + 2 27 = 1（2x6） （）设点(2，26)，(2， 26) 由（）知，轨迹 C 是椭圆 2 36 + 2 27 = 1在直线 x2 的右侧的部分（包括点 A、B） 可求出直线 AF
30、 的斜率为26，直线 BF 的斜率为26 （1）当直线 l 的斜率不存在时，设(3， 9 2)，(3， 9 2)， 第 15 页（共 16 页） 此时，|MN|9 （2）当直线 l 的斜率 K 存在时，直线 l 的方程为 yk（x3） 由已知，直线 l 与轨迹 C 交于 M，N 两点， 则 26或 26 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 由（）知，| = 6 1 2 1，| = 6 1 2 2， 所以|MN|MF|+|NF|= 12 1 2 (1+ 2) 由 = ( 3) 2 36 + 2 27 = 1 ，得（3+4k2）x224k2x+36k21080 则1+ 2= 242 3+
31、42， 所以| = 12 1 2 (1+ 2) = 12 122 3+42 = 12 12 3 2+4 因为 26或 26， 所以 k224， 所以0 1 2 1 24， 所以912 12 3 2+4 100 11 ，即9| 100 11 综上可知，9| 100 11 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知直线 l 的参数方程为 = 1 2 + 3 2 = 1 2 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直
32、角坐标方程； （2）设点 P（1 2，0） ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AP|+|PB|的值 【解答】解： （1）直线 l 的参数方程为 = 1 2 + 3 2 = 1 2 （t 为参数） ， 消去 t，可得 2x23y10； 曲线 C 的极坐标方程为 2cos 第 16 页（共 16 页） 由 xcos，ysin，x2+y22， 可得 x2+y22x，即曲线 C 的直角坐标方程为（x1）2+y21； （2）将直线 l 的参数方程 = 1 2 + 3 2 = 1 2 （t 为参数）代入 C 的方程（x1）2+y21， 可得 t2 3 2 t 3 4 =0，= 3 4 +30
33、， 设 t1，t2是点 A，B 对应的参数值， t1+t2= 3 2 ，t1t2= 3 4，则|PA|+|PB|t1t2|= (1 + 2)2 412=3 4 + 3 = 15 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 f（x）|x+1|+|x2| （1）已知关于 x 的不等式 f（x）a 有实数解，求 a 的取值范围； （2）求不等式 f（x）x22x 的解集 【解答】解： （1）f（x）|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|3， 当且仅当（x+1） （x2）0，即1x2 时取等号， f（x）min3， 不等式 f（x）a 有实数解， af（x）min3， a 的取值范围为（3，+） ； （2）f（x）|x+1|+|x2|= 2 1， 2 3， 12 2 + 1， 1 ， f（x）x22x， 2 1 2 2 2 或3 2 2 12 或2 + 1 2 2 1 ， 2 2 + 3或1x2 或 x1， 1 2 + 3 不等式的解集为1，2 + 3
