1、第 1 页 共 28 页 2020 届山西省运城市高三调研测试（第一次模拟）数学（理）届山西省运城市高三调研测试（第一次模拟）数学（理） 试题试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合 1 0 ,1,0,1 2 x AxB x ，则，则AB等于（等于（ ） A1 1xx B1,0,1 C1,0 D0,1 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先化简集合 A，再与集合 B 求交集. 【详解】 因为 1 021 2 x Axxx x ，1,0,1B ， 所以1,0AB . 故选：C 【点睛】 本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题. 2复数复数 1 2zi，若复数，若复数 1
2、2 ,z z在复平面内对应的点关于虚轴对称，则在复平面内对应的点关于虚轴对称，则 1 2 z z 等于（等于（ ） ） A 34 5 i B 34 5 i C3 4i D 34 5 i 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先通过复数 12 ,z z在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到 2 2zi ，再利 用复数的除法求解 1 2 z z . 【详解】 因为复数 12 ,z z在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数 1 2zi， 所以 2 2zi 所以 1 2 22234 22255 iizi i ziii 故选：A 第 2 页 共 28 页 【点睛】 本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于
3、基础题. 3已知已知tan3，则，则 2 cossin2（ ） A 7 2 10 B 7 10 C 7 2 10 D 7 10 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用“1”的变换，所求式子化为关于sin,cos的齐次分式，化弦为切，即可 求解. 【详解】 2 2 222 cos2sincos1 2tan7 cossin2 cossin1tan10 . 故选:B 【点睛】 本题考查同角间三角函关系，弦切互化是解题的关键，属于基础题. 4函数函数 2 ln x f xx x 的图象大致为（的图象大致为（ ） A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据函数 f x的奇偶性和单调性，排
4、除错误选项，从而得出正确选项. 【详解】 因为 fxf x，所以 f x是偶函数，排除 C 和 D. 当0x时， 2 ln x x fx x ， 3 3 2ln1 xx fx x ， 令 0fx ， 得01x， 即 f x在0,1上递减； 令 0fx ， 得1x ， 即 f x 第 3 页 共 28 页 在1,上递增.所以 f x在1x 处取得极小值，排除 B. 故选：A 【点睛】 本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档 题. 5 已知平面向量 已知平面向量, a b， 满足， 满足 1 ,1 3 ab， 且， 且2abab， 则， 则a与与b的夹角为 （
5、的夹角为 （ ） ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 根据2abab， 两边平方 22 2abab， 化简得 2 23aba ， 再利用数量积定义得到 2 2cos,3a ba ba 求解. 【详解】 因为平面向量, a b，满足 1 ,1 3 ab，且2abab， 所以 22 2abab， 所以 2 23aba ， 所以 2 2cos,3a ba ba ， 所以 1 cos, 2 a b ， 所以a与b的夹角为 2 3 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题. 6公元前公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发
6、表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑 步英雄阿基里斯前面步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟 的的10倍倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里米，当阿基里 斯跑完下一个斯跑完下一个100米时， 乌龟先他米时， 乌龟先他10米， 当阿基里斯跑完下米， 当阿基里斯跑完下-个个10米时， 乌龟先他米时， 乌龟先他1米米 所以， 阿基里斯永远追不上乌龟所以
7、， 阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律， 若阿基里斯和乌龟的距离恰好为按照这样的规律， 若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1 米时，乌龟爬米时，乌龟爬行的总距离为（行的总距离为（ ） 第 4 页 共 28 页 A 5 101 900 米米 B 5 109 90 米米 C 4 109 900 米米 D 4 101 90 米米 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据题意，是一个等比数列模型，设 1 1 100,0.1 10 n aqa，由 1 1 0.1100 10 n n a ，解得4n，再求和. 【详解】 根据题意，这是一个等比数列模型，设 1 1 100,0.1 10 n aqa， 所以
8、 1 1 0.1100 10 n n a ， 解得4n， 所以 4 4 4 4 1 1 100 1 101 11 1 1 0 0 11 90 aq S q . 故选：D 【点睛】 本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题. 7某人某人 2018 年的家庭总收人为年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家 年家 庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比年的就医费用比2018年的年的 就医费用增加了就医费用增加了4750元，则该人元，则该人
9、2019年的储畜费用为（年的储畜费用为（ ） A21250元元 B28000元元 C29750元元 D85000元 元 第 5 页 共 28 页 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据 2018 年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10% 得到就医费用 80000 10%8000，再根据2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750 元，得到2019年的就医费用，然后由2019年的就医费用占总收人15%，得到 2019 年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人25%求解. 【详解】 因为 2018 年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10% 所以就医费用80000 10%8
10、000 因为2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元， 所以2019年的就医费用12750元， 而2019年的就医费用占总收人15% 所以 2019 年的家庭总收人为127501585000 而储畜费用占总收人25% 所以储畜费用：850002521250 故选：A 【点睛】 本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用， 还考查了建模解模的能力， 属于基础题. 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ） A2 5 B4 C2 D2 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】先根据三视图还原几何体是一个四棱锥， 根
11、据三视图的数据， 计算各棱的长度. 【详解】 根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示： 第 6 页 共 28 页 由三视图知：2AD ，3,2,CESD 所以2SCDC， 所以 2222 2 2,2 2SASDADSBSCBC， 所以该几何体的最长棱的长为2 2 故选：D 【点睛】 本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 9已知函数已知函数 2sin0,0f xx， 2 8 f ，0 2 f 且且 在在0,上是单调函数，则下列说法正确的是（上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A 1 2 B 62 82 f C函数函数 f x在在, 2 上单调递减上单
12、调递减 D函数函数 f x的图像关于点的图像关于点 5 ,0 4 对对 称称 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据函数 f x，在0,上是单调函数，确定 01，然后一一验证， A.若 1 2 ，则 1 2sin 2 fxx ，由0 2 f ，得 3 4 ，但 132 sin 84822 f.B.由 2 8 f ，0 2 f ，确定 第 7 页 共 28 页 22 2sin 33 f xx，再求解 8 f 验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性 判断.D.计算 5 4 f 是否为 0. 【详解】 因为函数 f x，在0,上是单调函数， 所以 2 T ，即 2 2 ，所以 01 ， 若 1
13、2 ，则 1 2sin 2 fxx，又因为0 2 f ，即 1 sin0 222 f，解得 3 4 ， 而 132 sin 84822 f， 故 A 错误. 由2sin0 22 f，不妨令 2 ，得 2 由 2 sin 882 f， 得 2+ 84 k或 3 2+ 84 k 当2+ 84 k时， 2 =2 3 k ，不合题意. 当 3 2+ 84 k时， 22 = 33 k ，此时 22 2sin 33 f xx 所以 2222762 2sin2sin2sin 8383383122 f， 故 B 正确. 因为 22 ,0, 2333 xx ，函数 f x，在 0, 3 上是单调递增，故 C 错
14、 误. 52527 2sin2sin30 43433 f ，故 D 错误. 故选：B 【点睛】 第 8 页 共 28 页 本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题. 10已知已知 12 ,F F是椭圆和双曲线的公共焦点，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的是它们的-一个公共点，且一个公共点，且 12 2 3 FPF ，设椭圆和双曲线的离心率分别为，设椭圆和双曲线的离心率分别为 12 ,e e，则，则 12 ,e e的关系为（的关系为（ ） A 22 12 31 4 ee B 22 12 41 4 33 ee C 22 12 13 4 ee D 22 12 34e
15、e 【答案】【答案】A 【解析】【解析】设椭圆的半长轴长为 1 a，双曲线的半长轴长为 2 a，根据椭圆和双曲线的定义 得： 121 122 2 2 PFPFa PFPFa ， 解得 112 212 PFaa PFaa ， 然后在 12 FPF中， 由余弦定理得： 22 2 12121212 2 42cos 3 caaaaaaaa ，化简求解. 【详解】 设椭圆的长半轴长为 1 a，双曲线的长半轴长为 2 a， 由椭圆和双曲线的定义得： 121 122 2 2 PFPFa PFPFa ， 解得 112 212 PFaa PFaa ，设 1212 2 2 , 3 FFcFPF， 在 12 FPF
16、中，由余弦定理得： 22 2 12121212 2 42cos 3 caaaaaaaa ， 化简得 222 12 34aac， 即 22 12 31 4 ee . 故选：A 【点睛】 本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能 力，属于中档题. 11一个正四棱锥形骨架的底边边长为一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为，高为 2，有一个球的表面与这个正四棱锥 ，有一个球的表面与这个正四棱锥 第 9 页 共 28 页 的每个边都相切，则该球的表面积为（的每个边都相切，则该球的表面积为（ ） A4 3 B4 C4 2 D3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据正
17、四棱锥底边边长为2，高为 2，得到底面的中心到各棱的距离都是 1， 从而底面的中心即为球心. 【详解】 如图所示： 因为正四棱锥底边边长为2，高为 2， 所以 2,2OBSB ， O 到SB 的距离为1 SOOB d SB ， 同理O到,SC SD SA 的距离为 1， 所以o为球的球心， 所以球的半径为：1， 所以球的表面积为4. 故选：B 【点睛】 本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题. 12设设 fx函数函数 0f xx 的导函数，且满足的导函数，且满足 2 f x fx x ，若在，若在ABC中，中， 3 4 A ，则（，则（ ） A 22 sinsinsin
18、sinfABfBA B 22 sinC sinsinsinfBfBC C 22 cossinsincosfABfBA 第 10 页 共 28 页 D 22 cosC sinsincosfBfBC 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据 2 f x fx x 的结构形式，设 2 f x g x x ，求导 3 2xfxfx gx x ，则 0g x ， g x在0,上是增函数，再根据 在ABC中， 3 4 A ，得到0 4 B，0 4 C，利用余弦函数的单调性， 得到cossinCB，再利用 g x的单调性求解. 【详解】 设 2 f x g x x ， 所以 3 2xfxfx gx x ，
19、因为当0x时， 2 f x fx x ， 即 2 0 xfxfx x ， 所以 0g x ， g x在0,上是增函数， 在ABC中，因为 3 4 A ，所以0 4 B，0 4 C， 因为cossin 4 CB，且0 42 BB， 所以sinsin 4 BB， 即cossinCB， 所以 22 cossin ssin fCfB coCB ， 即 22 cosC sinsincosfBfBC 故选：D 【点睛】 本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 第 11 页 共 28 页 二、填空题二、填空题 13已知已知1 n x的展开式中第的展开式中第5项与项与第第7项的二
20、项式系数相等，则项的二项式系数相等，则n_. 【答案】【答案】10 【解析】【解析】根据1 n x的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，得到 46 nn CC， 再利用组合数公式求解. 【详解】 因为1 n x的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等， 所以 46 nn CC， 即 ! 4!4 !6!6 ! nn nn ， 所以 4565nn， 即 2 9100nn ， 解得10n. 故答案为：10 【点睛】 本题主要考查二项式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14设设 , x y满足约束条件 满足约束条件30 36 xy xy xy ，则目标函数，则目标函数2zxy的最小值为
21、的最小值为_. 【答案】【答案】1 【解析】【解析】根据 , x y满足约束条件 30 36 xy xy xy ，画出可行域，将目标函数2zxy， 转化为2yxz ，平移直线2yx ，找到直线2yxz 在y轴上截距最小时的 点，此时，目标函数 2zxy取得最小值. 【详解】 由 , x y满足约束条件 30 36 xy xy xy ，画出可行域如图所示阴影部分： 第 12 页 共 28 页 将目标函数2zxy，转化为2yxz ， 平移直线2yx ，找到直线2yxz 在y轴上截距最小时的点1, 3A 此时，目标函数 2zxy取得最小值，最小值为 1 故答案为：-1 【点睛】 本题主要考查线性规划
22、求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 15已知抛物线已知抛物线 2 :8C yx的焦点为的焦点为F，直线，直线l与抛物线与抛物线C相切于相切于M点，点，N是是l上一上一 点点(不与不与M重合重合)，若以线段，若以线段MN为直径的圆恰好经过为直径的圆恰好经过F，则点，则点N到抛物线顶点到抛物线顶点O的的 距离距离ON的最小值是的最小值是_. 【答案】【答案】2 【解析】【解析】根据抛物线 2 :8C yx，不妨设 ,2 2Mmm，取 2 2yx，通过求导得 2 l k m ， 2 :2 2lymxm m ，再根据以线段MN为直径的圆恰好 经过F，则MFNF ，得到 2 :2 2 2
23、NF m lyx m ，两式联立，求得点 N 的 轨迹，再求解最值. 【详解】 因为抛物线 2 :8C yx，不妨设 ,2 2Mmm，取 2 2yx， 所以 2 y x ，即 2 l k m ， 第 13 页 共 28 页 所以 2 :2 2lymxm m ， 因为以线段MN为直径的圆恰好经过F， 所以MFNF ， 所以 12 2 2 NF MF m k k m ， 所以 2 :2 2 2 NF m lyx m ， 由 2 2 2 2 2 2 2 ymxm m m yx m ，解得2x， 所以点N在直线 2x上， 所以当2,0N 时， ON最小，最小值为2. 故答案为：2 【点睛】 本题主要考
24、查直线与抛物线的位置关系直线的交轨问题，还考查了运算求解的能力，属 于中档题. 16 已知 已知ABC中中,AB BC， 点， 点D是边是边BC的中点，的中点，ABC 的面积为的面积为2， 则线段， 则线段AD 的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】3, 【解析】【解析】设,ABBCt ADm，利用正弦定理，根据 2 1 sin2 2 ABC StB， 得到 2 sin4tB ，再利用余弦定理得 222 5 cos 4 tBtm，平方相加 得： 2 422 5 16 4 ttm ，转化为 4224 940162560tm tm 有解问 题求解. 【详解】 设,ABBCt ADm， 第
25、14 页 共 28 页 所以 2 1 sin2 2 ABC StB， 即 2 sin4tB 由余弦定理得 2 22 2cos 22 tt mttB ， 即 222 5 cos 4 tBtm， 平方相加得： 2 422 5 16 4 ttm ， 即 4224 940162560tm tm ， 令 2 0tx ，设 224 94016256g xxm xm，在0,上有解， 所以 2 222 24 202020 940162560 999 mmm gmm ， 解得 4 9m ，即 3m ， 故答案为：3, 【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属 于难题
26、. 三、解答题三、解答题 17已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且满足，且满足 2 * 1 1 91 1,02 , 6 n nn an aanSnN ，各项均为正数的等比数列，各项均为正数的等比数列 n b满满 足足 1234 ,ba ba （1）求数列）求数列 , nn ab的通项公式；的通项公式； （2）若）若 1 , 2 nnn ca b，求数列，求数列 n c的前的前n项和项和 n T 【答案】【答案】 （1）34 n an；2n n b （2）37 27 n n Tn 【解析【解析】 （1）由 2 1 91 6 n n an S化为 2 1 691 nn aSn
27、 ，利用数列的通项公式和 前 n 项和的关系，得到 n a是首项为1，公差为3的等差数列求解. 第 15 页 共 28 页 （2）由（1）得到 1 342 n n cn，再利用错位相减法求解. 【详解】 （1） 2 1 91 6 n n an S可以化为 2 1 691 nn aSn ， 2 1 6911 nn aSn ， 22 1 692 nnn aaan ， 2 2 1 3 nn aa ， 又2nQ时，0 n a 1 32 nn aan 数列 n a从 2 a开始成等差数列， 1 1a ，代入 2 1 91 6 n n an S 得 221 2,3aaa n a是首项为1，公差为3的等差数
28、列， 34 n an， 1234 2,8,2n n babab. （2）由（1）得 1 342 n n cn， 011 1 22 2? 34 2 n n Tn， 12 21 22 2? 342 n n Tn， 两式相减得 121 1 3 22? 2342 nn n Tn ， 1 1 6 21342 nn n ， 3727 n n Tn. 【点睛】 本题主要考查数列的通项公式和前 n 项和的关系和错位相减法求和， 还考查了运算求解 第 16 页 共 28 页 的能力，属于中档题. 18 在创建 在创建“全国文明卫生城全国文明卫生城”过程中， 运城市过程中， 运城市“创城办创城办”为了调查市民对创
29、城工作的了解为了调查市民对创城工作的了解 情况，进行了一次创城知识问卷调查情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参，通过随机抽样，得到参 加问卷调查的加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：人的得分统计结果如表所示：. 组别组别 30,40 40,50 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100 频数频数 2 12 20 25 24 13 4 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分,198 ,ZN似为这似为这100 人得分的平均值人得分的平均值(同一组中的数
30、据用该组区间的中点值作代表同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求，利用该正态分布，求 38.2(. )80 2PZ； （2）在（）在（1）的条件下，）的条件下，“创城办创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： 得分不低于得分不低于的可以获赠的可以获赠2次随机话费，得分低于次随机话费，得分低于的可以获赠的可以获赠1次随机话费；次随机话费； 每次获赠的随机话费和对应的概率为：每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额赠送话费的金额(单位：元单位：元) 20 50 概率概率 3 4 1 4 现有市民甲参加此次问卷调查，
31、记现有市民甲参加此次问卷调查，记X(单位：元单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X的分布列与数学期望的分布列与数学期望. 附：参考数据与公式：附：参考数据与公式：19814，若，若 2 ,XN ，则，则 0.6826Px，220.9544PX， 330.9974PX 【答案】【答案】 （1）0.8185（2）详见解析 【解析】【解析】 1由题意，根据平均数公式求得66.2，再根据19814，参照数 据求解. 第 17 页 共 28 页 2由题意得 1 2 P ZP Z，获赠话费X的可能取值为 20,40,50,70,100，求得相应的概率，列出分布列
32、求期望. 【详解】 1由题意得 35 245 1255 2065 2575 2485 1395 14 66.2 100 66.2 19814 66.2 1466.2 1452.280.20.6826PZPZ 1 66.22 1452.238.294.252.280.20.1359 2 PZPZPZ 综上， 38.280.238.252.252.280.20.13590.6826PZPZPZ 2由题意得 1 2 P ZP Z，获赠话费X的可能取值为 20,40,50,70,100 133 20 248 P X ， 1339 40 24432 P X 111 50 248 P X ， 131113
33、3 70 24424416 P X 1111 100 24432 P X X的分布列为： X 20 40 50 70 100 P 3 8 9 32 1 8 3 16 1 32 第 18 页 共 28 页 39131165 20405070100 832816324 EX 【点睛】 本题主要考查正态分布和离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力， 属于中档题. 19已知椭圆已知椭圆C 22 22 10,0 yx ab ab 的长轴长为的长轴长为4，离心率，离心率 3 2 e （1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程； （2）设）设,A B分别为椭圆与分别为椭圆与x轴正半轴和轴正半轴和y轴
34、正半轴的交点，轴正半轴的交点，P是椭圆是椭圆C上在第一象限上在第一象限 的一点， 直线的一点， 直线PA与与y轴交于点轴交于点M， 直线， 直线PB与与x轴交于点轴交于点N， 问， 问PMN与与PAB面面 积之差是否为定值？说明理由积之差是否为定值？说明理由. 【答案】【答案】 （1） 2 2 1 4 y x（2）是定值，详见解析 【解析】【解析】 （1）根据长轴长为4，离心率 3 2 e ，则有 222 2 3 2 a c a abc 求解. （2）设 0000 ,0,0P x yxy，则 22 00 44xy，直线 0 0 :1 1 y PA yx x ，令 0x得， 0 0 1 M y
35、y x ，则2 M BMy，直线 0 2 2 :2 y PB yx x ，令0y ， 得 0 0 2 2 N x x y ，则1 N ANx，再根据 PMNPABMANPANBANPANMANBAN SSSSSSSS求解. 【详解】 （1）依题意得 222 2 3 2 a c a abc ， 解得 2 1 a b ， 第 19 页 共 28 页 则椭圆C的方程 2 2 1 4 y x. （2）设 0000 ,0,0P x yxy，则 22 00 44xy， 直线 0 0 :1 1 y PA yx x ， 令0x得， 0 0 1 M y y x ， 则 0 0 22 1 M y BMy x ，
36、直线 0 2 2 :2 y PB yx x ， 令0y ，得 0 0 2 2 N x x y ， 则 0 0 2 11 2 N x ANx y ， PMNPABMANPANBANPANMANBAN SSSSSSSS 00 00 211 212 2212 yx ANBM xy . 【点睛】 本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系， 还考查了平面几何知识和运算求解 的能力，属于中档题. 20已知函数已知函数 2 cosf xaxx aR （1）当）当 1 2 a 时，证明时，证明 0fx ，在，在0,)恒成立；恒成立； （2）若）若 f x在在0x处取得极大值，求处取得极大值，求a的取值范围
37、的取值范围. 【答案】【答案】 （1）证明见解析（2） 1 , 2 【解析】【解析】 （1）根据 2 1 cos 2 f xxx，求导 fxxsinx，令 h xx sinx， 用导数法求其最小值. 2设 2,g xfxaxsinx研究在0x处左正右负， 求导 2.gxacosx， 第 20 页 共 28 页 分 1 2 a 1 2 a ， 11 22 a，三种情况讨论求解. 【详解】 （1）因为 2 1 cos 2 f xxx， 所以 fxxsinx， 令 h xxsinx，则 10h xcosx ， 所以 h x是0,)的增函数， 故 00h xh， 即 0fx . 2因为 2,g xfx
38、axsinx 所以 2.gxacosx， 当 1 2 a 时， 10gxcosx ， 所以函数 fx在R上单调递增. 若0x，则 00;fxf 若0x，则 00,fxf 所以函数 f x的单调递增区间是(0,)，单调递减区间是(,0)， 所以 f x在0x处取得极小值，不符合题意， 当 1 2 a 时， 10,gxcosx 所以函数 fx在R上单调递减. 若0x，则 00,fxf 若0x，则 00;fxf 所以 f x的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(,0)， 所以 f x在0x处取得极大值，符合题意. 当 11 22 a时， 0 0,x，使得 0 2cosxa， 即 0 0gx，但当
39、 0 0,xx时，cos2xa即 0,gx 第 21 页 共 28 页 所以函数 fx在 0 0,x上单调递减， 所以 00fxf，即函数 f x)在 0 0,x上单调递减，不符合题意 综上所述，a的取值范围是 1 , 2 【点睛】 本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能 力，属于难题. 21如图如图 1，ADC与与ABC是处在同是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，个平面内的两个全等的直角三角形， 30ACBACD 90ABCADC ，2AB ，连接是，连接是 ,BD E边边BC上一上一 点点，过，过E作作/ EFBD，交，交CD于点于点F，沿，沿EF
40、将将CEF向上翻折，得到如图向上翻折，得到如图 2 所示所示 的六面体的六面体,PABEFD （1）求证：）求证：;BDAP （2） 设） 设),(BEECR若平面若平面PEF 底面底面ABEFD， 若平面， 若平面PAB与平面与平面PDF所所 成角的余弦值为成角的余弦值为 5 5 ，求，求的值；的值； （3）若平面）若平面PEF 底面底面ABEFD，求六面体，求六面体PABEFD的体积的最大值的体积的最大值. 【答案】【答案】 （1）证明见解析（2） 1 4 （3）16 3 9 【解析】【解析】 1根据折叠图形， BDAC，,PNBD由线面垂直的判定定理可得BD 平面PAN，再根据AP 平面PAN，得到BDAP. （2）根据,PNEFEFAC，以N为坐标原点，,NA NE NP为 , ,x y z轴建立空 第 22 页 共 28 页 间直角坐标系， 根据2,2 3,1,3ABADBDBCAMCM
