1、 第 1 页（共 28 页） 2020 年内蒙古包头市中考数学模拟试卷（年内蒙古包头市中考数学模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）在|2|，（+2） ，2 1，0 这四个数中，最小的数是（ ） A|2| B（+2） C0 D2 1 2 （3 分）若单项式2am+2b3与 ab2n是同类项，则 m2n 的值为（ ） A4 B2 C2 D4 3 （3 分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A长方体 B圆锥 C圆柱 D三棱柱 4 （3 分）解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（ ） A 5 4 B
2、5 4 C 5 4 D 5 4 5 （3 分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为 1 的半圆形量 角器中，画一个直径为 1 的圆，把刻度尺 CA 的 0 刻度固定在半圆的圆心 O 处，刻度尺 可以绕点 O 旋转从图中所示的图尺可读出 cosAOB 的值是（ ） A3 4 B 7 10 C4 5 D3 5 6 （3 分）下列说法中不正确的是（ ） A抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件 B把 4 个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有 2 个球是必然事件 C任意打开九年级下册数学教科书，正好是 97 页是确定事件 第 2 页（共 28 页） D一只盒子中有白球 3
3、 个，红球 6 个（每个球除了颜色外都相同） 如果从中任取一个 球，取得的是红球的概率大于白球的概率 7 （3 分）如图，已知钝角ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹 步骤 1：以 C 为圆心，CA 为半径画弧： 步骤 2：以 B 为圆心，BA 为半径画弧，交弧于点 D； 步骤 3：连接 AD，交 BC 延长线于点 H 下列叙述正确的是（ ） AAC 平分BAD BBCCH CSABCBCAH DBH 平分线段 AD 8 （3 分）若 a，b，c 是ABC 三条边的长，则关于 x 的方程 cx2+（a+b）x+ 4 =0 的根的 情况是（ ） A没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个
4、不相等的实数根 D无法确定 9 （3 分）下列命题是真命题的是（ ） A同位角相等 B有两个角为 60的三角形是等边三角形 C若 ab，则 a2b2 D若 ab0，则 a0，b0 10 （3 分）若点 M（m，n）是抛物线 y2x2+2x3 上的点，则 mn 的最小值是（ ） A0 B15 8 C23 8 D3 11 （3 分）如图，把一个斜边长为 2 且含有 30角的直角三角板 ABC 绕直角顶点 C 顺时针 旋转 90到A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是（ ） 第 3 页（共 28 页） A B3 C3 4 + 3 2 D11 12 + 3 4 12 （3 分）如图，已
5、知正方形 ABCD 的边长为 4，E 为对角线 AC 上一点，连接 DE，作 EF DE 交 BC 于点 F，且 CF= 12 5 ，把ADE 沿 DE 翻折得到ADE，边 AD 交 EF、 AC 分别于点 G、H，则AFG 的面积为 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 （3 分）已知，|a2|+|b+3|0，则 ba 14 （3 分）已知，x、y 为实数，且 y= 2 1 1 2+3，则 x+y 15 （3 分）张老师随机抽取 6 名学生，测试他们的打字能力，测得他们每分钟打字个数分 别为：100，80，70，80，90，60，
6、那么这组数据的中位数是 ，方差是 16 （3 分）若 a+ 1 =3，则 a2a+2 17 （3 分）等腰ABC 被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原 三角形相似，则等腰ABC 的顶角的度数是 18 （3 分）如图，直线 y= 1 2x+2 与 x，y 轴交于 A、B 两点，以 AB 为边在第一象限作矩形 ABCD， 矩形的对称中心为点 M， 若双曲线 y= （x0） 恰好过点 C、 M， 则 k 第 4 页（共 28 页） 19 （3 分）如图，三个一样大小的小长方形沿“横竖横”排列在一个长为 10，宽为 8 的大长方形中，则图中一个小长方形的面积等于 20 （3 分）
7、如图，在菱形 ABCD 中，已知 AB4，ABC60，EAF60，点 E 在 CB 的延长线上，点 F 在 DC 的延长线上，有下列结论： BECF；EABCEF；ABEEFC； 若BAE15，则点 F 到 BC 的距离为 23 2 则其中正确结论的个数是 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 10 分）分） 21 （10 分） 抽屉里有一副扑克牌中的三张牌， 从中随机取出一张记下牌花， 放回抽屉洗匀； 再从中随机取出一张记下牌花 （1）如果三张牌花各不相同，求两次取出的是相同牌花的概率； （2）如果其中两张牌花相同，另一张牌花不同，求两次取出的是相同
8、牌花的概率 22 （10 分）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 边的中点，AB= 213，BC 12，tanB= 3 2 （1）求ABC 的面积； 第 5 页（共 28 页） （2）求 tanEDC 的值 23 （10 分） “国美商场” 销售某品牌汤锅， 其成本为每件 80 元， 9 月份的销售额为 2 万元， 10 月份商场对这种汤锅的售价打 9 折销售，结果销售量增加了 50 件，销售额增加了 0.7 万元 （销售额销售量售价） （1）求“国美商场”9 月份销售该品牌汤锅的销售单价； （2）11 月 11 日“购物节”商场在 9 月份售价的基础上打折促销（但不亏
9、本） ，销售的数 量 y（件）与打折的折数 x 满足一次函数 y50x+600问商场打几折时利润最大，最 大利润是多少？ （3）在（2）的条件下，为保证“国美商场”利润不低于 1.5 万元，且能够最大限度帮助 厂家减少库存， “国美”商场应该在 9 月份销售价的基础上打几折？ 24 （10 分）如图，ABC 内接于O，AD 是O 的切线，点 A 是切点，且 ADBC，过 点 C 作 AB 的平行线交 AD 于点 D （1）求证：ABAC； （2）若O 的半径为 5，AB：BC1：3，求四边形 ABCD 的面积 25 （10 分）在正方形 ABCD 中 （1）如图 1，如果 N 是 AD 中点，
10、F 为 AB 中点，连接 DF，CN 求证：DFCN；连接 AC求 DH：HE：EF 的值； （2）如图 2，若正方形边长为 acm，如果点 E、M 分别是线段 AC、CD 上的动点，假设 点 E 从点 A 出发，以2cm/s 速度沿 AC 向点 C 运动，同时点 M 从点 C 出发，以 1cm/s 的速度沿 CD 向点 D 运动，运动时间为 t（t0） ，连结 DE 并延长交正方形的边于点 F， 过点 M 作 MNDF 于 H， 交 AD 于 N， 连接 FM、 FN， MNF 能否为等腰三角形？若能， 请写出 a 与 t 之间的关系；若不能，请说明理由 第 6 页（共 28 页） 26 （
11、10 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+3（a0）经过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点（不点 B，C 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行 线交直线 BC 于点 D，设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PD 的长 连接 PB，PC，求PBC 的面积最大时点 P 的坐标 （3）设抛物线的对称轴与 BC 交于点 E，点 M 是抛物线的对称轴上一点，N 为 y 轴上一 点，是否存在这样的点 M 和点 N，使得以点 C、E、M、N 为顶点的四边形是菱形？如果 存在，请直接写出
12、点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由 第 7 页（共 28 页） 2020 年内蒙古包头市中考数学模拟试卷（年内蒙古包头市中考数学模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）在|2|，（+2） ，2 1，0 这四个数中，最小的数是（ ） A|2| B（+2） C0 D2 1 【解答】解：|2|2，（+2）2，2 1=1 2，0， |2|2 10（+2） ， 最小的数是：（+2） 故选：B 2 （3 分）若单项式2am+2b3与 ab2n是同类项，则 m2n 的值为（ ） A
13、4 B2 C2 D4 【解答】解：单项式2am+2b3与 ab2n是同类项， m+21，2n3， 解得 m1，n= 3 2， m2n134 故选：A 3 （3 分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A长方体 B圆锥 C圆柱 D三棱柱 【解答】解：俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和 左视图是长方形的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱， 故选：D 4 （3 分）解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（ ） 第 8 页（共 28 页） A 5 4 B 5 4 C 5 4 D 5 4 【解答】解：由图示可看出，这个不等式组的解集是5x4 故选
14、：D 5 （3 分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为 1 的半圆形量 角器中，画一个直径为 1 的圆，把刻度尺 CA 的 0 刻度固定在半圆的圆心 O 处，刻度尺 可以绕点 O 旋转从图中所示的图尺可读出 cosAOB 的值是（ ） A3 4 B 7 10 C4 5 D3 5 【解答】解：如图，连接 AD OD 是直径， OAD90， OD1，OA0.8， AD= 2 2=12 082=0.6， AOB+AOD90，AOD+ADO90， AOBADO， cosAOBcosADO= = 0.6 1 = 3 5， 故选：D 6 （3 分）下列说法中不正确的是（ ） A抛掷
15、一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件 B把 4 个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有 2 个球是必然事件 C任意打开九年级下册数学教科书，正好是 97 页是确定事件 第 9 页（共 28 页） D一只盒子中有白球 3 个，红球 6 个（每个球除了颜色外都相同） 如果从中任取一个 球，取得的是红球的概率大于白球的概率 【解答】解：A、抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，正确，不合题意； B、把 4 个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有 2 个球是必然事件，正确，不合题 意； C、任意打开九年级下册数学教科书，正好是 97 页是随机事件，故此选项错误，符合题 意； D、摸到红球的
16、概率是6 9 = 2 3，摸到白球的概率是 3 9 = 1 3，则取得的是红球的概率大于白 球的概率正确，不合题意 故选：C 7 （3 分）如图，已知钝角ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹 步骤 1：以 C 为圆心，CA 为半径画弧： 步骤 2：以 B 为圆心，BA 为半径画弧，交弧于点 D； 步骤 3：连接 AD，交 BC 延长线于点 H 下列叙述正确的是（ ） AAC 平分BAD BBCCH CSABCBCAH DBH 平分线段 AD 【解答】解：根据作图可知： 连接 CD，BD， 第 10 页（共 28 页） ACCD，ABDB， BH 是 AD 的垂直平分线， BH 平分线段
17、AD 故选：D 8 （3 分）若 a，b，c 是ABC 三条边的长，则关于 x 的方程 cx2+（a+b）x+ 4 =0 的根的 情况是（ ） A没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D无法确定 【解答】解：（a+b）24c 4 =（a+b+c） （a+bc） ， a，b，c 是ABC 三条边的长， a+b+c0，a+bc， 0， 方程有两个不相等的实数根 故选：C 9 （3 分）下列命题是真命题的是（ ） A同位角相等 B有两个角为 60的三角形是等边三角形 C若 ab，则 a2b2 D若 ab0，则 a0，b0 【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，所以 A 选项为假
18、命题； B、有两个角为 60的三角形是等边三角形，所以 B 选项为真命题； C、若 a0，b1，则 a2b2，所以 C 选项为假命题； D、当 a0，b1 时，ab0，所以 D 选项为假命题 故选：B 10 （3 分）若点 M（m，n）是抛物线 y2x2+2x3 上的点，则 mn 的最小值是（ ） A0 B15 8 C23 8 D3 【解答】解：点 M（m，n）是抛物线 y2x2+2x3 上的点， n2m2+2m3， 第 11 页（共 28 页） mnm（2m2+2m3）2m2m+32（m 1 4） 2+23 8 ， mn 的最小值是23 8 ， 故选：C 11 （3 分）如图，把一个斜边长为
19、 2 且含有 30角的直角三角板 ABC 绕直角顶点 C 顺时针 旋转 90到A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是（ ） A B3 C3 4 + 3 2 D11 12 + 3 4 【解答】解：在ABC 中，ACB90，BAC30，AB2， BC= 1 2AB1，B90BAC60， AC= 22= 3， SABC= 1 2 BCAC= 3 2 ， 设点 B 扫过的路线与 AB 的交点为 D，连接 CD， BCDC， BCD 是等边三角形， BDCD1， 点 D 是 AB 的中点， SACD= 1 2SABC= 1 2 3 2 = 3 4 ， ABC 扫过的面积S扇形ACA1+S
20、扇形BCD+SACD， = 90 360 （3）2+ 60 360 12+ 3 4 ， = 3 4+ 1 6+ 3 4 ， = 11 12+ 3 4 故选：D 第 12 页（共 28 页） 12 （3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 为对角线 AC 上一点，连接 DE，作 EF DE 交 BC 于点 F，且 CF= 12 5 ，把ADE 沿 DE 翻折得到ADE，边 AD 交 EF、 AC 分别于点 G、H，则AFG 的面积为 18 25 【解答】解：作 EMCD 于 M，ENBC 于 N，连接 DF 四边形 ABCD 是正方形， ECNECM， EMCENC90，CECE，
21、 ECNECM（AAS） ， EMEN，CNCM， ENCEMCMCN90， MEN90， EFED， DEFMEN90， DEMFEN， 第 13 页（共 28 页） ENFEMD90， ENFEMD（ASA） ， FNDM，DEEF， EDFEFD45， ADE+CDFEDA+ADF45， ADEADE， ADFCDF， DADADC，DFDF， ADFCDF（SAS） ， DAFDCF90，CFFA= 12 5 GEDGAF90，EGDAGF， AFGADEADEDEM， CF+CDCNNF+CM+DM2CM= 12 5 +4= 32 5 ， CM= 16 5 ， FNDM4 16 5
22、= 4 5， DEMAFG， tanDEMtanAFG， = ， 12 5 = 4 5 16 5 ， AG= 3 5， SGFA= 1 2 AGAF= 1 2 12 5 3 5 = 18 25 故答案为18 25 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 （3 分）已知，|a2|+|b+3|0，则 ba 9 【解答】解：|a2|+|b+3|0， a20，b+30， 第 14 页（共 28 页） a2，b3， 则 ba（3）29 故答案为：9 14 （3 分）已知，x、y 为实数，且 y= 2 1 1 2+3，则 x+y 2 或 4 【解
23、答】解：由题意知，x210 且 1x20， 所以 x1 所以 y3 所以 x+y2 或 4 故答案是：2 或 4 15 （3 分）张老师随机抽取 6 名学生，测试他们的打字能力，测得他们每分钟打字个数分 别为：100，80，70，80，90，60，那么这组数据的中位数是 80 ，方差是 500 3 【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：60，70，80，80，90，100， 则中位数为：1 2（80+80）80； 平均数是1 6（100+80+70+80+90+60）80， 则方差是1 6（10080） 2+2（8080）2+（7080）2+（6080）2+（9080）2=500 3 ；
24、 故答案为：80，500 3 16 （3 分）若 a+ 1 =3，则 a2a+2 1 【解答】解： + 1 = 1， a2+1a，即 a2a1， 则原式1+21， 故答案为：1 17 （3 分）等腰ABC 被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原 三角形相似，则等腰ABC 的顶角的度数是 36或 90或 108 【解答】解： （1）如图，ABC 中，ABAC，BDAD，ACCD，ABDBAC， 求BAC 的度数 第 15 页（共 28 页） ABAC，BDAD，ACCD， BCBAD，CDACAD， CDA2B， CAB3B， BAC+B+C180， 5B180， B36，
25、BAC108； （2）如图，ABC 中，ABAC，ADBDCD，ABDBAC，求BAC 的度数 ABAC，ADBDCD， BCDACDAB BAC2B BAC+B+C180， 4B180， B45， BAC90； （3）如图，ABC 中，ABAC，BDADBC，BCDABC，求BAC 的度数 第 16 页（共 28 页） ABAC，BDADBC， BC，AABD，BDCC BDC2A， C2AB， A+ABC+C180， 5A180， A36； 综上所述，等腰ABC 的顶角的度数是 36或 90或 108， 故答案为：36或 90或 108 18 （3 分）如图，直线 y= 1 2x+2 与
26、x，y 轴交于 A、B 两点，以 AB 为边在第一象限作矩形 ABCD， 矩形的对称中心为点 M， 若双曲线 y= （x0） 恰好过点 C、M， 则 k 56 9 【解答】解：y= 1 2x+2， x0 时，y2； y0 时， 1 2x+20，解得 x4， A（4，0） ，B（0，2） 四边形 ABCD 是矩形， ABC90 设直线 BC 的解析式为 y2x+b， 将 B（0，2）代入得，b2， 直线 BC 的解析式为 y2x+2， 设 C（a，2a+2） ， 矩形 ABCD 的对称中心为点 M， 第 17 页（共 28 页） M 为 AC 的中点， M（:4 2 ，a+1） 双曲线 y= （
27、x0）过点 C、M， a（2a+2）= +4 2 （a+1） ， 解得 a1= 4 3，a21（不合题意舍去） ， ka（2a+2）= 4 3（2 4 3 +2）= 56 9 故答案为56 9 19 （3 分）如图，三个一样大小的小长方形沿“横竖横”排列在一个长为 10，宽为 8 的大长方形中，则图中一个小长方形的面积等于 8 【解答】解：设小长方形的长为 x，宽为 y， 根据题意得：2 + = 10 + 2 = 8 ， 解得： = 4 = 2， xy428 故答案为：8 20 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，已知 AB4，ABC60，EAF60，点 E 在 CB 的延长线上，点 F 在
28、 DC 的延长线上，有下列结论： BECF；EABCEF；ABEEFC； 若BAE15，则点 F 到 BC 的距离为 23 2 则其中正确结论的个数是 第 18 页（共 28 页） 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ABBC，ACBACD， BACEAF60， BAECAF，ABC 是等边三角形， ABCACB60， ACDACB60， ABEACF， 在BAE 和CAF 中， = = = ， BAECAF（SAS） ， AEAF，BECF故正确； EAF60， AEF 是等边三角形， AEF60， AEB+CEFAEB+EAB60， EABCEF，故正确； ACDACB60， ECF6
29、0， AEB60， ABE 和EFC 不会相似，故不正确； 过点 A 作 AGBC 于点 G，过点 F 作 FHEC 于点 H， 第 19 页（共 28 页） EAB15，ABC60， AEB45， 在 RtAGB 中，ABC60，AB4， BG2，AG23， 在 RtAEG 中，AEGEAG45， AGGE23， EBEGBG23 2， AEBAFC， ABEACF120，EBCF23 2， FCE60， 在 RtCHF 中，CFH30，CF23 2， CH= 3 1 FH= 3（3 1）33 点 F 到 BC 的距离为 33，故不正确 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小
30、题，满分 60 分，每小题分，每小题 10 分）分） 21 （10 分） 抽屉里有一副扑克牌中的三张牌， 从中随机取出一张记下牌花， 放回抽屉洗匀； 再从中随机取出一张记下牌花 （1）如果三张牌花各不相同，求两次取出的是相同牌花的概率； （2）如果其中两张牌花相同，另一张牌花不同，求两次取出的是相同牌花的概率 【解答】解： （1）三张牌花各不相同， 这三张牌分别用 A、B、C 表示， 画图如下： 第 20 页（共 28 页） 共有 9 种等情况数，其中两次取出的是相同牌花的有 3 种， 则两次取出的是相同牌花的概率是3 9 = 1 3； （2）两张牌花相同，另一张牌花不同， 这三张牌分别用 A
31、、A、B 表示， 画图如下： 共有 9 种等情况数，其中两次取出的是相同牌花的有 5 种， 则两次取出的是相同牌花的概率是5 9 22 （10 分）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 边的中点，AB= 213，BC 12，tanB= 3 2 （1）求ABC 的面积； （2）求 tanEDC 的值 【解答】解： （1）在ABD 中，ADB90，AB= 213，tanB= 3 2， 2+ 2= 2 = 3 2 ，即 2+ 2= 52(1) = 2 3 (2) 解得， = 6 = 4或 = 6 = 4（舍去） 第 21 页（共 28 页） 在ABC 中，ADBC，BC12，
32、SABC= 1 2BCAD= 1 2 12 6 =36，即 SABC36； （2）在 RtACD 中，E 是 AC 边的中点， AEECDE， EDCACD， tanEDCtanACD， tanACD= = 6 124，即 tanACD= 3 4， tanEDC= 3 4 23 （10 分） “国美商场” 销售某品牌汤锅， 其成本为每件 80 元， 9 月份的销售额为 2 万元， 10 月份商场对这种汤锅的售价打 9 折销售，结果销售量增加了 50 件，销售额增加了 0.7 万元 （销售额销售量售价） （1）求“国美商场”9 月份销售该品牌汤锅的销售单价； （2）11 月 11 日“购物节”商
33、场在 9 月份售价的基础上打折促销（但不亏本） ，销售的数 量 y（件）与打折的折数 x 满足一次函数 y50x+600问商场打几折时利润最大，最 大利润是多少？ （3）在（2）的条件下，为保证“国美商场”利润不低于 1.5 万元，且能够最大限度帮助 厂家减少库存， “国美”商场应该在 9 月份销售价的基础上打几折？ 【解答】解： （1）设 9 月份销售价格为每件 x 元，据题意可得： 0.9(20000 + 50) = 20000 + 7000， 解得：x200 答：9 月份每件销售 200 元 （2）设国美商场在 11 月 11 日购物节销售该品牌的利润为 L 元， 则：L200 10（5
34、0x+600）80（50x+600） （x4） ， 第 22 页（共 28 页） L1000x2+16000x480001000（x8）2+16000， 当 x8 时，最大利润为 16000 元 答：商场打 8 折时利润最大，最大利润是 16000 元； （3）200 10（50x+600）80（50x+600）15000， 解得 7x9 当 7x9 时，函数 y50x+600 的值随着 x 的增大而减小， 因此当 x7 时，利润不低于 15000 元，且又能够最大限度减少厂家库存 24 （10 分）如图，ABC 内接于O，AD 是O 的切线，点 A 是切点，且 ADBC，过 点 C 作 AB
35、 的平行线交 AD 于点 D （1）求证：ABAC； （2）若O 的半径为 5，AB：BC1：3，求四边形 ABCD 的面积 【解答】 （1）证明：如图，连接 OA AD 是O 的切线，点 A 是切点， OAAD， ADBC， BEAOAD90， 又AE 过圆心， = ， ABAC； （2）解：如图，连接 OB，设 OA 与 BC 交于点 E ADBC，CDAB， 四边形 ABCD 是平行四边形 由（1）可知，OABC， BE= 1 2BC 第 23 页（共 28 页） 设 ABx，则 BC= 3x，BE= 3 2 x 在 RtABE 中，cosABE= = 3 2 ， ABE30，BAE60
36、， AOB 为等边三角形， ABOA5， BC53，AE= 5 2， S四边形ABCDBCAE53 5 2 = 253 2 25 （10 分）在正方形 ABCD 中 （1）如图 1，如果 N 是 AD 中点，F 为 AB 中点，连接 DF，CN 求证：DFCN；连接 AC求 DH：HE：EF 的值； （2）如图 2，若正方形边长为 acm，如果点 E、M 分别是线段 AC、CD 上的动点，假设 点 E 从点 A 出发，以2cm/s 速度沿 AC 向点 C 运动，同时点 M 从点 C 出发，以 1cm/s 的速度沿 CD 向点 D 运动，运动时间为 t（t0） ，连结 DE 并延长交正方形的边于
37、点 F， 过点 M 作 MNDF 于 H， 交 AD 于 N， 连接 FM、 FN， MNF 能否为等腰三角形？若能， 请写出 a 与 t 之间的关系；若不能，请说明理由 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ABADCD，ABCD，DABCDA90， N 是 AD 中点，F 为 AB 中点， DN= 1 2AD，AF= 1 2AB， 第 24 页（共 28 页） AFDN， 在ADF 与DNC 中， = = = ， ADFDNC（SAS） ， DFCN； 解：ADCDABa，N，F 分别是 AD，AB 中点， DNAF= 1 2a， DF= 2+ 2=2+ (1 2) 2 =
38、5 2 a， AFCD， AFECDE， = = 1 2， = 1 3， EF= 1 3DF= 5 6 a， DHCNDNCD， DH= = 1 2 5 2 = 5 5 a， HEDFDHEF= 5 2 a 5 5 a 5 6 a= 25 15 a， DH：HE：EF= 5 5 a：= 25 15 a： 5 6 a6：4：5； （2）解：MNF 能为等腰三角形理由如下： ABCD， AFECDE， = ，即 = 2 2;2， 解得：AF= 四边形 ABCD 是正方形， DABCDA90， AFD+ADF90， MNDF， 第 25 页（共 28 页） DNM+ADF90， AFDDNM， MN
39、DDFA， = ，即 = ; ， 解得：NDt NDCMt，ANDMat 若MNF 为等腰三角形，则可能有三种情形： 若 FNMN，则由 ANDM 知FANNDM， AFND，即 ; =t， 解得：t0，不合题意 此种情形不存在； 若 FNFM，由 MNDF 知，HNHM， DNDMMC， t= 1 2a，此时点 F 与点 B 重合； 若 FMMN，显然此时点 F 在 BC 边上，如图 3 所示： 由CEFAED，得 = ， = 2;2 2 ， CF= () ， 由DNMCDF，得 = ， ; () = ， DNtCM， 在 RtMFC 和 RtNMD 中， = = ， RtMFCRtNMD（
40、HL） ， FCDMat； 又由NDMDCF， = ，即 ; = ， 第 26 页（共 28 页） FC= () (;) =at， ta，此时点 F 与点 C 重合 综上所述，当 ta 或 t= 1 2a 时，MNF 能够成为等腰三角形 26 （10 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+3（a0）经过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点（不点 B，C 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行 线交直线 BC 于点 D，设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PD 的长 连接 PB，
41、PC，求PBC 的面积最大时点 P 的坐标 （3）设抛物线的对称轴与 BC 交于点 E，点 M 是抛物线的对称轴上一点，N 为 y 轴上一 点，是否存在这样的点 M 和点 N，使得以点 C、E、M、N 为顶点的四边形是菱形？如果 存在，请直接写出点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+3（a0）经过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C， 第 27 页（共 28 页） + + 3 = 0 9 + 3 + 3 = 0，解得 = 1 = 4， 抛物线解析式为 yx24x+3； （2）如图： 设 P（m，m24m+3） ， 将点 B（3
42、，0） 、C（0，3）代入得直线 BC 解析式为 yBCx+3 过点 P 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 D， D（m，m+3） ， PD（m+3）（m24m+3）m2+3m 答：用含 m 的代数式表示线段 PD 的长为m2+3m SPBCSCPD+SBPD = 1 2OBPD= 3 2m 2+9 2m = 3 2（m 3 2） 2+27 8 当 m= 3 2时，S 有最大值 当 m= 3 2时，m 24m+3= 3 4 P（3 2， 3 4） 答：PBC 的面积最大时点 P 的坐标为（3 2， 3 4） （3）存在这样的点 M 和点 N，使得以点 C、E、M、N 为顶点的四边形是菱形 根据题意，点 E（2，1） ， EFC
