1、8.3圆的方程-2-知识梳理考点自诊1.圆的定义及方程 定点 定长(a,b)r-3-知识梳理考点自诊2.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆内.=2.-9-知识梳理考点自诊5.(2019湖南六校(长沙一中、常德一中等)联考,14)已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则AOB外接圆的方程是 .(x-1)2+(y-2)2=5-10-考点1考点2考点3 求圆的方程例1(1)过点A(4,1)的圆C与直
2、线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为.(2)(2019河南林州一中模拟,1)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为 ,则圆C的方程为 .(x-3)2+y2=2(x-1)2+(y+1)2=2-11-考点1考点2考点3-12-考点1考点2考点3-13-考点1考点2考点3思考求圆的方程有哪些常见方法?解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:圆心在过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的垂直平分线上;
3、两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.-14-考点1考点2考点3对点训练1(1)(2019山东聊城模拟,9)在平面直角坐标系xOy中,过A(4,4),B(4,0),C(0,4)三点的圆被x轴截得的弦长为()A(2)(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的有()A.圆M的圆心为(4,-3)B.圆M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M被y轴截得的弦长为6ABD-15-考点1考点2考点3解析:(1)根据题意,设过A、B、C的圆为圆M,其方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,又由A(4,4),B(4,0),C(
4、0,4),则有x2+y2-4x-4y=0,令y=0可得x2-4x=0,解得x1=0,x2=4,即圆与x轴的交点的坐标为(0,0),(4,0),则圆被x轴截得的弦长为4.故选A.(2)圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则(x-4)2+(y+3)2=25,圆的圆心坐标为(4,-3),半径为5,显然选项A正确,选项C不正确.令x,y分别为0,解得y=0时,x1=0,x2=8,即圆M被x轴所截弦长为8,同理,圆M被y轴所截弦长为6,故A,B,D均正确.-16-考点1考点2考点3 与圆有关的轨迹问题例2(1)(2019辽宁沈阳一模,9)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种
5、定义:平面内,到两个定点A,B距离之比是常数(0,1)的点M的轨迹是圆.若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹围成区域的面积为()A.B.2C.3D.4(2)(2019湖南五市十校联考,7)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1(3)圆心在直线y=x上,过点P(1,3)且与圆x2+y2=2外切的圆的标准方程是 .DA(x-2)2+(y-2)2=2-17-考点1考点2考点3-18-考点1考点2考点3思
6、考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法?解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.-19-考点1考点2考点3对点训练对点训练2已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为
7、M,O为坐标原点.则M的轨迹方程为 .(x-1)2+(y-3)2=2 解析解析:圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.-20-考点1考点2考点3 与圆有关的最值问题(多考向)考向1斜率型最值问题例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求 的最大值和最小值.-21-考点1考点2考点3考向2截距型最值问题 例4在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.思考如何求解形如ax+by的最值问题?
8、-22-考点1考点2考点3考向3距离型最值问题例5在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值.思考如何求解形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题?解 如图所示,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.-23-考点1考点2考点3考向4建立目标函数求最值问题例6设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为.思考如何借助圆的几何性质求有关线段长的最值?x+y-2=0-24-考点1考点2考点3考向5利用对称性求最值问题例7(2019河北衡水联考,14)已知A(0,2),
9、点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是.思考如何求解折线段和长的最值问题?-25-考点1考点2考点3解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律:(1)借助几何性质求最值形如 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解,其中利用基本不
10、等式求最值是比较常用的方法.(3)形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:减少动点的个数.“曲化直”,即折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.-26-考点1考点2考点3对点训练3(1)(2019湖南长沙模拟,14)已知圆(x+2)2+y2=1,则x-2y的最大值和最小值分别为.(4)(2019安徽六安一中模拟,14)已知点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,则x2-4y的最小值为.-4-27-考点1考点2考点3-28-考点1考点2考点3-29-考点1考点2考点3(3)因为动点P在直线a:x-2y-2=0上,动点Q在直线b:x-
11、2y-6=0上,直线a:x-2y-2=0与直线b:x-2y-6=0互相平行,动点P在直线a上,动点Q在直线b上,所以PQ的中点M在与a,b平行,且到a,b的距离相等的直线上,设该直线为l,其方程为x-2y+m=0,-30-考点1考点2考点3-31-考点1考点2考点3求半径常有以下方法:(1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径;(2)若已知弦长、弦心距,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.1.求圆的方程需要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式.2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质.3.解决与圆有关的轨迹问题,一定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.
