1、大一轮复习讲义高考专题突破六高考中的概率 与统计问题概率与统计的综合应用题型一师生共研例1某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；解第6小组的频率为1(0.040.100.140.280.30)0.14，由题图易知第4,5,6组的学生均进入决赛，人数为(0.280.300.14)5036，即进入决赛的人数为36.(2)若从该校学生(人数很多)中随机抽取2人
2、，记X表示2人中进入决赛的人数，求X的概率分布及均值.解由题意可知X的可能取值为0,1,2，X的概率分布为概率与统计作为考查学生应用意识的重要载体，已成为近几年高考一大亮点和热点.它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练1从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55,65)，65,75)，75,85内的频率之比为421.(1)求这些产品的质量指标值落在区间75,85内的频率；解设落在区间75,85内的频率为x，则落在区间55,65)，
3、65,75)内的频率分别为4x和2x，依题意得(0.0040.0120.0190.030)104x2xx1，解得x0.05.所以落在区间75,85内的频率为0.05.(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于45,75)内的产品件数为X，求X的概率分布与均值.解从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X服从二项分布B(n，p)，其中n3.由(1)得，落在区间45,75)内的频率为0.30.20.10.6，将频率视为概率得p0.6.因为X的所有可能取值为0,1,2,3，所以X的概率分布为X0123P0.0640.28
4、80.4320.216所以X的均值为E(X)00.06410.28820.43230.2161.8.(或直接根据二项分布的均值公式得到E(X)np30.61.8)概率与统计案例的综合应用题型二师生共研例2高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：每周移动支付次数1次2次3次4次5次6次及以上合计男1087321545女546463055合计1512137845100(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否
5、为“移动支付活跃用户”与性别有关？解由表格数据可得22列联表如下：非移动支付活跃用户移动支付活跃用户合计男252045女154055合计4060100所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户.求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；每周移动支付次数1次2次3次4次5次6次及以上合计男1087321545女546463055合计1512137845100解视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，
6、随机抽取1名用户，为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X，求X的概率分布及均值.P(2x0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解记抽出的男“移动支付达人”人数为Y，则X300Y.所以Y的概率分布为所以X的概率分布为得X的均值E(X)300E(Y)400.概率与统计案例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、独立重复实验、超几何分布、二项分布、独立性检验、线性回归等知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识.思维
7、升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练2某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到下表：返还点数t12345销量(百件)/天0.50.611.41.7(2)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数预期值区间1,3)3,5)5,7)7,9)9,11)11,13频数206060302010求这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值X的样本平均数及中位数的估计值(
8、同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1)；将对返还点数的心理预期值在1,3)和11,13的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量X，求X的概率分布及均值.返还点数预期值区间1,3)3,5)5,7)7,9)9,11)11,13频数206060302010故X的所有可能取值为0,1,2.故随机变量X的概率分布为均值与方差在决策中的应用题型三师生共研例3(2018全国)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件
9、，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有新产品做检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0；当p(0.1,1)时，f(p)400，故应该对余下的产品做检验.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量偏离均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要依据，一般先比较均值，若均值相同，再由方差来决定.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练3(2020100所名校最新冲刺卷)某中学是走读中学，为了让学生更有效率的利用下午放学后的
10、时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下22列联表：非优良优良总计未设立自习室251540设立自习室103040总计354580(1)能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效？所以能在犯错的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效.(2)设从该班第一次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为X；从该班第二次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为Y，求X与Y的均值并比较
11、大小，请解释所得结论的实际含义.下面的临界值表供参考：P(2x0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解X的所有可能取值为0,1,2，Y的所有可能取值为0,1,2，即E(X)E(Y)，其实际含义是设立自习室后学生的数学成绩提高，说明设立自习室对提高学生成绩有效.例(12分)(2019北京)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用
12、的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：概率与统计的综合问题答题模板支付金额(元)支付方式(0,1 000(1 000,2 000大于2 000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；规范解答解由题意知，样本中仅使用A的学生有189330(人)，仅使用B的学生有1014125(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人，故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有1003025540(人).1分(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 0
13、00元的人数，求X的概率分布和均值；解X的所有可能值为0,1,2.3分记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”.所以P(X2)P(CD)P(C)P(D)0.24.5分所以X的概率分布为故X的均值E(X)00.2410.5220.241.0.9分X012P0.240.520.248分(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付
14、金额大于2 000元的人数有变化？说明理由.解记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额大于2 000元”.答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化.12分答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.12分第一步：审清题意，理清条件和结论，找到关键数量关系.第二步：找数量关系，把图表语言转化为数字，将图表中的数字转化为公式中的字母.第三步：建立解决
15、方案，找准公式，根据图表数据代入公式计算数值.第四步：作出判断得结论，依据题意，借助数表作出正确判断.第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范性.答题模板DA TI MU BAN基础保分练1.为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：课时精练12345优秀非优秀总计男生153550女生304070总计4575120(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关？优秀非优秀总计男生153550女生304070总计4575120且2.057E(Y)，东方商店一次性
16、购进32份食品时得到的利润更大.123453.某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：消费次数第1次第2次第3次不少于4次收费比例10.950.900.85该游泳馆从注册的会员中，随机抽取了100位会员统计他们的消费次数，得到数据如下：消费次数1次2次3次不少于4次频数602510512345假设每位顾客游泳1次，游泳馆的成本为30元.根据所给数据，回答下列问题：(1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率；解2510540，即随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有40位，12345(2)某
17、会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；解第1次消费时，803050(元)，所以游泳馆获得的利润为50元，第2次消费时，800.953046(元)，所以游泳馆获得的利润为46元，第3次消费时，800.903042(元)，所以游泳馆获得的利润为42元，第4次消费时，800.853038(元)，所以游泳馆获得的利润为38元，这4次消费中，游泳馆获得的平均利润为44元.12345(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X，求X的概率分布和均值E(X).123451234
18、5由题意知，X的所有可能取值为0,2,4,6.12345X的概率分布为12345技能提升练4.为了解2019届高三毕业学生的复习备考情况，某省甲、乙两市组织了一次大联考.为比较两市本届高三毕业学生的数学优秀率，某教研机构从甲、乙两市参加大联考的数学高分段(数学成绩不低于100分)的学生中各随机抽取了100名学生，统计其数学成绩，得到甲市数学高分段学生成绩的频率分布直方图如图所示，乙市数学高分段学生成绩的频数分布表如下表所示(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率).分数段100，110)110，120)120，130)130，140)140，150频数1525401551234
19、5(1)现计算得甲市数学高分段学生成绩的平均分为123分，乙市数学高分段学生成绩的方差为111，试利用统计知识判断甲、乙两市哪一个市2019届高三毕业学生数学高分段成绩更突出；分数段100，110)110，120)120，130)130，140)140，150频数15254015512345解由题意得甲市数学高分段学生成绩的方差为s(105123)20.05(115123)20.4(125123)20.3(135123)20.2(145123)20.0596，分数段100，110)110，120)120，130)130，140)140，150频数152540155乙市数学高分段学生成绩的平均分
20、为12345故甲市数学高分段学生成绩的平均分更高，且方差更小，故甲市数学高分段学生成绩更稳定.综上可知甲市的2019届高三毕业学生数学高分段成绩更为突出.12345(2)由频率分布直方图可以认为，甲市这次大联考的数学高分段学生成绩Z(单位：分)近似地服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，试利用该正态分布模型解决下列问题.若甲市恰有2万名学生这次大联考的数学成绩不低于100分，试估计甲市这次大联考的数学成绩Z不低于142.6分的学生人数；12345因为20 0000.023460，所以可估计甲市这次大联考的数学成绩Z不低于142.6分的学生有460人.12345现从甲市这次大联考的数学成
21、绩不低于100分的学生中随机抽取1 000人，若抽到k人的数学成绩在区间(123,142.6)内的可能性最大，试求整数k的值.附：若XN(，2)，则P(X)0.683，P(2X2)0.954，P(3X3)0.997.12345解记所抽取的1 000人中数学成绩在区间(123,142.6)内的人数为Y，所以YB(1 000,0.477)，设P(Yk)最大，解得476.477k477.477.因为kN*，所以使P(Yk)取得最大值的整数k的值为477.123455.(2020永州模拟)某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z来衡
22、量产品的质量.当Z8时，产品为优等品；当6Z8时，产品为一等品；当2Z6时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标Z的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率.(1)从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；1234512345(2)现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1 000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1 60
23、0元购买，否则按每件1 500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为X元，求X的概率分布与均值；12345由题意X(1 6001 000)80250447 000或X(1 5001 000)80250439 000；12345故X的概率分布为12345(3)商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动.客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、第50格.机器人开始在第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格(从k到k1)，若掷出反面，机器人向前移动两格(从k到k2)，直到机器人移到第49格(胜利大本营)或第50格(失败大本营)时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营”，则可获得优惠券.设机器人移到第n格的概率为Pn(0n50，nN*)，试证明PnPn1(1n49，nN*)是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买该款产品.12345机器人移到第n(2n49)格的情况只有两种：1234512345所以获胜概率更大，故此方案能吸引顾客购买该款产品.12345大一轮复习讲义高考专题突破六高考中的概率 与统计问题
