1、 盐城市盐城市 2019 届高三年级第三次模拟考试届高三年级第三次模拟考试 数学试题数学试题 一、填空题一、填空题 1.已知集合1,0A ， 1,3B ，则AB _. 【答案】1,0,3 【分析】根据并集的概念，并结合集合中元素的互异性，可得结果. 【详解】由集合1,0A ，1,3B 所以1,0,3AB 故答案为：1,0,3 【点睛】本题考查并集的概念，对集合中元素满足三性：互异性，确定性，无序性，属基础题. 2.已知复数 1i i z + =（其中i为虚数单位） ，则z _. 【答案】 2 【分析】根据复数的除法运算，先得到z，再由复数模的计算公式，即可求出结果. 【详解】因为 2 11 1
2、 i ii zi ii ， 所以 22 1( 1)2z . 故答案为： 2. 【点睛】本题主要考查求复数的模，涉及复数的除法运算，熟记复数运算法则，以及复数模的计算公式即 可，属于基础题型. 3.双曲线 2 2 1 2 x y的焦距为_. 【答案】2 3 【分析】根据双曲线的方程，可直接得出焦距. 【详解】双曲线 2 2 1 2 x y的焦距为 22 222 3cab . 故答案为：2 3. 【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型. 4. 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动 员在这五场比赛中得分的方差为 【答案】6.8 试题分析
3、：得分的平均分为 89 10 13 15 11 5 x , 方差 22222 2 1 8 119 1110 1113 1115 116.8 5 s . 考点：平均数,方差. 5.根据如图所示的伪代码，运行后输出的结果为_. 【答案】37 【分析】根据算法，逐步执行，即可得出结果. 【详解】执行算法如下： 初始值：1p ， 第一步：1,1 3 14kp ， 第二步：4,43 416kp ， 第三步：7,163 737kp ， 输出：37p .故答案为：37. 【点睛】本题主要考查根据算法就散输出结果，解题关键在于读懂算法，属于基础题型. 6.现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机
4、参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小 组的概率为_. 【答案】 1 3 【分析】根据题意，分别得出甲乙两位同学各参加一个兴趣小组，以及两位同学参加同一个兴趣小组对应 的基本事件个数，即可求出对应概率. 【详解】现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，共有3 39 种情况； 这两位同学参加同一个兴趣小组共有3种情况， 因此，这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 31 93 . 故答案： 1 3 . 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，熟记概率计算公式即可，属于基础题型. 7.若函数 lg 1 lg 1f xxax是偶函数，则实数a的值为_. 【答案】1 【分析】 根
5、据偶函数的定义，先得到 f xfx，化简整理，得到220ax，即可求出结果. 【详解】因为函数 lg 1lg 1f xxax是偶函数， 所以 f xfx，即lg 1lg 1lg 1lg 1xaxxax， 即1111xaxxax，整理得220ax，所以1a. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数的问题，熟记偶函数的概念即可，属于基础题型. 8.设A，F分别为椭圆 22 22 :1 xy C ab 0ab的右顶点和右焦点， 1 B， 2 B为椭圆C短轴的两个端点， 若点F恰为 12 AB B的重心，则椭圆C的离心率的值为_. 【答案】 1 3 【分析】结合题意表示出四点坐标，再由
6、重心坐标公式即可求解 【详解】如图： 由题可知， 12 0,0,0BbBbA a ， ,0F c ，则3ac，即 1 3 c e a ， 故答案： 1 3 【点睛】本题考查椭圆基本性质，重心坐标公式的应用，属于基础题 9.如图所示，三棱柱 111 ABCABC的体积为6，O为四边形 11 BCC B的中心，则四面体 11 ABOB的体积 为_. 【答案】1 【分析】 先 连 接 1 AC， 1 BC， 根 据 题 意 ， 得 到 11111 AB CBBACC VV ， 11111 BAAB CCBCBBAA VVV ， 推 出 1111111 11 26 AB OBBABCABC A B C
7、 VVV ，即可得出结果. 【详解】如图，连接 1 AC， 1 BC， 在三棱柱 111 ABCABC中， 11111 AB CBBACC VV ， 而 11111 BAAB CCBCBBAA VVV ， 所以四面体 11 AB BC的体积为 1111 1 1 2 3 ABC A BABCCB VV ， 因此，四面体 11 ABOB的体积为 1111 1 1 2 AABB BCOB VV . 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查棱锥体积的计算，熟记几何体的结构特征，以及体积计算公式即可，属于常考题型. 10.已知正项数列 n a满足 1 1233412 1111 n nn a. aaaaaaa
8、a ，其中 * nN， 4 2a ，则 2019 a_. 【答案】2019 【分析】 根据递推公式，可得 22 1 1 nn aa ，得到 2 n a 等差数列，然后使用通项公式，可得结果. 【详解】由 1 1233412 1111 n nn a. aaaaaaaa 则 1233412 1111 n nn a. aaaaaaaa 两式相减可得 22 1 1 nn aa ， 可知数列 2 n a 等差数列，则 22 4 4 n aan 即 2 n an 所以2019 n a 故答案为：2019 【点睛】本题主要考查数列的递推公式，属中档题. 11.已知O的半径为2，点 , ,A B C为该圆上的
9、三点，且 2AB ， 0BA BC uur uuu r ，则OCBOBA的取 值范围是_. 【答案】6,4 3 【分析】 先以OA所在直线为x轴， 建立平面直角坐标系， 得到(2,0)A，(1, 3)B，2cos ,2sinC， 0,2， 根据向量数量积的坐标表示，得到0,2 3 ，进而可得出结果. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 则(2,0)A，(1, 3)B，2cos ,2sinC， 0,2， 又 0BA BC uur uuu r 所以3sincos1，即 1 sin 62 ， 所以0,2 3 ， 又0, 2 3BOBA， 所以6,4 3OCBOBA . 故答案为：6,4 3 .
10、【点睛】本题主要考查求平面向量数量积的取值范围，可用建系的方法处理，属于常考题型. 12.在ABC中， , ,A B C所对的三边分别为, ,a b c，且 222 cabab，则 22 2 ab c 的取值范围是_. 【答案】 1,1 【分析】 先 由 余 弦 定 理 求 出 2 3 C， 再 根 据 正 弦 定 理 ， 以 及 三 角 恒 等 变 换 对 应 的 公 式 ， 化 简 22 2 2 3sin 2 33 ab A c ，根据正弦函数的性质，即可求出结果. 【详解】因为 222 cabab， 所以 222 1 cos 22 abc C ab ，所以 2 3 C， 因此 2222
11、22 22 sinsin44 1 cos21 cos2 sinsin sin3322 abABAB AB cC 22213 cos2cos2cos2cos2cos2sin2cos2 333322 BAAAAAA 2332 sin2cos23sin 2 32233 AAA ， 因为 3 AB ，且A为三角形内角，所以0 3 A ，因此2 333 A ， 所以 2 3sin 21,1 36 A ， 即 22 2 ab c 的取值范围是 1,1. 故答案为： 1,1. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，余弦定理，以及正弦函数的性质等即可，属于常考题型. 13.已知函数 4sinf xxx，
12、若不等式 12 f xkxbkxb对一切实数x恒成立，则 21 bb 的最小 值为_. 【答案】8 【分析】 根据 2 4sin(1)xxbk恒成立，可知 2 4b ，同理得出： 1 4b ，故 21 bb 的最小值为8. 【详解】由 2 f xkxb对一切实数x恒成立， 可得： 2 4sin(1)xxbkx恒成立， 而44sin4x，且4sinyx为周期函数， 故10k ，且 2 4b ； 同理可得： 1 4b ， 所以 21 bb 的最小值为4( 4)8 . 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记正弦函数的性质，以及分析问题和解决问题的 能力，属于常考题型.
13、14.已知 , max, , a ba a b b ba ， 2 1 max ln, 2 f xxtxxtxe （e为自然对数的底数） ，若 2f x 在1,xe上恒成立，则实数t的取值范围为_. 【答案】 2 , e e 【分析】 先设 2 1 max ln, 2 g xxxe ，则 2f x 在1,xe上恒成立等价于 2g xtx在1,xe 上恒成立，在直角坐标系中画出函数 1 ln 2 yx， 2 yxe， ( )yg x 的图像，结合图像，进而可求出 结果. 【详解】设 2 1 max ln, 2 g xxxe ， 则 2f x 在1,xe上恒成立等价于 2g xtx在1,xe上恒成立
14、， 在直角坐标系中分别画出 1 ln 2 yx， 2 yxe的图象， 函数 1 ln 2 yx与 2 yxe都过点,0Ae， 又当xe时，函数 2 yxe与函数xe相交于 2 ,C e ee ， 当1x 时，函数 1 ln 2 yx与函数1x 相交于点 1 1, 2 D ， 根据条件得( )yg x图象如下图所示， 显然函数2ytx，过定点0, 2B， 由图象易得，当1,te时，将函数2ytx旋转到过点A时，函数2ytx的斜率为 max 2 e t e ， 所以 2 e t e 时， ( )2f x 在 1,xe上恒成立， 所以实数t的取值范围为： 2 , e e . 【点睛】本题主要考查分段
15、函数的问题，考查数形结合的思想，熟记分段函数的性质等即可，属于常考题 型. 二、解答题二、解答题 15.如图，在三棱锥ABCD中，AEBC于E， ,M N分别是,AE AD的中点. （1）求证：/MN平面BCD； （2）若平面ABC 平面ADM，求证：ADBC. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析 【分析】 （1）连接DE，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）根据面面垂直的性质，先证明BC平面ADM，进而可得ADBC. 【详解】 （1）证明：连接DE，因为,M N分别是,AE AD的中点，所以/MNDE， 又MN 平面BCD，DE 平面BCD， 所以/MN平面BCD.
16、 （2）因为平面ABC 平面ADM，平面ABC平面ADMAE， BC 平面BCD，BCAE，所以BC平面ADM， 又AD 平面ADM，所以ADBC. 【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及线线垂直，熟记线面平行的判定定理，以及面面垂直的性质即 可，属于常考题型. 16.设向量2cos ,2sinaxx， 3cos ,cosbxx，函数 3f xa b . （1）求 f x的最小正周期； （2）若 6 25 f ，且, 2 ，求cos的值. 【答案】 （1）T； （2） 42 3 10 【分析】 （1）先由向量数量积的坐标表示，根据辅助角公式，以及二倍角公式，得到2 n 2) 3 (sif xx
17、 ，进而 可得出其最小正周期； （2）先由题意，得到 3 sin 35 ，求出cos 3 ，根据两角差的余弦公式，即可求出结果. 【详解】解： （1）因为 32cos ,2sin3cos ,cos3f xa bxxxx 2 2 3cos2sincos33cos2sin22sin 2 3 xxxxxx . 所以 f x的最小正周期为 2 2 T . （2）因为 6 25 f ，所以 6 2sin 35 ，即 3 sin 35 ， 又因为, 2 ，所以 54 , 363 ， 故 2 2 34 cos1 sin1 3355 ， 所以 13 coscoscossin 332323 143342 3 2
18、52510 . 【点睛】本题主要考查求正弦型函数的最小正周期，以及已知三角函数值求三角函数值的问题，熟记正弦 函数的周期，三角恒等变换对应的公式，以及向量数量积的坐标表示即可，属于常考题型. 17.如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓，其中99ABm，49.5ADm.现规划建造如图 所示的半圆柱型塑料薄膜大棚 * n nN 个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜 （接头处忽略不计） ，塑料薄膜的价格为每平方米10元；另外，还需在每个大棚之间留下1m宽的空地用于 建造排水沟与行走小路（如图中1EF m） ，这部分建设造价为每平方米31.4元. （1）当20n时，求蒙
19、一个大棚所需塑料薄膜的面积； （本小题结果保留） （2）试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低？（本小题计算中取3.14） 【答案】 （1）103m2； （2）10个 【分析】 （1）先设每个半圆柱型大棚的底面半径为r，根据20n时，共有19个空地，求出底面圆半径，进而可 求出表面积； （2）设两项费用的和为 f n，根据题意，得到 1031.4 1 49.51f nnSn ，再由基本不等式， 即可求出结果. 【详解】解： （1）设每个半圆柱型大棚的底面半径为r. 当20n时，共有19个空地，所以 99 19 1 2 2 20 r m， 所以每个大棚的表面积（不含与地面接触的面）为 22
20、2249.5103SrrAD (m2). 即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103m2. （2）设两项费用的和为 f n. 因为 9911100 22 nn r nn ，所以每个大棚的表面积（不含与地面接触的面）为 2 2 100100 49.5 22 nn SrrAD nn ， 则 1031.4 1 49.51f nnSn 2 100100 1049.531.4 1 49.51 22 nn nn nn 22 10010010031.4 31.449.549.5199 1001981 424 nnn nnn nn 2 31.410031.4100 10095021009502 44 nn nn
21、31.4100 100 2950290290.7 4 n n . 所以，当且仅当 100 n n ，即10n时， f n取得最小值. 答：当大棚的个数为10个时，上述两项费用的和最低. 【点睛】本题主要考查求几何体的表面积，以及基本不等式的应用，熟记几何体的表面积公式，以及基本 不等式即可，属于常考题型. 18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 经过点 2,1P，且点P与椭圆的左、右 顶点连线的斜率之积为 1 2 . （1）求椭圆C的方程； （2） 若椭圆C上存在两点,Q R， 使得PQR的垂心 （三角形三条高的交点） 恰为坐标原点O， 试求直线QR 的方
22、程. 【答案】 （1） 22 1 42 xy ； （2） 4 2 3 yx 【分析】 （1）根据题意，得到 22 21 1 1 01 01 222 ab aa ，求出, a b，即可得出椭圆方程； （2）设 11 ,Q x y， 22 ,R x y，根据题意，得到2 QR k ，设直线QR的方程为2yxm ，联立 直线与椭圆方程，根据判别式，以及根与系数关系，由题意，得到 12 1 2 1 1 2 yy xx ，求出m，即可得出 结果. 【详解】解： （1）由题意，得 22 21 1 1 01 01 222 ab aa ， 解得 2 2 4 2 a b ，所以椭圆C的方程为 22 1 42 x
23、y . （2）设 11 ,Q x y， 22 ,R x y.因为QRPO，而 1 2 PO k ，所以2 QR k ， 故可设直线QR的方程为2yxm . 联立 22 2 24 yxm xy ，消去y，得 22 54 2240xmxm ， 首先，由得 22 3220 240mm ，解得 2 10m .（*） 且 12 4 2 5 m xx， 2 12 24 5 m x x . 又QOPR，所以 1 QOPR kk ，得 12 1 2 1 1 2 yy xx ， 即 12 1 2 221 1 2 xmxm xx ，整理得， 2 1212 320x xm xxmm， 所以 2 2 244 2 32
24、0 55 mm mmm ， 即 2 35120mm，解得3m或 4 3 m （均适合（*）式）. 当3m时，直线QR恰好经过点P，不能构成三角形，不合题意，故舍去. 所以直线QR的方程为 4 2 3 yx . 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及求椭圆中满足题意的直线方程问题，熟记椭圆的标准方程， 以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型，计算量较大. 19.设函数 x f xxae（e为自然对数的底数，aR）. （1）当1a 时，求函数 f x的图象在1x 处的切线方程； （2）若函数 f x在区间0,1上具有单调性，求a的取值范围； （3）若函数 x g xee f x有且仅有3个不同的
25、零点 123 ,x x x，且 123 xxx， 31 1xx，求证： 13 1 1 e xx e . 【答案】 （1）1ye x； （2） 1 ,1, e ； （3）证明见解析 【分析】 （1）根据1a ，对函数求导，求出 1 f ，(1)f，进而可得切线方程； （2）先对函数求导，得到 1 x fxae ，分别讨论函数 f x在区间0,1上单调递增，函数 f x在区 间0,1上单调递减，两种情况，即可求出参数范围； （3） 先由题意， 得到 0f x 有且仅有两个不等于1的不同零点， 设 x x h xa e ， 对函数求导， 得出 h x 的单调性，推出 0h x 有且仅有两个不等实数根
26、，且一个根小于1，一个根大于1，再由题意，得到 123 1xxx ， 13 ,x x为 0 x x h xa e 的两个不等实数根，推出 31 31 xx xx a ee ，设 31 xxt， 1 1 t t t e t e ，0,1t，对其求导，研究其单调性，进而可得出结果. 【详解】解： （1）当1a 时， x f xxe， 1 x fxe ， 11fe ， 11fe ， 故 f x的图象在1x 处的切线方程为111yeex，即1ye x. （2）因为 1 x fxae ， 若函数 f x在区间0,1上单调递增，则 10 x fxae 恒成立，得 x ae恒成立， 0,1x， 1 ,1 x
27、 e e ，所以 1 a e ； 若函数 f x在区间0,1上单调递减，则 10 x fxae 恒成立，得 x ae恒成立， 0,1x， 1 ,1 x e e ，所以1a ； 综上，a的取值范围为 1 ,1, e . （3）函数 x g xee f x的零点即为方程 0 x ee fx 的实数根， 故0 x ee或 0f x ，由 0 x ee，得1x ， 0f x 有且仅有两个不等于1的不同零点， 由 0f x ，得0 x x a e ，设 x x h xa e ， 则 1 x x h x e ，由 1 0 x x h x e ，得1x；由 1 0 x x h x e ，得1x . 故 h
28、x在,1上单调递增，在 1,上单调递减， 故 0h x 有且仅有两个不等实数根，且一个根小于1，一个根大于1， x g xee f x 有且仅有3个不同的零点 123 ,x x x， 123 xxx， 123 1xxx ， 13 ,x x为 0 x x h xa e 的两个不等实数根， 1 1 x xae， 3 3 x xae，两式相减，得 31 31 xx xxa ee ， 31 31 xx xx a ee ， 两式相加，得 31 3311 3311 31 1331 1 1 xx xxxx xxxx xxe xxa eeeexx eee ， 设 31 xxt，由 13 xx且 31 1xx，
29、得01t ， 13 1 1 t t t e xx e ， 设 1 1 t t t e t e ，0,1t， 则 2 2 21 1 tt t ete t e ，设 2 21 tt p tete，0,1t，则 21 tt p teet ， 设 1 t q tet ，0,1t，则 10 t q te 在0,1t上恒成立， 1 t q tet 在0,1上单调递增， 00q tq在0,1上恒成立， 则 0p t 在0,1上恒成立， p t在0,1上单调递增， 00p tp在0,1上恒成立，则 0t在0,1上恒成立， t在0,1上单调递增， 所以 t, 1 1 1 e e ，即 13 1 1 e xx e
30、 . 【点睛】本题主要考查求曲线上一点处的切线方程，考查由函数单调性求参数的问题，以及导数的方法证 明不等式，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型，难度 较大. 20.在无穷数列 n a中， * 0 n anN，记 n a前n项中的最大项为 n k，最小项为 n r，令 nn n bk r. （1）若 n a的前n项和 n S满足 2 1 2 n nna S . 求 n b； 是否存在正整数 ,m n满足 21 2 2 2 m m n n b b ？若存在，请求出这样的 ,m n，若不存在，请说明理由. （2）若数列 n b是等比数列，求证：数列 n a
31、是等比数列. 【答案】 （1） n bn；存在，4m，1n 或2n； （2）证明见解析 【分析】 （1）根据 2 1 2 n nna S ，先求出 1 1a ，再由 1nnn aSS ，求出 n a，即可得出 n b； 先假设存在满足条件的正整数 ,m n满足题意，得出 1 222 mn mn ，设 2 n n n c ，研究其增减性，设 1m nt ，得 1 21 t t n ，设 1 21 n n n d ，研究其增减性，进而可得出结果； （2）因为 * 0 n anN，且 n k、 n r分别为 n a前n项中最大项和最小项，所以 1nn kk ， 1nn rr ， 设数列 n b的公比
32、为q，显然0q ，分别讨论1q ，1q ，01q，三种情况，即可得出结果. 【详解】解：在 2 1 2 n nna S 中，令1n ，得 1 11 1 2 a aS ，解得 1 1a ， 2 2 n nn S ， 当2n时， 2 2 1 11 22 nnn nnnn aSSn ， 综上 * n an nN. 显然 n a为单调递增数列，所以 nn kan， 1 1 n ra，所以 n bn. 假设存在满足条件的正整数 ,m n，则 1 2 2 m n m n ，所以 1 222 mn mn ， 设 2 n n n c ，则 1 11 11 222 nn nnn nnn cc ，所以 12345
33、 .ccccc， 由 1 222 mn mm ，得 1 2 mnn ccc，mn，则1mn， 当1mn时， 1 2 2 m n m n 显然不成立， 当1mn时， 1 1 2 2 2 m m n n m n ， 设1m nt ，则 * tN， 1 2t nt n ，得 1 21 t t n ， 设 1 21 n n n d ，则 1 1 1 11121 0 212121 21 n nn nn nn nnn dd 恒成立， 所以数列 n d单调递减，而 1 2d ， 2 1d ， 3 4 1 7 d ，则3n时，1 n d 恒成立， 故方程 1 21 t t n 的解有且仅有1t ，2n或2t
34、，1n ， 故满足条件 ,m n存在， 4m，1n 或2n. （2）证明：因为 * 0 n anN，且 n k、 n r分别为 n a前n项中的最大项和最小项， 所以 1nn kk ， 1nn rr ，设数列 n b的公比为q，显然0q ， 当1q 时， 11 1 nn n n kr k r ，得 1 1 nn nn kr kr ， 若 1nn kk ，则 1nn rr ，由 n k与 n r的含义可知 1nn kk 与 1nn rr 不可能同时成立， 故 1nn kk ，则 1nn rr ，则 11n kka， 11n rra， 1n aa， 1 1 n n a a ， 所以数列 n a是等
35、比数列. 当1q 时， 11 1 nn n n kr q k r ，得 2 11 1 nn n n kr q k r ， 1 1 1 nn nn kr kr ， 1nn kk 恒成立，而 nn ka，所以 11nn ka ， 1nn aa 恒成立， nn ka， 1n ra，代入 2 11nn n n kr q k r 得 2 1 1 1 n n aa q a a ，即 2 1n n a q a ， 所以数列 n a是等比数列. 当01q时， 11 01 nn n n kr k r ，得 2 11 1 nn n n kr q k r ， 1 1 1 nn nn rk rk ， 1nn rr 恒
36、成立，而 nn ra，所以 11nn ra ， 1nn aa 恒成立， 1n ka， nn ra，代入 2 11nn n n kr q k r 得 2 11 1 n n a a q a a ，即 2 1n n a q a ， 所以数列 n a是等比数列. 综上，数列 n a是等比数列. 【点睛】本题主要考查由递推关系求通项，数列增减性的应用，以及证明数列是等比数列，熟记数列的概 念，以及数列的增减性等即可，属于常考题型. 21.（1）直线:2 30lxy 在矩阵 10 41 M 所对应的变换 M T下得到直线 l ，求 l 的方程. （2）已知点P是曲线 2cos , : 3sin x C y
37、 （为参数，2）上一点，O为坐标原点直线OP的倾斜 角为 3 ，求点P的坐标. （3）求不等式4221xx的解集. 【答案】 （1）:630lxy ； （2） 2 52 15 , 55 ； （3） 7 ,1, 3 【分析】 （1）先在直线l上取点1, 1A，1, 1A在矩阵M的变换下得到1,3A ，再在直线l上取点2,1B， 在矩阵M的变换下得到2,9B ，进而可求出 l 的方程； （2）根据曲线的参数方程，得到普通方程，根据题意得到直线的直角坐标方程，两式联立，即可求出结果； （3）分2x，21x ，1x 三种情况讨论，分别求解，即可求出结果. 【详解】 （1）解：在直线l上取点1, 1A，
38、 1011 4113 ，故1, 1A在矩阵M的变换下得到1,3A ， 再在直线l上取点2,1B， 1222 4119 ，在矩阵M的变换下得到2,9B ， 连接A B ，可得直线:630lxy . （2）解：由题意得，曲线C的直角坐标方程为 22 10 43 xy y， 直线OP的方程为3yx， 联立方程组 22 10 43 3 xy y yx ，解得 2 5 , 5 2 15 , 5 x y （舍去） ，或 2 5 , 5 2 15 , 5 x y 故点P的直角坐标为 2 52 15 , 55 . （3）解：当2x时，原不等式可化为4221xx ，解得 7 3 x ，此时 7 3 x ； 当2
39、1x 时，原不等式可化为4221xx ，解得1x ，此时11x ； 当1x 时，原不等式可化为4221xx，解得 1 3 x ，此时1x . 综上，原不等式的解集为 7 ,1, 3 . 【点睛】本题主要考查矩阵的运算，考查参数方程与普通方程的互化，考查分类讨论的方法解含绝对值不 等式，属于常考题型. 22.如图，在四棱锥 PABCD中，PA底面 ABCD，ADBC，ABACAD3，PABC4. （1）求异面直线 PB与 CD所成角的余弦值； （2）求平面 PAD与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值 【答案】 （1） 7 6 30 .（2） 4 21 21 . 【分析】 （1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量PB和向量CD的坐标，再利用线线角的向量方法求解. （2）先求得平面 PBC 的一个法向量，易知平面 PAD的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解. 【详解】 （1） 设 BC的中点为 E，由 ABAC，可知 AEBC， 故分别以 AE，AD，AP所在的直线为 x，y，z轴建立空间直角坐标系 则 A(0，0，0)，P(0，0，4)，D(0，3，0)，B( 5，2，0)，C(5，2，0) 设 为两直线所成的角， 由PB(5，2，4)，CD(5，1，0)， 得 cos | | |
