1、 初中数学（人教版）初中数学（人教版）七年级 下册第八章二元一次方程组第八章二元一次方程组知识点知识点 列二元一次方程组解决实际问题列二元一次方程组解决实际问题 满足条件一般步骤列方程组解决实际问题 (1)方程两边表示的是同类量.(2)同类量的单位要统一.(3)方程两边的数值要相等审:审题,分析题中已知什么,求什么,找出题中的相等关系.设:设未知数,可以直接设元,也可以间接设元.列:根据题目中各相等关系列出方程,并组成方程组.解:解方程组,得出未知量.检:检验所得的解是否符合问题的实际意义.答:写出答案常用的几种基本等量关系(1)行程问题:速度时间=路程,顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度
2、=静水速度-水流速度.(2)配套问题:一套中两个量的数量比=两个量的总量之比.(3)商品利润问题:利润=售价-进价,利润=进价利润率.(4)工程问题:工作效率工作时间=工作量,合作工作效率=甲工作效率+乙工作效率例例 (2019山东烟台中考)亚洲文明对话大会召开期间,大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场,若单独调配36座新能源客车若干辆,则有2人没有座位;若只调配22座新能源客车,则用车数量将增加4辆,并空出2个座位.(1)计划调配36座新能源客车多少辆?该大学共有多少名志愿者?(2)若同时调配36座和22座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则两
3、种车型各需多少辆?解析解析(1)设计划调配36座新能源客车x辆,该大学共有y名志愿者,则需调配22座新能源客车(x+4)辆,依题意得解得答:计划调配36座新能源客车6辆,该大学共有218名志愿者.(2)设需调配36座新能源客车m辆,22座新能源客车n辆,依题意得36m+22n=218,n=.又m,n均为正整数,答:需调配36座新能源客车3辆,22座新能源客车5辆.362,22(4)-2,xyxy6,218.xy109-1811m3,5.mn点拨点拨列方程(组)解应用题的一般步骤:(1)审:审清题意,找出已知量、未知量及等量关系;(2)设:直接或间接设出未知数;(3)列:根据等量关系列方程(组)
4、;(4)解:解这个方程(组),求出未知数的值;(5)检:检验所求的未知数的值是不是所列方程(组)的解、是否符合实际问题;(6)答:写出答案(包括单位名称).题型一题型一 配套问题配套问题例例1用铝合金材料制作窗架,每根材料可以做竖柱5根或者横梁8根,而且只能做其中的一种,2根竖柱和3根横梁可以做成一个窗架.现有310根铝合金材料,用多少根做竖柱,多少根做横梁,才能使做成的窗架最多?解析解析 设用x根做竖柱,y根做横梁.根据题意得解得答:用160根做竖柱,150根做横梁,才能使做成的窗架最多.310,3 52 8,xyxy160,150.xy题型一题型一 配套问题配套问题例例1用铝合金材料制作窗
5、架,每根材料可以做竖柱5根或者横梁8根,而且只能做其中的一种,2根竖柱和3根横梁可以做成一个窗架.现有310根铝合金材料,用多少根做竖柱,多少根做横梁,才能使做成的窗架最多?解析解析 设用x根做竖柱,y根做横梁.根据题意得解得答:用160根做竖柱,150根做横梁,才能使做成的窗架最多.310,3 52 8,xyxy160,150.xy点拨点拨配套问题中隐含的等量关系:如果a件甲产品和b件乙产品配成一套,则=,即b甲产品的件数=a乙产品的件数.如本题,2根竖柱和3根横梁配成一套,则3竖柱的根数=2横梁的根数.甲产品的件数乙产品的件数ab题型二题型二 图文信息问题图文信息问题例例2根据图8-3-1
6、中给出的信息,解答下列问题:(1)放入一个小球水面升高 cm,放入一个大球水面升高 cm;(2)如果要使水面上升到50 cm,应放入大球、小球各多少个?图8-3-1解析解析(1)设放入一个小球使水面升高m cm,由题图,得3m=32-26,解得m=2;设放入一个大球使水面升高n cm,由题图,得2n=32-26,解得n=3.所以,放入一个小球水面升高2 cm,放入一个大球水面升高3 cm.(2)设应放入x个大球,y个小球,由题意,得解得答:应放入4个大球,6个小球.3250-26,10,xyxy4,6.xy点拨点拨解图文信息题的关键是读懂题意,并从图中获取有用的信息,然后对这些信息进行分析,并
7、联系相关的数学知识解决问题.题型三题型三 商品销售问题商品销售问题例例3某商店需要购进甲、乙两种商品共160件,其进价和售价如下表:若商店计划销售完这批商品后能获利1 100元,请利用二元一次方程组求甲、乙两种商品应分别购进多少件.甲乙进价(元/件)1535售价(元/件)2045解析解析 设甲、乙两种商品应分别购进x件、y件,根据题意得解得答:甲、乙两种商品应分别购进100件、60件.160,(20-15)(45-35)1 100,xyxy100,60.xy点拨点拨找准等量关系是解答本题的关键.知识点知识点 列二元一次方程组解决实际问题列二元一次方程组解决实际问题1.(2019浙江嘉兴中考)中
8、国清代算书御制数理精蕴中有这样一题:“马四匹、牛六头,共价四十八两(我国古代货币单位);马三匹、牛五头,共价三十八两.问马、牛各价几何?”设马每匹x两,牛每头y两,根据题意可列方程组为()A.B.C.D.46383548xyxy46483538yxyx46485338xyxy46483538xyxy答案答案 D根据“马四匹、牛六头,共价四十八两(我国古代货币单位);马三匹、牛五头,共价三十八两”,可列方程组为故选D.4648,3538.xyxy2.(独家原创试题)某水果店购进香梨和脐橙共60千克进行销售,这两种水果的进价、标价如下表所示,如果店主将这些水果按标价的8折全部售出后,可获利210元
9、,则该水果店购进香梨 千克.进价(元/千克)标价(元/千克)香梨38脐橙410答案答案50解析解析设该水果店购进香梨x千克,购进脐橙y千克,依题意得解得即购进香梨50千克.60,(8 0.8-3)(10 0.8-4)210,xyxy50,10.xy3.某车间有28名工人生产螺栓和螺母,每人每天平均能生产螺栓12个或螺母18个,若一个螺栓配两个螺母,则应分配多少名工人生产螺栓和多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的螺栓和螺母刚好配套?解析解析设分配x人生产螺栓,分配y人生产螺母.由题意,得解得答:应分配12人生产螺栓,16人生产螺母,才能使每天生产出来的螺栓和螺母刚好配套.28,2 1218,
10、xyxy12,16.xy4.(2019江西师大附中月考)某班将举行“数学知识竞赛”活动,班长安排小明购买奖品,图8-3-1是小明买回奖品时与班长的对话情境:图8-3-1请根据上面的信息解决问题:(1)两种笔记本各买了多少本?(2)试说明:小明为什么不可能找回68元.解析解析(1)设单价为5元、8元的笔记本分别买了x本、y本.依题意,得解这个方程组,得答:单价为5元、8元的笔记本分别买了25本、15本.(2)假设小明能找回68元.设单价为5元、8元的笔记本分别买了a本、b本.依题意,得解这个方程组,得因为求得的a、b不是整数,所以不可能找回68元.40,58300 13-68,xyxy25,15
11、.xy40,58300-68.abab88,332.3ab1.小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果,甲种水果每千克4元,乙种水果每千克6元,且乙种水果比甲种水果少买了2千克,求小亮妈妈两种水果各买了多少千克.设小亮妈妈买了甲种水果x千克,乙种水果y千克,则可列方程组为()A.B.C.D.46282xyxy46282yxxy4628-2xyxy4628-2yxxy答案答案 A 小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果,甲种水果每千克4元,乙种水果每千克6元,买了甲种水果x千克,买了乙种水果y千克,4x+6y=28,又乙种水果比甲种水果少买了2千克,x=y+2,因此选A.2.已知一个两位数,它的十
12、位上的数字x比个位上的数字y大1,若对调个位与十位上的数字,得到的新数比原数小9,求这个两位数,所列方程组正确的是()A.B.C.D.-1(-)-(-)9x yx yy x1109xyxyyx11010-9xyxyyx110109xyxyyx答案答案 D根据十位上的数字x比个位上的数字y大1,得方程x=y+1;根据对调个位与十位上的数字,得到的新数比原数小9,得方程10 x+y=10y+x+9.故D正确.3.(2019浙江杭州中学期末)水仙花是漳州市花,如图,在长为14 m、宽为10 m的长方形展厅,划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花,则每个小长方形的周长为 m.答案答案16解析解
13、析设小长方形的长为x m,宽为y m,则3x+3y=24,x+y=8.一个小长方形的周长为16 m.214,210,xyxy4.(2019福建福州三中期末)为准备母亲节礼物,同学们委托小明用其支付宝余额团购鲜花或礼盒.每束鲜花的售价相同,每份礼盒的售价也相同.若团购15束鲜花和18份礼盒,余额差80元;若团购18束鲜花和15份礼盒,余额剩70元.若团购19束鲜花和14份礼盒,则支付宝余额剩 元.答案答案120解析解析设团购鲜花的单价为x元,团购礼盒的单价为y元,支付宝余额原有a元,依题意得(-)3得y-x=50,19x+14y=15x+18y-4(y-x)=a+80-200=a-120.若团购
14、19束鲜花和14份礼盒,支付宝余额剩120元.151880,1815-70,xyaxya5.(2019江苏苏州中学月考)某书店在世界读书日举办“书香”图书展,已知汉语成语大词典和中华上下五千年两本书的标价总和为150元,汉语成语大词典按标价的50%出售,中华上下五千年按标价的60%出售,小明花80元买了这两本书,求这两本书的标价各是多少元.解析解析设汉语成语大词典的标价为x元,中华上下五千年的标价为y元,依题意得解得答:汉语成语大词典的标价为100元,中华上下五千年的标价为50元.150,50%60%80,xyxy100,50.xy6.“五一”节日期间,某超市进行积分兑换活动,具体兑换方法见下
15、表.爸爸拿出自己的积分卡,对小华说:“这里积有8 200分,你去给咱家兑换礼品吧”.小华兑换了两种礼品,共10件,还剩下了200分,请问她兑换了哪两种礼品?各多少件?积分兑换礼品表兑换礼品积分电茶壶一个7 000分保温杯一个2 000分牙膏一支500分解析解析因为积分卡中只有8 200分,要兑换10件礼品,所以不能选择兑换电茶壶.设小华兑换了x个保温杯和y支牙膏,依题意,得解得答:小华兑换了2个保温杯和8支牙膏.10,2 0005008 200-200,xyxy2,8.xy1.(2019湖北咸宁模拟)如图8-3-2,在长方形ABCD中,点E在BC上,连接AE,将三角形ABE沿AE折叠到三角形A
16、BE,AB与CD交于点F,BE与CD交于点G,DAF比BAE大30,若设DAF为x,BAE为y,根据题意所列方程正确的是()图8-3-2-2A.B.-3090 x yxy-30290 x yxyC.D.-30290 x yxy-30390 x yxy答案答案 CDAF比BAE大30,x-y=30.将三角形ABE沿AE折叠到三角形ABE,BAE=BAE=y.四边形ABCD是长方形,DAB=90,DAB=DAF+BAE+BAE,x+2y=90.与联立成方程组为故选C.-30,290.x yxy2.小明在某商店购买商品A、B共两次,这两次购买商品A、B的数量和费用如下表:若小明需要购买3个商品A和2
17、个商品B,则他要花费 元.购买商品A的数量(个)购买商品B的数量(个)购买总费用(元)第一次购物4393第二次购物66162答案答案66解析解析设商品A的标价为x元,商品B的标价为y元,根据题意,得解得即商品A的标价为12元,商品B的标价为15元,所以若小明购买3个商品A和2个商品B,则要花费312+215=66元.4393,66162,xyxy12,15,xy3.宏远商贸公司有A,B两种型号的商品需运出,这两种商品的体积和质量分别如下表所示:(1)已知一批商品有A,B两种型号,体积一共是20 m3,质量一共是10.5吨,求A,B两种型号的商品分别有几件;(2)物流公司现有可供使用的货车每辆额
18、定载重3.5吨,容积为6 m3,其收费方式有以下两种:按车收费:每辆车运输货物到目的地收费600元;按吨收费:每吨货物运输到目的地收费200元.若将(1)中的商品一次或分批运输到目的地,宏远商贸公司应如何选择运送、付费方式运费最少?并求出该方式下的运费是多少元.体积(m3/件)质量(吨/件)A型商品0.80.5B型商品21解析解析(1)设A型商品有x件,B型商品有y件.由题意可得解得答:A型商品有5件,B型商品有8件.(2)若按车收费:10.53.5=3(辆),但63=18 m32 1002 000,0.8220,0.510.5,xyxy5,8.xy先按车收费3辆车运送18 m3,再按吨收费运
19、送1件B型产品,运费最少为2 000元.1.一个两位数的十位数字与个位数字之和是7,如果把这个两位数加上45,那么恰好成为把原两位数的个位数字和十位数字对调后组成的数,那么原两位数是()A.16 B.25 C.52 D.61答案答案 A 设原两位数的个位数字为a,十位数字为b,则这个两位数为(10b+a),由题意,得解得所以原两位数为101+6=16.故选A.7,104510,abbaab6,1.ab2.现用190张铁皮做盒子,每张铁皮可做8个盒身或22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子,设用x张铁皮做盒身,y张铁皮做盒底,则可列方程组为()A.B.C.D.1902 822xyxy1
20、902 228xyyx3190522yxxy21902 822xyxy答案答案 A 因为一个盒身与两个盒底配套,所以盒底数是盒身数的2倍,且共用去190张铁皮,所以可列方程组为故选A.190,2 822.xyxy3.如图所示,小强和小红一起搭积木.小强所搭的“小塔”的高度为23 cm,小红所搭的“小塔”的高度为22 cm.设每块A型积木的高为x cm,每块B型积木的高为y cm,则x=,y=.答案答案4;5解析解析由题意得解得 2323,3222,xyxy4,5.xy4.某景点的门票价格如下表:某校七年级(一)、(二)两班计划去游览该景点,其中(一)班人数少于50人,(二)班人数多于50人且少
21、于100人,如果两班都以班为单位单独购票,则一共支付1 118元;如果两班联合起来作为一个团体购票,则只需花费816元.(1)两个班各有多少人?(2)团体购票与单独购票相比较,两个班各节约了多少钱?购票人数/人15051100100以上每人门票价/元12108解析解析(1)设七年级(一)班有x人,七年级(二)班有y人,因为1008=800290.5,不符合题意,又因为六月份用电量大于五月份,所以五月份用电量在第一档,六月份用电量在第二档.设五月份用电x度,六月份用电y度,根据题意,得解得答:该户居民五、六月份各用电190度、310度.0.550.6290.5,500,xyxy190,310.x
22、y1.(2018辽宁本溪一模,5,)一种饮料有两种包装,5大盒、4小盒共装148瓶,2大盒、5小盒共装100瓶,大盒与小盒每盒各装多少瓶?设大盒装x瓶,小盒装y瓶,则可列方程组()A.B.C.D.5414825100 xyxy4514825100 xyxy5414852100 xyxy4514852100 xyxy答案答案 A大盒装x瓶,小盒装y瓶.由5大盒、4小盒共装148瓶,得5x+4y=148;由2大盒、5小盒共装100瓶,得2x+5y=100.列方程组,得故选A.54148,25100,xyxy2.(2018山东济南实验二中月考,12,)在一次知识竞赛中,学校为获得一等奖和二等奖的共3
23、0名学生购买奖品,共花费528元,其中一等奖奖品每件20元,二等奖奖品每件16元,求获得一等奖和二等奖的学生各有多少名.设获得一等奖的学生有x名,二等奖的学生有y名,根据题意可列方程组为 .答案答案 302016528xyxy解析解析获得一等奖的学生有x名,二等奖的学生有y名,则根据“获得一等奖和二等奖的学生共30名”和“共花费528元”可列方程组为 30,2016528.xyxy3.(2019河北唐山一中期末,14,)小林、小方和小亮三人玩飞镖游戏,各投5支飞镖,规定在同一圆环内得分相同,中靶和得分情况如图所示,则小亮的得分是 分.答案答案21解析解析设投中外环、内环一次的得分分别为x分、y
24、分,依题意得解这个方程组得2x+3y=21.故小亮的得分是21分.3219,423,xyxy3,5,xy4.(2019贵州贵阳三中期末,21,)校园科技社团计划购进A、B两种花卉,两次购买每种花卉的数量以及每次的总费用如下表所示:(1)你从表格中获取了什么信息?(写出一条即可)(2)A、B两种花卉每株的价格各是多少元?花卉数量(单位:株)总费用(单位:元)AB第一次购买1025225第二次购买2015275解析解析(1)答案不唯一,如:第一次购买A种花卉10株.(2)设A、B两种花卉每株的价格分别是x元、y元,由题意得解得答:A、B两种花卉每株的价格分别是10元、5元.1025225,2015
25、275,xyxy10,5.xy5.(2019重庆巴蜀中学期末,22,)一文体用品商店为吸引中学生顾客,在店内出示了一道数学题,凡是能正确解答这道题的,店内商品一律给该生9折优惠或每购满10元立减3元(不足10元的部分不减).题目是这样的:买一个笔盒和2个羽毛球共需26元,买2个笔盒和一个羽毛球共需37元,问笔盒与羽毛球的单价各是多少元?(1)请列方程或方程组解答商家提出的问题;(2)一位同学回答对了问题,他想购买羽毛球和笔盒各一个,请列举出能享受到优惠的购买方式,并帮助他选择一种最优惠的购买方式.解析解析(1)设笔盒的单价是x元,羽毛球的单价是y元,依题意得解得答:笔盒的单价是16元,羽毛球的
26、单价是5元.(2)方案一:一起购买,9折优惠,则(16+5)0.9=18.9(元).方案二:一起购买,每购满10元立减3元,可优惠6元,则16+5-6=15(元).方案三:分开购买,分别优惠,则16-3+50.9=17.5(元).1517.51 000)分钟的每月通话时间,则丙的套餐中定制了(x+300)分钟的每月通话时间.丙定制了1 GB的月流量,需花费1000.15+(500-100)0.07+(1 024-500)0.05=69.2(元),由(1)知,甲定制600MB月流量需花费48元,依题意得解得m=0.08.m的值为0.08.100(500-100)0.07(600-500)48,1
27、00(500-100)0.07(1 024 2-500)120.4,abab0.15,0.05,ab48500 0.15(1 000-500)0.12(-1 000)199,69.2500 0.15(1 000-500)0.12(300-1 000)244.2,xmxm2.某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图所示的竖式与横式两种的长方体铁容器.(加工时接缝材料不计)(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个,则共需要长方形铁片 张,正方形铁片 张;(2)现有长方形铁片2 014张,正方形铁片1 176张,如果加工成这两种铁容器,刚好铁片全部用完,
28、那么加工竖式铁容器、横式铁容器各多少个?(3)把长方体铁容器可以加工成铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片,已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片,也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片.若充分利用这些铁板加工成铁盒,则最多可以加工成多少个铁盒?无盖加盖图图解析解析(1)7;3.(2)设加工竖式铁容器x个,横式铁容器y个,根据题意得解得答:加工竖式铁容器100个,横式铁容器538个.(3)设做长方形铁片的铁板为m张,做正方形铁片的铁板为n张,且满足则解得在这35张铁板中,25张做长方形铁片可做253=75(个),9张做正方形铁片可做94=36(个),剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片,432 014,21 176,xyxy100,538.xy35,324,mnmn525,1169.11mn共可做长方形铁片75+1=76(个),正方形铁片36+2=38(个),可做铁盒764=19(或382=19)(个).综上可知最多可加工成铁盒19个.
