1、1.3 函数的基本性质函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值请观察函数请观察函数y=x2与与y=x3图象，回答下列问题：图象，回答下列问题：1 1、当、当x0 x0，+)+)，x x增大时，图（增大时，图（1 1）中的）中的y y值值 ；图（；图（2 2）中的）中的y y值值 。2 2、当、当x(x(，0)0)，x x增大时，图（增大时，图（1 1）中的）中的y y值值 ；图（；图（2 2）中的）中的y y值值 。增大增大增大增大增大增大减小减小3 3、分别指出图、分别指出图(1)(1)、图、图(2)(2)中，当中，当x x 00，+)+)和和x(x(，0)0)时，
2、函数图象是时，函数图象是上升上升的还是的还是下降下降的？的？4 4、通过前面的讨论，你发现了什么？、通过前面的讨论，你发现了什么？结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的，则函数值y随x的增大而增大，反之亦真；若一个函数在某个区间内图象是下降的，则函数值y随x的增大而减小，反之亦真。观察下列图象，观察下列图象，怎样给增函数和减函数下定义？怎样给增函数和减函数下定义？yx10 x2xf(x1)f(x2)设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I:如果对于如果对于属于定义域属于定义域I内某内某个区间个区间上的上的任意任意两个自变量两个自变量的值的值x1,x2,当当x1x2时时,都有都有f(x1)f
3、(x2),那么就说那么就说f(x)在在这个区间上是这个区间上是一、增函数 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数在某个区间是增函数或减函数,那那么就说函数么就说函数y=f(x)在这个区间具有在这个区间具有(严格的严格的),这一区间叫做这一区间叫做y=f(x)的的.yf(x1)f(x2)x10 x2x设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I:如果对于如果对于属于定义域属于定义域I内某内某个区间个区间上的上的任意任意两个自变量两个自变量的值的值x1,x2,当当x1x2时时,都有都有f(x1)f(x2),那么就说那么就说f(x)在在这个区间上是这个区间上是二、减函数三、单调性与单调
4、区间请问请问:在单调区间上增函数的图象是在单调区间上增函数的图象是_,减函数的图象是减函数的图象是_.(填填“上升的上升的”或或“下降的下降的”)上升的上升的下降的下降的想一想想一想 ：如何从一个函数的图象来判断这个：如何从一个函数的图象来判断这个函数在定义域内的某个单调区间上是增函数函数在定义域内的某个单调区间上是增函数还是减函数？还是减函数？如果这个函数在某个单调区间上的图象如果这个函数在某个单调区间上的图象是上升的，那么它在这个单调区间上就是增是上升的，那么它在这个单调区间上就是增函数；如果图象是下降的，那么它在这个单函数；如果图象是下降的，那么它在这个单调区间上就是减函数。调区间上就是
5、减函数。例例1.下图是定义在下图是定义在 闭区间闭区间-5,5上的函数上的函数y=f(x)的的图象图象,根据图象说出根据图象说出y=f(x)的单调区间的单调区间,以及在每个以及在每个单调区间上单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数?解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5,其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2),1,3)上是减函数上是减函数,在区间在区间-2,1),3,5上是增函数上是增函数.例例2：物理学中的玻意耳定律：物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积告诉我们，对
6、于一定量的气体，当其体积V减小时，减小时，压强压强p将增大。试用函数的单调性证明之。将增大。试用函数的单调性证明之。Vkp=分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数即可。即可。探究：探究：画出反比例函数画出反比例函数 的图象。的图象。（1）这个函数的定义域）这个函数的定义域I是什么？是什么？（2）它在定义域）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明上的单调性是怎样的？证明你的结论。你的结论。xy1=通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种
7、猜想的正确性，是研究函数性质的一种常用方法。性，是研究函数性质的一种常用方法。Rx图象上有一个最低点（图象上有一个最低点（0,0），即对于任意的），即对于任意的 ，都有都有).0()(fxf图象没有最低点。图象没有最低点。一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在，如果存在实数实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的 ，都有，都有 ；（2）存在）存在 ，使得，使得那么，我们称那么，我们称M是函数是函数y=f(x)的最大值的最大值（maximum value）。）。IxMxf)(Ix 0.)(0Mxf=四、函数的最大值四、函数的最大值你能给出函数最小值的定义吗
8、？你能给出函数最小值的定义吗？例例1：“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度地面的高度hm与时间与时间ts之间的关系为之间的关系为 ，那么烟花冲出后什么时候是，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到高度是多少（精确到1m）？）？187.149.4)(2=ttth54321-1-2-3-4-5-4-224681012f x 分析：由函数分析：由函数 的图象可知，函数的图象可知，函数在区间在区间2,6上递减上递减
9、.所以，函数在区间所以，函数在区间2,6的的两个端点上分别取得最大值和最小值。两个端点上分别取得最大值和最小值。)6,2(12=xxyl（一）创设情景，揭示课题l画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？l l ()3f xx=()3 1,2f xxx=2()21f xxx=2()21 2,2f xxxx=1函数最大（小）值定义最大值：一般地 ，设函数的定义域为I如果存在实数M满足：（1）对于任意的 ，都有 ；（2）存在 ，使得 那么，称M是函数 的最大值思考：依照函数最大值的定义，结出函数 的最小值的定义()y f x=xI()f xM0 xI0()f xM
10、=()yf x=()y f x=注意：注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在即存在 ，使得，使得 ；0 xI0()f xM=l函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 ，都有 l2利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法l配方法 换元法 数形结合法xI()()f x M f x m例例1：“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度地面的高度hm与时间与时间ts之间的关系为之间的关系为 ，那么烟花冲出后什么时
11、候是，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到高度是多少（精确到1m）？）？187.149.4)(2=ttthl例2将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？l解：设利润为 元，每个售价为 元，则每个涨（50）元，从而销售量减少l 100）ll答：为了赚取最大利润，售价应定为70元xxx10(50),x个 共售出500-10(x-50)=100-10 x(个)y=(x-40)(1000-10 x)9000(50 x2=-10(x-70)m a
12、x709000 xy=时l例3求函数 在区间2，6 上的l最大值和最小值l例4求函数 的最大值21yx=1yxx=函数的基本性质复习课1.函数的单调性函数的单调性(1)单调函数的定义单调函数的定义设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I，如果对于定，如果对于定义域义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量的上的任意两个自变量的值值x1，x2，当，当x1x2时，时，若若 ，则，则f(x)在区间在区间D上是上是增函数增函数若若 ，则，则f(x)在区间在区间D上是上是减函数减函数基础知识梳理基础知识梳理f(x1)f(x2)(2)单调区间的定义单调区间的定义 若函数若函数f(x)在区间在区间D上
13、是上是 或或 ，则称函数，则称函数f(x)在这一区间上在这一区间上具有具有(严格的严格的)单调性，单调性，叫做叫做f(x)的单调区间的单调区间基础知识梳理基础知识梳理增函数增函数减函数减函数区间区间D基础知识梳理基础知识梳理1.单调区间与函数定义域有单调区间与函数定义域有何关系？何关系？【思考思考提示提示】单调区间单调区间是定义域的子区间是定义域的子区间2函数的最值函数的最值(1)设函数设函数yf(x)的定义域为的定义域为I，如，如果存在实数果存在实数M，满足：，满足：对于任意的对于任意的xI，都有，都有 .存在存在x0I，使得，使得 .则称则称M是是f(x)的最大值的最大值基础知识梳理基础知
14、识梳理f(x)Mf(x0)M(2)设函数设函数yf(x)的定义域为的定义域为I，如，如果存在实数果存在实数M，满足：，满足：对于任意的对于任意的xI，都有，都有 .存在存在x0I，使得，使得 .则称则称M是是f(x)的最小值的最小值基础知识梳理基础知识梳理f(x)Mf(x0)M基础知识梳理基础知识梳理2.函数的最值与函数值域有何函数的最值与函数值域有何关系？关系？【思考思考提示提示】函数的最值函数的最值与函数的值域是关联的，求出了闭与函数的值域是关联的，求出了闭区间上连续函数的值域也就有了函区间上连续函数的值域也就有了函数的最值，但只有了函数的最大数的最值，但只有了函数的最大 (小小)值，未必
15、能求出函数的值域值，未必能求出函数的值域3函数的奇偶性函数的奇偶性基础知识梳理基础知识梳理奇偶性奇偶性定义定义图象特点图象特点偶函数偶函数如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任的定义域内任意一个意一个x，都有，都有f(x)f(x)，那，那么函数么函数f(x)是偶函数是偶函数关于关于对称对称奇函数奇函数如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任的定义域内任意一个意一个x，都有，都有f(x)f(x)，那么函数那么函数f(x)是奇函数是奇函数关于关于对称对称y轴轴原点原点基础知识梳理基础知识梳理3.奇偶函数的定义域有何特点？奇偶函数的定义域有何特点？【思考思考提示提示】若函数若函数f(x)具
16、具有奇偶性，则有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点的定义域关于原点对称反之，若函数的定义域不关于对称反之，若函数的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶性原点对称，则该函数无奇偶性4奇偶函数的性质奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区奇函数在关于原点对称的区间上的单调性间上的单调性 ，偶函数在关于，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性原点对称的区间上的单调性 (填填“相同相同”、“相反相反”)基础知识梳理基础知识梳理相同相同相反相反 (2)在公共定义域内，在公共定义域内，两个奇函数的和是两个奇函数的和是 ，两个，两个奇函数的积是奇函数的积是 ；两个偶函数的和、积是两个偶函数的和、积是 ；一
17、个奇函数，一个偶函数的积是一个奇函数，一个偶函数的积是 基础知识梳理基础知识梳理奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数1在在(，0)上是减函数的是上是减函数的是()答案：答案：D三基能力强化三基能力强化2已知已知f(x)ax2bx是定义在是定义在a1,2a上的偶函数，那么上的偶函数，那么ab的的值是值是()三基能力强化三基能力强化答案：答案：B3(教材习题改编教材习题改编)函数函数f(x)x22x，xa21,4的最大值为的最大值为_答案：答案：8三基能力强化三基能力强化函数的单调性用以揭示随着自函数的单调性用以揭示随着自变量的增大，函数值的增大与减小变量的增大，函数值的增大与减小的规
18、律在定义区间上任取的规律在定义区间上任取x1、x2，且且x1x2的条件下，判断或证明的条件下，判断或证明f(x1)f(x2)，这一过程，这一过程就是实施不等式的变换过程就是实施不等式的变换过程课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一函数单调性的判断与证明函数单调性的判断与证明课堂互动讲练课堂互动讲练例1求证：函数 f(x)1在区间(，0)上是单调增函数x1【思路点拨思路点拨】利用定义进利用定义进行判断，主要判定行判断，主要判定f(x2)f(x1)的的正负正负证明：任取x1x20，则f(x2)f(x1)(1)(1)因为x1x20，所以x1x20，x2x10，所以 0，即f(x2)f(x1)0，所以f
19、(x2)f(x1)故f(x)在(，0)上是单调增函数21x21x11x2112xxxx 2112xxxx 11x【规律小结规律小结】用定义证明函数用定义证明函数单调性的一般步骤：单调性的一般步骤：(1)取值：即设取值：即设x1，x2是该区间内是该区间内的任意两个值，且的任意两个值，且x1x2.(2)作差：即作差：即f(x2)f(x1)(或或f(x1)f(x2)，并通过通分、配方、因式分解，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方等方法，向有利于判断差的符号的方向变形向变形课堂互动讲练课堂互动讲练(3)定号：根据给定的区间和定号：根据给定的区间和x2x1的符号，确定差的符号，确
20、定差f(x2)f(x1)(或或f(x1)f(x2)的符号当符号不确定时，可的符号当符号不确定时，可以进行分类讨论以进行分类讨论(4)判断：根据定义得出结论判断：根据定义得出结论课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练练习：证明函数练习：证明函数 是增函是增函数数 1,1)(=xxxxf判断函数的奇偶性，应该首先判断函数的奇偶性，应该首先分析函数的定义域，在分析时，不分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据原来的结要把函数化简，而要根据原来的结构去求解定义域，如果定义域不关构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非奇非偶函于原点对称，则一定是非奇非偶函数数课堂互动讲
21、练课堂互动讲练考点二考点二函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】可从定义域入手，可从定义域入手，在定义域关于原点对称情况下，考查在定义域关于原点对称情况下，考查f(x)与与f(x)的关系的关系课堂互动讲练课堂互动讲练故故f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数(3)当当x0，则，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)；当当x0时，时，x0，则，则f(x)(x)2xx2xf(x)课堂互动讲练课堂互动讲练综上，对综上，对x(，0)(0，)，都有都有f(x)f(x)f(x)为奇函数为奇函数(4)易知易知f(x)的定义域是的定义域是(1,0)(0,1)，f(x)是奇函数是奇函数课堂互动讲练课堂互动讲练【说明说明】对于对于(1)的结论不能只的结论不能只说奇函数或偶函数说奇函数或偶函数课堂互动讲练课堂互动讲练全文结束
