1、 第第 2 课时课时 二次函数的综合应用二次函数的综合应用 知识点 1 实物抛物线问题 1图 2 是图 1 中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O，B，以点 O 为原点，水平直线 OB 为 x 轴，建立平面 直角坐标系， 桥的拱形可以近似看成抛物线 y 1 400(x80) 216， 桥拱与桥墩 AC 的交点 C 恰好在水面， 有 ACx 轴，若 OA10 米，则桥面离水面的高度 AC 为(B) A16 9 40米 B.17 4 米 C16 7 40米 D.15 4 米 知识点 2 销售问题 2某公司经销一种绿茶，每千克成本为 50 元市场调查发现，在一段时间内，销售量 w(千克)随销售单
2、价 x(元/ 千克)的变化而变化，具体关系式为：w2x240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 y(元)，解答下列问题： (1)求 y 与 x 的关系式； (2)当 x 取何值时，y 的值最大？ (3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于 90 元/千克，公司想要在这段时间内获得 2 250 元的销售利 润，销售单价应定为多少？ 解：(1)y(x50) w(x50) (2x240)2x2340x12 000. (2)y2x2340x12 0002(x85)22 450， 当 x85 时，y 的值最大 (3)当 y2 250 时，可得方程2(x85)22 4502 250. 解得 x17
3、5，x295. 根据题意，x295 不合题意，应舍去 销售单价应定为 75 元/千克 知识点 3 面积问题 3小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为 x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为 40 cm， 这个三角形的面积 S(单位：cm2)随 x(单位：cm)的变化而变化 (1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式 S1 2x 220x； (2)当 x20 时，这个三角形的面积 S 最大，最大面积是 200_cm2 知识点 4 二次函数与几何图形综合 4如图，已知抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于点 A，B，AB2，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x2. (1)求抛
4、物线的函数解析式； (2)设 P 为对称轴上一动点，求APC 周长的最小值 解：(1)AB2，对称轴为直线 x2， A(1，0)，B(3，0) 抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于点 A，B， y(x1)(x3)x24x3. 抛物线的函数解析式为 yx24x3. (2)连接 AC，BC，BC 交对称轴于点 P，连接 PA. 由(1)知抛物线的函数解析式为 yx24x3，点 A，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0) 点 C 的坐标为(0，3) BC 32323 2，AC 3212 10. 点 A，B 关于对称轴 x2 对称，PAPB. PAPCPBPCBC. 当 P 点在对称轴上运动时，PAP
5、C 的最小值等于 BC. APC 周长的最小值为 ACAPPC3 2 10. 重难点 1 二次函数的实际应用 (2017 潍坊)工人师傅用一块长为 10 dm，宽为 6 dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四 角各裁掉一个正方形(厚度不计) (1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为 12 dm2时，裁掉的正 方形边长多大？ (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为 0.5 元，底面每平方分米的费用为 2 元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？ 【自主解答】 (1)裁剪示意图
6、如图： 设裁掉的正方形边长为 x dm，由题意，得 (102x)(62x)12，即 x28x120. 解得 x12，x26(舍去) 答：裁掉的正方形的边长为 2 dm. (2)长不大于底面宽的五倍， 102x5(62x)0x2.5. 设总费用为 y，由题意，得 y0.52(102x)x(62x)x2(102x)(62x) 4x248x120 4(x6)224. 对称轴为 x6，开口向上， 当 0x2.5 时，y 随 x 的增大而减小 当 x2.5 时，y最小4(2.56)22425. 答：当裁掉边长为 2.5 dm 的正方形时，总费用最低为 25 元, 方法指导 1利用二次函数解决实际问题，第
7、一步是建立二次函数模型，一般都是根据两个变量之间的等量关系建立 2利用二次函数探究实际生活中的最值问题，需先建立二次函数模型，列出二次函数关系式，整理成顶点式， 函数最值应结合自变量取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上 的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值 【变式训练 1】 (2016 青岛)如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案按照图中的直角坐标系，最左边 的抛物线可以用 yax2bx(a0)表示已知抛物线上 B，C 两点到地面的距离均为3 4 m，到墙边 OA 的距离分别为 1 2 m， 3 2 m. (1)
8、求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离； (2)若该墙的长度为 10 m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？ 解：(1)由题意，得 B(1 2， 3 4)，C( 3 2， 3 4)， 代入抛物线的函数关系式，得 1 4a 1 2b 3 4， 9 4a 3 2b 3 4. 解得 a1， b2. 故该抛物线的函数关系式为 yx22x. yx22x(x1)21，抛物线的顶点坐标为(1，1) 图案最高点到地面的距离为 1 m. (2)由题意，令 yx22x0，解得 x10，x22. 抛物线与 x 轴两交点的坐标为(0，0)和(2，0)，即两交点之间的距离为 2. 最多可连续绘制这样
9、的抛物线型的个数为 10 25(个), 拓展点1：抛物线型问题 方法指导： 利用二次函数解决抛物线型问题的基本思路是将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件，本例中就是将距 离转化为点的坐标，然后用待定系数法求得解析式，然后令纵坐标为 0，求得抛物线在横轴的单个跨度，就可以得 到问题的答案 【变式训练 2】 (2017 安徽)某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80 元经市场调查，每天的销售量 y(千克)与每千克售价 x(元/千克)满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价 x(元/千克) 50 60 70 销售量 y(千克) 100 80 60 (1)
10、求 y 与 x 之间的函数表达式； (2)设商品每天的利润为 W(元)，求 W 与 x 之间的函数表达式(利润收入成本)； (3)试说明(2)中总利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多 少？ 解：(1)设 ykxb，将(50，100)和(60，80)代入 ykxb，得 50kb100， 60kb80， 解得 k2， b200. y 与 x 之间的函数关系式为 y2x200. (2)W(x40)(2x200) 2x2280x8 000 2(x70)21 800， W 与 x 之间的函数表达式为 W2(x70)21 800. (3)W2(x70)2
11、1 800 中，a20，40x80， 抛物线开口向下， 当 40x70 时，y 随 x 的增大而增大， 当 70x80 时，y 随 x 的增大而减小 在 x70 时，W 取得最大值，为 1 800. 答：售价为 70 元时，获得最大利润，最大利润是 1 800 元 拓展点2：商品经济问题 方法指导： 利用二次函数解决商品经济问题的关键是仔细审题，弄清题意一般步骤为： (1)根据图表信息，用待定系数法求解析式； (2)根据等量关系：销售利润(售价成本)销售量，建立函数关系式； (3)先根据题意确定自变量的取值范围，然后利用函数的增减性确定利润的最大值 重难点 2 二次函数与几何图形的综合 (20
12、17 枣庄 T25，10 分)如图，抛物线 y1 2x 2bxc 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为(6，0)，点 C 坐标为(0，6)，点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BD. (1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标； (2)点 F 是抛物线上的动点，当FBABDE 时，求点 F 的坐标； (3)若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在坐标平面内， 以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请写出点 Q 的坐标 【思路点拨】 (1)由 B，C 的坐标，利用待定
13、系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点 D 的坐标即可；(2)过 F 作 FGx 轴于点 G，可设出 F 点坐标，利用FBGBDE，由相似三角形的性质可得到关于 F 点坐标的方程，可 求得 F 点的坐标；(3)由于 M，N 两点关于对称轴对称，可知点 P 为对称轴与 x 轴的交点，点 Q 在对称轴上，可设 出 Q 点的坐标，则可表示出 M 的坐标，代入抛物线解析式可求得点 Q 的坐标 (1)把 B，C 两点坐标代入抛物线解析式，可得 186bc0， c6， 解得 b2， c6. 抛物线解析式为 y1 2x 22x6. 2 分 y1 2x 22x61 2(x2) 28，D(2，8). 3 分 (2
14、)如图 1，过 F 作 FGx 轴于点 G. 设 F(x，1 2x 22x6)，则 FG|1 2x 22x6|. FBABDE，FGBBED90， FBGBDE.FG BG BE DE. B(6，0)，D(2，8)， E(2，0)，BE4，DE8，OB6.BG6x. |1 2x 22x6| 6x 4 8. 当点 F 在 x 轴上方时，有 1 2x 22x6 6x 1 2， 解得 x1 或 x6(舍去)，此时 F 点的坐标为(1，7 2)； 5 分 当点 F 在 x 轴下方时，有 1 2x 22x6 6x 1 2， 解得 x3 或 x6(舍去)，此时 F 点的坐标为(3，9 2) 综上可知，F
15、点的坐标为(1，7 2)或(3， 9 2). 7 分 (3)如图 2，设对称轴 MN，PQ 交于点 O. 点 M，N 关于抛物线对称轴对称，且四边形 MPNQ 为正方形， 点 P 为抛物线对称轴与 x 轴的交点，点 Q 在抛物线的对称轴上 设 Q(2，2n)，则 M 坐标为(2n，n) 点 M 在抛物线 y1 2x 22x6 的图象上， n1 2(2n) 22(2n)6. 解得 n1 17或 n1 17. 满足条件的点 Q 有两个，其坐标分别为(2，22 17)和(2，22 17). 10 分 , 例题剖析 本例为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、正方形的性质、方程思
16、 想及分类讨论思想等知识 在(1)中注意待定系数法的应用， 在(2)中构造三角形相似是解题的关键， 注意有两种情况， 在(3)中确定出 P、Q 的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中 方法指导 链接专题复习(九)边栏解题方法 1生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的 利润 y 和月份 n 之间的函数关系式为 yn214n24，则该企业一年中利润最高的月份是(C) A5 月 B6 月 C7 月 D8 月 2如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 A，B 两点，桥拱最高点 C 到 AB 的距离为
17、 9 m，AB36 m，D，E 为桥拱底部的两点，且 DEAB，点 E 到直线 AB 的距离为 7 m，则 DE 的长为 48m. 3便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润 y(元)与每件销售价 x(元)之间的关系满足 y2x280x 750，由于某种原因，售价只能满足 15x22，那么一周可获得的最大利润是 1_550 元 4(2016 台州)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数小军相隔 1 秒依次竖直向上抛出两个小球假 设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后 1.1 秒时到达相同的最大离地高度第一个小球抛出后 t 秒时在空 中与第二个小球的离地高度相同，则 t1.6
18、5(2017 黄石)小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在 1 月份至 7 月份的市场行情进行统计分析后得 出如下规律： 该蔬菜的销售价 P(单位：元/千克)与时间 x(单位：月份)满足关系：P9x； 该蔬菜的平均成本 y(单位：元/千克)与时间 x(单位：月份)满足二次函数关系 yax2bx10.已知 4 月份的 平均成本为 2 元/千克，6 月份的平均成本为 1 元/千克 (1)求该二次函数的解析式； (2)请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润 L(单位：元/千克)最大？最大平均利润是多少？ (注：平均利润销售价平均成本) 解：(1)依题意有 16a4b102， 3
19、6a6b101，解得 a1 4， b3. 函数解析式为 y1 4x 23x10. (2)依题意知，平均利润 LPy(9x)(1 4x 23x10) 化简，得 L1 4x 22x11 4(x4) 23(1x7 且 x 为整数)， 当 x4 时，L 的最大值为 3. 答：该蔬菜在四月份的平均利润 L 最大，最大为 3 元/千克 6(2017 德州)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷 水池，在水池中心竖直安装了一根高 2 米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 米处达到最 高，水柱落地处离池中心 3 米 (1)请你建立适当的直角
20、坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式； (2)求出水柱的最大高度是多少？ 解：(1)如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，建立平面 直角坐标系 由题意可设抛物线的函数解析式为 ya(x1)2h(0x3) 抛物线过点(0，2)和(3，0)，代入抛物线解析式，可得 4ah0， ah2. 解得 a 2 3， h8 3. 所以抛物线解析式为 y2 3(x1) 28 3(0x3) 化为一般式为 y2 3x 24 3x2(0x3) (2)由(1)中抛物线解析式 y2 3(x1) 28 3(0x3)知， 当 x1 时，y8 3. 所以抛物线水柱的最大高度为
21、8 3 m. 7(2017 义乌)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围 墙的总长为 50 m设饲养室长为 x(m)，占地面积为 y(m2) (1)如图 1，问饲养室长 x 为多少时，占地面积 y 最大？ (2)如图 2，现要求在图中所示位置留 2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大小敏说：“只要饲养室长比 (1)中的长多 2 m 就行了” 请你通过计算，判断小敏的说法是否正确 解：(1)yx 50x 2 1 2(x25) 2625 2 ， 当 x25 时，占地面积 y 最大， 即当饲养室长为 25 m 时，占地面积最大 (2)yx 50
22、（x2） 2 1 2(x26) 2338， 当 x26 时，占地面积 y 最大， 即当饲养室长为 26 m 时，占地面积最大 262512， 小敏的说法不正确 8九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x(1x90)天的售价与销量的相关信息如下表： 时间 x(天) 1x50 50x90 售价(元/件) x40 90 每天销量(件) 2002x 已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元 (1)求 y 与 x 的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，每天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4 800
23、元？请直接写出结果 解：(1)y 2x2180x2 000（1x50）， 120x12 000（50x90）. (2)当 1x50 时， y2x2180x2 0002(x45)26 050. 20， 当 x45 时，y 有最大值，最大值为 6 050. 当 50x90 时，y120x12 000. 1206 000， 销售该商品第 45 天时，每天销售利润最大，最大利润为 6 050 元 (3)41 天 9(2017 温州)如图，过抛物线 y1 4x 22x 上一点 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 B，交 y 轴于点 C，已知 点 A 的横坐标为2. (1)求抛物线的对称轴和点 B
24、的坐标； (2)在 AB 上任取一点 P，连接 OP，作点 C 关于直线 OP 的对称点 D； 连接 BD，求 BD 的最小值； 当点 D 落在抛物线的对称轴上，且在 x 轴上方时，求直线 PD 的函数表达式 解：(1)对称轴是直线 x b 2a 2 21 4 4. 点 A，B 关于直线 x4 对称，点 A 的横坐标为2， 点 B 的横坐标为 10. 当 x10 时，y5， 点 B 的坐标为(10，5) (2)如图 1，连接 OD，OB. 点 C，D 关于直线 OP 对称， ODOC5. ODBDOB， BDOBOD5 55. 当点 D 在线段 OB 上时，BD 有最小值 5 55. 如图 2，设抛物线的对称轴交 x 轴于点 F，交 BC 于点 H. OD5，OF4，DF3. D(4，3)，DHHFDF2. 设 CPa，则 PDPCa，PH4a， 在 RtPHD 中，(4a)222a2， a5 2.P( 5 2，5) 设直线 PD 的函数表达式为 ykxb(k0)， 5 2kb5， 4kb3. 解得 k 4 3， b25 3 . 直线 PD 的函数表达式为 y4 3x 25 3 .
