1、高中高中化学化学选修选修 3 3:六方最密堆积中正八面体空隙六方最密堆积中正八面体空隙 和正四面体空隙中心的分数坐标和正四面体空隙中心的分数坐标 等径圆球紧密排列形成 密置层,如图所示。 在密置层内,每个圆球 周围有六个球与它相切。相 切的每三个球又围出一个三 角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙,一排尖向上,接 着下面一排尖向下,交替排 列。而每个圆球与它周围的六个球围出的六个三角形空隙中,有三个 尖向上,另外三个 尖向下。如图所 示,我们在这里将 尖向上的三角形空 隙记为 B,尖向下 的三角形空隙记为 C。第二密置层的 球放在 B 之上,第 三密置层的球投影 在 C 中,三层完成 一个周期。
2、这样的 最密堆积方式叫做立方 最密堆积(ccp,记为 A1 型),形成面心立方 晶胞。 若第三密置层的球投 影与第一密置层的球重 合,两层完成一个周 期。这样的最密堆积方 式叫做六方最密堆积 (hcp,记为 A3 型), 形成六方晶胞,如图所 示。 在这两种堆积方式中,任何四个相切的球围成一个正四面体空 隙;另外,相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应, 它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说,围成正八面体空隙 的这六个球可以分为相邻的两层,每层的正三角形中心的连线垂直于 正三角形所在的密置层,参看下图,黑色代表的不是球而是正八面体 的中心。 在这两种最密堆积方式中,每个 球与同
3、一密置层的六个球相切,同时 与上一层的三个球和下一层的三个球 相切,即每个球与周围十二个球相切 (配位数为 12)。中心这个球与周围 的球围出八个正四面体空隙,平均分摊到每个正四面体空隙的是八分 之一个球。这样,每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一, 即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙,它平均分摊到每个 正八面体空隙的是六分之一个球。这样,每个正八面体空隙分摊到的 球数是六个六分之一,即一个。总之,这两种最密堆积中,球数 : 正 八面体空隙数 : 正四面体空隙数 = 1:1:2 。 面心立方最密堆积(ccp, A1 型)中正八面体空隙和正四面体空 隙的问题比较简单、直观。下面我们
4、集中讨论六方最密堆积(hcp,A3 型)中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标。 在六方最密堆积中画出一个六方晶胞,如下面两幅图所示。 平均每个六方晶胞中有两个正八面体空隙,如下面两幅图所示。 空隙中心的分数坐标分别为:(2/3,1/3,1/4),(2/3,1/3,3/4)。 对于正四面体空隙,存在这样一个问题,即正四面体的中心到它 的底面的距离是它的高的多少倍? 解法一(分体积法):以正四面体的 中心 O 为顶点,以正四面体的四个面为 底面将正四面体平均分为四个等体积的小 三棱锥,小三棱锥的高为 OH,则有: 4 V 33 4 S AHS OH AHOH 即正四面体的中心到底面的距离是它
5、的高的四分之一。 解法二(立方体法): 将正四面体的四个顶点放在立方体相隔的四个顶点。设立方体的 边长为 1,则正四面体的边长为2,正四面体的高为 62 3 2 33 。由 于立方体的体对角线为3,所以正四面体的中心(即立方体的中心) 到它的底面的距离与它的高之比为: 2 332 3 :1:4 323 解法三(外接球法):如图,设正四 面体的边长为 1,则 2 2336 , A 3233 6 2 A21 3 6 4 666 3412 1 3 BGG rGr r OG OG r 解得 即正四面体的中心到底面的距离是它的 高的四分之一。 解法四(正弦定理法): 如图,正四面体中心到两个顶点之间 的
6、夹角为 109.47 ,等腰三角形的另两个角 为 35.27 。根据正弦定理即可求解。 下面我们来找出六方最密堆积一个晶胞中的所有正四面体。 六方晶胞内中间层的一个球与上面三个球和下面三个球各围成一 个正四面体空隙,空隙中心的分数坐标分别是:(1/3,2/3,1/8), (1/3,2/3,7/8)。 另外在每个棱上,晶胞顶点的八个球分别与中间层的 球围成正四面体空隙,这些空隙平均只有四分之一在这 个晶胞内,八个四分之一共为两个。空隙中心的分数坐 标分别是:(0,0,3/8),(0,0,5/8)。 四个坐标说明正四面体空隙共有四个。 用体积模型示意图来看各种空隙也是很有意思的。 请看左图。在六方硫化锌中,硫离子呈 六方密堆积,锌离子填入空隙。锌离子填入 的是什么空隙? (正四面体还是 正八面体?)是 否填满了所有的空隙?将结果与立方硫化锌的情况作对比,看有哪些 相似与不同。估计锌离子与硫离子的半径比。查阅锌离子与硫离子的 半径数据,说明硫离子是不是最密堆积。