1、 中考数学（北京专用）7.6新定义问题1.(2020北京西城一模,28)对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2,给出如下定义:在图形W1上存在两点A,B(点A与点B可以重合),在图形W2上存在两点M,N(点M与点N可以重合),使得AM=2BN,则称图形W1和图形W2满足限距关系.(1)如图1,点C(1,0),D(-1,0),E(0,),点P在线段DE上运动(点P可以与点D,E重合),连接OP,CP.线段OP的最小值为,最大值为;线段CP的取值范围是;在点O,点C中,点与线段DE满足限距关系;3(2)如图2,O的半径为1,直线y=x+b(b0)与x轴、y轴分别交于点F,G.若线段FG与O
2、满足限距关系,求b的取值范围;(3)O的半径为r(r0),点H,K是O上的两个点,分别以H,K为圆心,1为半径作圆得到H和K,若对于任意点H,K,H和K都满足限距关系,直接写出r的取值范围.3解析解析(1);CP2.O.详解:通过可以发现点O与线段DE上的点的距离OP的范围是OP,符合限距关系的概念,所以点O满足题意;点C与线段DE上的点的距离CP的范围是CP2,如果要满足题意,最大值为最小值的2倍,所以点C不满足限距关系.(2)直线y=x+b与x轴、y轴分别交于点F,G(0,b).当0b1时,线段FG在O的内部,与O无公共点,此时O上的点到线段FG的最小距离为1-b,最大距离为1+b.线段F
3、G与O满足限距关系,1+b2(1-b).解得b.b的取值范围是b2时,线段FG在O的外部,与O无公共点,此时O上的点到线段FG的最小距离为b-1,最大距离为b+1.线段FG与O满足限距关系,b+12.当b2时,线段FG与O满足限距关系.综上,b的取值范围是b.(3)0r3.详解:当01时,H与K上两点间的最小距离d1=2r-2,最大距离d2=2r+2,如果满足限距关系,需要d22d1,即2r+22(2r-2),整理得2r+24r-4,故-2r-6,解得r3,1r3.综上,r的取值范围是0r3.2.(2020北京海淀一模,28)A,B是C上的两个点,点P在C的内部.若APB为直角,则称APB为A
4、B关于C的内直角,特别地,当圆心C在APB边(含顶点)上时,称APB为AB关于C的最佳内直角.如图1,AMB是AB关于C的内直角,ANB是AB关于C的最佳内直角.在平面直角坐标系xOy中.(1)如图2,O的半径为5,A(0,-5),B(4,3)是O上两点.已知P1(1,0),P2(0,3),P3(-2,1),在AP1B,AP2B,AP3B中,是AB关于O的内直角的是;若在直线y=2x+b上存在一点P,使得APB是AB关于O的内直角,求b的取值范围;(2)点E是以T(t,0)为圆心,4为半径的圆上一个动点,T与x轴交于点D(点D在点T的右边).现有点M(1,0),N(0,n),对于线段MN上每一
5、点H,都存在点T,使DHE是DE关于T的最佳内直角,请直接写出n的最大值,以及n取得最大值时t的取值范围.图1图2备用图解析解析(1)如图,P1(1,0),A(0,-5),B(4,3),AB=4,P1A=,P1B=3,P1不在以AB为直径的圆弧上,故AP1B不是AB关于O的内直角,P2(0,3),A(0,-5),B(4,3),P2A=8,AB=4,P2B=4,22485221526223325P2A2+P2B2=AB2,AP2B=90,AP2B是AB关于O的内直角,同理可得,P3B2+P3A2=AB2,AP3B是AB关于O的内直角,故答案为AP2B,AP3B.APB是AB关于O的内直角,APB
6、=90,且点P在O的内部,满足条件的点P形成的图形为图中的半圆H(不包括点A,B),过点B作BDy轴于点D,A(0,-5),B(4,3),BD=4,AD=8,直线AB的解析式为y=2x-5,当直线y=2x+b过直径AB时,b=-5,连接OB,作直线OH交半圆于点E,过点E作直线EFAB,交y轴于点F,OA=OB,AH=BH,EHAB,EHEF,EF是半圆H的切线.OAH=OAH,OHA=BDA=90,OAHBAD,=,OH=AH=EH,OH=EO,EOF=AOH,FEO=AHO=90,EOF HOA(ASA),OHAHBDAD48121212OF=OA=5,EFAB,直线AB的解析式为y=2x
7、-5,直线EF的解析式为y=2x+5,此时b=5.b的取值范围是-5b5.(2)n的最大值为2,此时t的取值范围是-1t5.详解:对于线段MN上每一个点H,都存在点T,使DHE是DE关于T的最佳内直角,点T一定在DHE的边上.TD=4,DHT=90,线段MN上任意一点(不包含点M)都必须在以TD为直径的圆上,该圆的半径为2,当点N在该圆的最高点时,n有最大值.即n的最大值为2.分两种情况:若点H不与点M重合,那么点T必须在边HE上,此时DHT=90,5点H在以DT为直径的圆上,如图,当G与MN相切时,GHMN,OM=1,ON=2,MN=.22ONOM5GMH=OMN,GHM=NOM,ON=GH
8、=2,GHM NOM(AAS).MN=GM=.OG=-1.OT=+1.当T与M重合,t=1,t的取值范围是-1t1,若点H与点M重合,临界位置有两个,一个是当点T与M重合时,t=1,另一个是当TM=4时(T在M右侧),t=5,t的取值范围是1t5,综上,t的取值范围是-1t5.55555解题关键解题关键解决本题的关键是要理解相切为临界情况,第(3)问需要知道线段MN上任意一点(不包含点M)都必须在以TD为直径的圆上,该圆的半径为2,则当点N在该圆的最高点时,n有最大值2,再分点H不与点M重合,点H与点M重合两种情况分别求出临界位置时的t值.3.(2020北京东城一模,28)在ABC中,CD是A
9、BC的中线,如果上的所有点都在ABC的内部或边上,则称为ABC的中线弧.(1)在RtABC中,ACB=90,AC=1,D是AB的中点.如图1,若A=45,画出ABC的一条中线弧,直接写出ABC的中线弧所在圆的半径r的最小值;如图2,若A=60,求出ABC的最长的中线弧的弧长l;CDCDCDCDCD(2)在平面直角坐标系中,已知点A(2,2),B(4,0),C(0,0),在ABC中,D是AB的中点.求ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围.CD解析解析(1)如图(答案不唯一).中线弧所在圆的半径r的最小值为.(2分)当中线弧所在圆与AC,AB都相切时,中线弧的弧长l最大.CD12CDC
10、D如图,此时中线弧所在圆的圆心在BC上,半径为.所以最大弧长l=.(3分)(2)根据中线弧的定义可知ABC的中线弧所在圆的圆心P在CD的垂直平分线上.如图,若中线弧在CD下方,CD33312031802 39CDCD如图,此时中线弧所在圆的圆心在BC上,半径为.所以最大弧长l=.(3分)(2)根据中线弧的定义可知ABC的中线弧所在圆的圆心P在CD的垂直平分线上.如图,若中线弧在CD下方,CD33312031802 39CDCD当中线弧所在圆与BC相切时,可得圆心P的坐标为(0,5).所以ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t5.如图,若中线弧在CD上方,CDCDCD当中线弧所在圆与AC相切时,
11、可得圆心P的坐标为.所以ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t-.综上,ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围为t5或t-.(7分)CD55,22CD52CD52解题关键解题关键本题考查了直线与圆的位置关系,ABC的中线弧的定义,解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,学会利用特殊位置(相切)解决问题,同时当图形不确定时要有分类讨论的意识.4.(2020北京朝阳一模,28)在平面直角坐标系xOy中,点A(t,0),B(t+2,0),C(n,1),若射线OC上存在点P,使得ABP是以AB为腰的等腰三角形,则称点P为线段AB关于射线OC的等腰点.(1)如图,t=0.若n=0,则线段AB
12、关于射线OC的等腰点的坐标是;若n0,且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1,求n的取值范围;(2)若n=,且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点,则t的取值范围是.33解析(1)(0,2).如图,设以O为圆心,AB为半径的圆与直线y=1在第二象限的交点为D,作DE垂直x轴于点E,OD=2,DE=1.在RtODE中,根据勾股定理得OE=.n的取值范围是n-.33(2)-4t-2或-2t2或t=0或t=.提示:当t=0时,满足题意.当t=-2时,满足题意.4 334 33当t=-4时,不满足题意.-4t-2.当圆B与射线OC相切时,切点为C,连接BC,可得OB=,sin60CB
13、2324 33A,即t=-2.当t=2时,满足题意.4 32,034 33-2t2.当圆A与射线OC相切时,切点为C,连接AC,可得OA=,4 33sin60CA2324 33A,即t=.综上,-4t-2或-20).(1)当t=2时.在点C1(-3,2),C2(0,2),C3(2,4),C4(4,2)中,满足条件的点C是;若在直线y=kx(k0)上存在点P是ABC的C-中线弧所在圆的圆心,其中CD=4,求k的取值范围;(2)若ABC的C-中线弧所在圆的圆心为定点P(2,2),直接写出t的取值范围.DEDE3DEDE解析解析(1)当t=2时,点B的坐标为(4,0),点D是AB的中点,D(2,0)
14、.如图,过点C作CEAB于E,则点C和点E的横坐标相同.点E是以CD为直径的圆与边AB的交点,0AE4.点E不与点D重合,AE2.点E的横坐标大于等于0小于等于4,且不等于2,点C1(-3,2),C2(0,2),C3(2,4),C4(4,2)中,只有点C2,C4的横坐标满足条件.故满足条件的点C是C2,C4.ABC的中线CD=4,B(4,0),k0,3点C在上(点H除外),其中点M(0,2),点N(4,2),点H(2,4).点P是ABC的C-中线弧所在圆的圆心,点P在上(点Q除外),其中点P1(1,),点P2(3,),点Q(2,2).当直线y=kx过点P1(1,)时,得k=.当直线y=kx过点
15、P2(3,)时,得k=.MN33DE1 2PP3333333当直线y=kx过点Q(2,2)时,得k=1.结合图形,可得k的取值范围是k且k1.(2)t4且t2.提示:由(1)知,点E的横坐标大于等于0小于等于2t,且不等于t,点D是AB的中点,且B(2t,0),D(t,0),当点E在线段AD上时,AE=t-2(t-2)=-t+40,t4.当点E在线段BE上时,AE=2(2-t)+t2t,t.t4且t2.3334343436.(2020北京丰台一模,28)如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上,那么称这个圆为该角的角内圆.特别地,当这个圆与角的至少一边相切时,称这个圆为该角的角内相切圆.在平
16、面直角坐标系xOy中,点E,F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上.(1)分别以点A(1,0),B(1,1),C(3,2)为圆心,1为半径作圆,得到A,B和C,其中是EOF的角内圆的是;(2)如果以点D(t,2)为圆心,以1为半径的D是EOF的角内圆,且与直线y=x有公共点,求t的取值范围;(3)点M在第一象限内,如果存在一个半径为1且过点P(2,2)的圆为EOM的角内相切圆,直接写出EOM的取值范围.3解析解析(1)如图,由作图可知B和C是EOF的角内圆.故答案为B,C.(2)如图,当D1与y轴相切时,设切点为M,则MD1=1,可得t1=1.当D2与直线y=x相切时,设切点为H,连接HD2,设
17、直线y=x与直线y=2交于点K,则HKD2,MOK都是等腰直角三角形,KH=HD2=1,KD2=,OM=MK=2,MD2=MK+KD2=2+,t2=2+,满足条件的t的取值范围是1t2+.(3)如图,连接OP,OM.2222P(2,2),tanPOE=,POE=60,观察图象可知当射线OM在POF的内部(包括射线OP,不包括射线OF)时,存在一个半径为1且过点P(2,2)的圆为EOM的角内相切圆,60EOM90.32 32337.(2020北京密云一模,28)对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P,给出如下定义:经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫做点P的“特征线”.例如:点M(1,3
18、)的特征线是y=x+2和y=-x+4.(1)若点D的一条特征线是y=x+1,则在D1(2,2)、D2(-1,0)、D3(-3,4)三个点中,可能是点D的点有;(2)已知点P(-1,2)的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A,直线y=kx+b(k0)经过点P,且与x轴交于点B.若使BPA的面积不小于6,求k的取值范围;(3)已知点C(2,0),T(t,0),且T的半径为1.当T与点C的特征线存在交点时,直接写出t的取值范围.解析解析(1)D2.(2)设点P(-1,2)的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线是y=-x+b,1+b=2,解得b=1.点P(-1,2)的平行于第二、四象限
19、夹角平分线的特征线是y=-x+1,A(1,0),令BPA的面积为6,AB2=6,解得AB=6,B(-5,0)或B(7,0),当y=kx+b经过P(-1,2)和点B(-5,0)时,解得k=.当y=kx+b经过P(-1,2)和点B(7,0)时,解得k=-.122,50,kbkb 122,70,kbkb 140k或-k0),请利用特征点求出该函数的最小值.1x解析解析(1)1+2=3,1+3=4,2.5+0=2.5,2a3,A,C是特征点.故答案为:A,C.如图,当W1与直线y=-x+2相切时,W1(2-,0),当W2与直线y=-x+3相切时,W2(3+,0),观察图象可知满足题意的m的取值范围为2
20、-m3+.2222(2)x0,函数y=的图象在第一象限,这个图象上的点的坐标为,特征点满足x+y=a(x0,a为常数),x+=a,特征点对应的图象是由原点向外扩大,当与反比例函数的图象第一次有交点时,x+的值最小(如图),此时交点的坐标为(1,1),1x1,xx1x1x函数z=x+的最小值为2.1x10.(2020北京平谷一模,28)在ABM中,ABM=90,以AB为一边向ABM的异侧作正方形ABCD,以A为圆心,AM为半径作A,我们称正方形ABCD为A的“关于ABM的友好正方形”,如果正方形ABCD恰好落在A的内部(或圆上),我们称正方形ABCD为A的“关于ABM的绝对友好正方形”.例如,图
21、1中正方形ABCD是A的“关于ABM的友好正方形”.(1)图2中,在ABM中,BA=BM,ABM=90,在图中画出A的“关于ABM的绝对友好正方形ABCD”;(2)若点A在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,它的横坐标是2,过点A作ABy轴于B,若正方形ABCD为A的“关于ABO的绝对友好正方形”,求k的取值范围;(3)若点A是直线y=-x+2上的一个动点,过点A作ABy轴于B,若正方形ABCD为A的“关于ABO的绝对友好正方形”,求出点A的横坐标m的取值范围.kx解析解析(1)BA=BM,ABM=90,圆A的半径AM=AB=AC,故点C在圆上,补全图形如图.(2)设A(2,a),当a=2时
22、,正方形ABCD的顶点C恰好落在A上(如图);2当a2时,正方形ABCD的顶点均落在A内部(如图);当a0,x0)过点A(2,a),当a2时,k4,k的取值范围为k4.(3)当m=1时,正方形ABCD的顶点C恰好落在A上(如图);kx当0m1时,正方形ABCD均落在A内部(如图);当m=0时,ABO不存在;当m1时,正方形ABCD的顶点C落在A外部(如图),当m=2时ABO不存在.综上,点A的横坐标m的取值范围为0m1或m0,则称图形M与图形N相离.(1)已知点A(1,2)、B(0,-5)、C(2,-1)、D(3,4).与直线y=3x-5相离的点是;若直线y=3x+b与ABC相离,求b的取值范
23、围;(2)设直线y=x+3、直线y=-x+3及直线y=-2围成的图形为W,T的半径为1,圆心T的坐标为(t,0),直接写出T与图形W相离的t的取值范围.33解析解析(1)点A(1,2),当x=1时,3-5=-2,点A不在直线y=3x-5上,同理,点C(2,-1)不在直线y=3x-5上,点B(0,-5),点D(3,4)在直线y=3x-5上,与直线y=3x-5相离的点是A,C.故答案为A,C.当直线y=3x+b过点A(1,2)时,b=-1.当直线y=3x+b过点C(2,-1)时,b=-7.若直线y=3x+b与ABC相离,b的取值范围是b-1或b时,T与图形W相离.如图,当T位于直线y=x+3左侧,
24、且与直线AB相切于点H时,连接TH,直线AB与x轴交于点E,23332 335 3353,035 333如图,当T位于直线AC左侧,且与直线AC相切时,同理可得TD=,OD=,OT=OD-TD=-=,2 33332 3333T;当T与AB相切,且位于直线AB的右侧时,T,当-t时,T与图形W相离.综上,T与图形W相离时t的取值范围是t或-t.3,033,0333335 335 333333同理可得,TE=,OE=,OT=,T,当t-时,T与图形W相离.2 3335 3353,035 3312.(2020北京房山二模,28)过三角形的任意两个顶点画一条弧,若弧上的所有点都在该三角形的内部或边上,
25、则称该弧为三角形的“形内弧”.(1)如图,在等腰RtABC中,A=90,AB=AC=2.在图中画出一条RtABC的形内弧;在RtABC中,其形内弧的长度最长为;(2)在平面直角坐标系中,点D(-2,0),E(2,0),F(0,1),点M为DEF形内弧所在圆的圆心.求点M纵坐标yM的取值范围;(3)在平面直角坐标系中,点M(2,2),点G为x轴上一点.点P为OMG最长形内弧所在圆的圆心,求点P纵坐标yP的取值范围.3解析解析(1)作RtABC的形内弧如图.当OB=2时,RtABC的形内弧最长,此时弧长=.(2)当圆心M在x轴下方时,此时最长形内弧与线段DF,EF相切,DOFDOM1,OFOM1=
26、OD2.OM1=4.yM-4.当圆心M在x轴上方时,此时最长形内弧与x轴相切,FOEEHM2,=,又EH=.易求得EM2=.yM.综上所述,yM-4或yM.(3)当xG-4时,此时最长形内弧与x轴相切,FOEH2FEEM52525252GOP1HOG,GP1=4.4.当-4xG0时,此时最长形内弧与线段OM相切,解得4,31Py32Py3当0 xG,33Py4 33当xG4时,此时最长形内弧与线段MG相切,解得-.4Py2 33综上所述,yP或yP-.4 332 3313.(2020北京,28,7分)在平面直角坐标系xOy中,O的半径为1,A,B为O外两点,AB=1.给出如下定义:平移线段AB
27、,得到O的弦AB(A,B分别为点A,B的对应点),线段AA长度的最小值称为线段AB到O的“平移距离”.(1)如图,平移线段AB得到O的长度为1的弦P1P2和P3P4,则这两条弦的位置关系是;在点P1,P2,P3,P4中,连接点A与点的线段的长度等于线段AB到O的“平移距离”;(2)若点A,B都在直线y=x+2上,记线段AB到O的“平移距离”为d1,求d1的最小值;33(3)若点A的坐标为,记线段AB到O的“平移距离”为d2,直接写出d2的取值范围.32,2解析解析(1)平行;P3.(2分)详解:由题意可知P1P2,P3P4都是由线段AB平移得来的,所以P1P2P3P4.由题意可知点A与点P1,
28、点P3是对应点,且点A与点P3在x轴上方,点P1在x轴下方,且点P1与点P3关于x轴对称,所以连接点A与点P3的线段的长度小于连接点A与点P1的线段的长度.所以连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到O的“平移距离”.(2)如图,由题意可得,ABAB且AB=AB=1,则四边形AABB为平行四边形.由题意可得,AA=d1.分别取AB和AB的中点M和M,连接MM,可得MM=AA.连接OM,则OMAB,且OM=.设直线y=x+2交x轴于点C,交y轴于点D,则点C(-2,0),D(0,2).32333延长OM交直线CD于点N,则ONCD.在RtCOD中,可得ON=.NM=.MMNM,AA.d1的最小
29、值是(当AB的中点M与点N重合时取得).(5分)(3)d2.(7分)提示:当点A在线段OA上时(如图1),可知AA有最小值,易求得AO=2.5,所以AA的最小值为2.5-1=1.5;当AA=AA时(如图2),AA有最大值,OP=0.5,AO=2.5,AP=,可知AA=.33232323239232223(0.52.5)2392图1图214.(2019北京,28,7分)在ABC中,D,E分别是ABC两边的中点,如果上的所有点都在ABC的内部或边上,则称为ABC的中内弧.例如,下图中是ABC的一条中内弧.(1)如图,在RtABC中,AB=AC=2,D,E分别是AB,AC的中点.画出ABC的最长的中
30、内弧,并直接写出此时的长;DEDEDE2DEDE(2)在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(0,0),C(4t,0)(t0).在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点.若t=,求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围;若在ABC中存在一条中内弧,使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上,直接写出t的取值范围.12DEDEDE解析解析(1)ABC的最长的中内弧,如图.的长为.(2)当t=时,点C(2,0).取BC的中点F(1,0),则四边形DEFB为正方形.DEDE12(i)(除端点外)在线段DE的上方,当所在圆P1与AC相切时,圆心P1是正方形DEFB的中心.点P1.结合图形,可得
31、点P的纵坐标yP.(ii)(除端点外)在线段DE的下方,DEDE1 1,2 212DE当所在圆P2与AB相切时,圆心P2是线段DE的中点.点P2.结合图形,可得点P的纵坐标yP1.综上所述,圆心P的纵坐标yP的取值范围是yP或yP1.t的取值范围是0t.提示:如图1,当(除端点外)在线段DE上方,即P与AC相切时,PEAC,易证EFCPFE,可求得t=,结合图象可知0t;如图2,当(除端点外)在线段DE下方,即P与BC相切时,易证PFCABC,可求得PF=1.5,设PF与DE交于点G,PG=0.5,进而在RtPDG中可求t=,结合图象可知0t.综上,t的取值范围是01,不符合题意;当点P与原点
32、不重合时,设射线OP与O的交点为Q.(i)当0OP1,此时P不是O的关联点.22223 22(ii)当1OP3时,如图3.PQ=|OP-OQ|1,此时P是O的关联点.(iii)当OP3时,如图4.图3图4对于O上任意一点Q,总有PQOP-OQ=OP-OQ=PQ1,此时P不是O的关联点.综上所述,当P为O的关联点时,1OP3.点P的横坐标xP的取值范围是-xP-或xP.(2)圆心C的横坐标xC的取值范围是-2xC1-或2xC2.提示:由(1)可知,线段AB上的点均满足:与圆心C的距离大于等于1,且小于等于3.3 2222223 2222以下为临界情况:如图a,C1EAB,且C1E=1,此时点C1
33、的横坐标为1-;如图b,C2A=3,此时点C2的横坐标为-2;2图a图b图c如图c,AC3=1,此时点C3的横坐标为2;图d如图d,C4B=3,此时点C4的横坐标为2.易知点C在线段C1C2和C3C4上满足题意,圆心C的横坐标xC的取值范围是-2xC1-或2xC2.22217.(2016北京,29,8分)在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1x2,y1y2,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”.下图为点P,Q的“相关矩形”的示意图.(1)已知点A的坐标为(1,0),若点B的坐标为(3,
34、1),求点A,B的“相关矩形”的面积;点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;(2)O的半径为,点M的坐标为(m,3).若在O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.2解析解析(1)如图,矩形AEBF为点A(1,0),B(3,1)的“相关矩形”.可得AE=2,BE=1.点A,B的“相关矩形”的面积为2.由点A(1,0),点C在直线x=3上,点A,C的“相关矩形”AECF为正方形,可得AE=2.当点C在x轴上方时,CE=2,可得C(3,2).直线AC的表达式为y=x-1.当点C在x轴下方时,CE=2,可得C(3,-2).直线AC的表达式
35、为y=-x+1.(2)由点M,N的“相关矩形”为正方形,可设直线MN为y=x+b或y=-x+b.(i)当直线MN为y=x+b时,可得m=3-b.由图可知,当直线MN平移至与O相切,且切点在第四象限时,b取得最小值,此时直线MN记为M1N1,其中N1为切点,T1为直线M1N1与y轴的交点.ON1T1为等腰直角三角形,ON1=,OT1=2,b的最小值为-2.m的最大值为5.当直线MN平移至与O相切,2且切点在第二象限时,b取得最大值,此时直线MN记为M2N2,其中N2为切点,T2为直线M2N2与y轴的交点.同理可得,b的最大值为2,m的最小值为1.m的取值范围为1m5.(ii)当直线MN为y=-x
36、+b时,同理可得,m的取值范围为-5m-1.综上所述,m的取值范围为-5m-1或1m5.思路分析思路分析(1)根据“相关矩形”的概念,求点A,B的“相关矩形”的面积.由题意知AC与x轴正方向的夹角为45,从而得到AE=CE,从而得出点C的坐标,进而求出AC的表达式,注意分情况讨论.(2)由M,N的“相关矩形”为正方形设直线MN的方程为y=x+b或y=-x+b,再在运动变化中确定点的变化范围.解题关键解题关键(1)要准确理解点P、Q的“相关矩形”的含义,明确点P、Q的“相关矩形”应满足的条件.(2)根据题目给出的点的坐标,准确画出“相关矩形”并解决一些简单问题.(3)运用类比,归纳、联想、分类讨
37、论、数形结合等思想,依据新定义解决较复杂问题.18.(2019北京西城一模,28)在平面直角坐标系xOy中,对于两个点P,Q和图形W,如果在图形W上存在点M,N(M,N可以重合)使得PM=QN,那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点.(1)如图1,已知点A(0,3),B(2,3).设点O与线段AB上一点的距离为d,则d的最小值是,最大值是;在P1,P2(1,4),P3(-3,0)这三个点中,与点O是线段AB的一对平衡点的是;3,02图1(2)如图2,已知O的半径为1,点D的坐标为(5,0).若点E(x,2)在第一象限,且点D与点E是O的一对平衡点,求x的取值范围.(3)如图3,已知点H(-3,0
38、),以点O为圆心,OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K.点C(a,b)(其中b0)是坐图2标平面内一个动点,且OC=5,C是以点C为圆心,半径为2的圆.若上的任意两个点都是C的一对平衡点,直接写出b的取值范围.图3HK解析解析(1)3;.(2分)P1.(3分)(2)设点D(5,0)与O上一点的距离为d1,则4d16.设点E(x,2)与O上一点的距离为d2,连接OE,如图,则OE-1d2OE+1.13点D与点E是O的一对平衡点,OE-16且OE+14.3OE7.过点E作EFOD于点F.点E在第一象限,OF=x,EF=2.在RtOEF中,OE2=OF2+EF2=x2+4.当OE=3时,32=x2+
39、4,解得x=(舍负).同理,当OE=7时,可得x=3.x3.(5分)(3)b5.(7分)提示:根据题意可知,点C在以原点为圆心,半径为5的圆上,当b=5时,点C坐标为(0,5),H到C的最短距离55554 143是-2,最大距离是+2,而点(0,3)到C的最短距离是0,最大距离是4,-20的情况,可列方程-2=4,且a2+b2=25,解得a=,再代入a2+b2=25,可得b=,所以b5.34343422(3)ba134 1434 143解题关键解题关键解决本题最后一问的关键是发现点到圆的最值,同时根据勾股定理列出方程进行求解.19.(2019北京东城一模,28)在平面直角坐标系xOy中,对于P
40、,Q两点给出如下定义:若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值,则称P,Q两点为“等距点”.如图中的P,Q两点即为“等距点”.(1)已知点A的坐标为(-3,1),在点E(0,3),F(3,-3),G(2,-5)中,为点A的“等距点”的是;若点B在直线y=x+6上,且A,B两点为“等距点”,则点B的坐标为;(2)直线l:y=kx-3(k0)与x轴交于点C,与y轴交于点D.若T1(-1,t1),T2(4,t2)是直线l上的两点,且T1与T2为“等距点”,求k的值;当k=1时,半径为r的O上存在一点M,线段CD上存在一点N,使得M,N两点为“等距点”,直接写出r的取值范围.
41、解析解析(1)E,F.(2分)(-3,3).(3分)(2)T1(-1,t1),T2(4,t2)是直线l上的两点,t1=-k-3,t2=4k-3.k0,|-k-3|=k+31,4k-3-3.依题意可得:当-34k-34时,k+3=4,解得k=1;当4k-34时,k+3=4k-3,解得k=2.综上所述,k的值为1或2.(5分)r3.(7分)(提示:线段CD上点(1.5,-1.5)距离x,y轴的最大距离最小,故r的最小值为1.5;当点(3,-3)在O上时,r可取得最大值3.)322220.(2019北京石景山一模,28)在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点分别为A(0,1),B(-1,0)
42、,C(0,-1),D(1,0).对于图形M,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为正方形ABCD边上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最大值,那么称这个最大值为图形M的“正方距”,记作d(M).(1)已知点E(0,4),直接写出d(点E)的值;直线y=kx+4(k0)与x轴交于点F,当d(线段EF)取最小值时,求k的取值范围;(2)T的圆心为T(t,3),半径为1.若d(T)6,直接写出t的取值范围.解析(1)5.如图,d(点E)=5.d(线段EF)的最小值是5.符合题意的点F应满足d(点F)5.当d(点F)=5时,BF1=DF2=5.点F1的坐标为(4,0),点F2的坐标为(-4,0).k
43、=-1或k=1.结合函数图象可得k-1或k1.(2)-3t3.(提示:如图,虚线长为5时,d(T)=6,借助勾股定理可得t=-3,同理当圆心在y轴右侧,且d(T)=6时,t=3,d(T)6,-3t3.)21.(2019北京门头沟一模,28)对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P,给出如下定义:点A是线段MN上一个动点,过点A作线段MN的垂线l,点P是垂线l上的另外一个动点.如果以点P为旋转中心,将垂线l沿逆时针方向旋转60后与线段MN有公共点,我们就称点P是线段MN的“关联点”.如图,M(1,2),N(4,2).(1)在点P1(1,3),P2(4,0),P3(3,2)中,线段MN的“关联点
44、”有;(2)如果点P在直线y=x+1上,且点P是线段MN的“关联点”,求点P的横坐标x的取值范围;(3)如果点P在以O(1,-1)为圆心,r为半径的O上,且点P是线段MN的“关联点”,直接写出O半径r的取值范围.解析解析(1)P1和P3.(2分)(2)线段MN的“关联点”P的位置如图中阴影所示,直线y=x+1经过点M(1,2),x1.(3分)设直线y=x+1与P4N交于点A.过点A作ABMN于B,延长AB交x轴于C.由题意易知,在AMN中,MN=3,AMN=45,ANM=30.设AB=MB=a,tanANM=,即tan30=,解得a=.(4分)点A的横坐标为x=a+1=+1=.x.(5分)综上
45、,1x.(6分)(3)r3+.(7分)ABBN3aa3 3323 3323 3123 3123 3123 323根据(2)中图可知当圆与MP5相切时,r=;当点P4在圆上时,r=3+,故r3+.32333 323解题关键解题关键解决本题的关键是发现关联点的范围是一个含60角的平行四边形.22.(2019北京房山二模,28)对于平面直角坐标系xOy中的点P和C,给出如下定义:若C上存在点A,使得APC=30,则称P为C的半角关联点.当O的半径为1时,(1)在点D,E(2,0),F(0,2)中,O的半角关联点是;(2)直线l:y=-x-2交x轴于点M,交y轴于点N,若直线l上的点P(m,n)是O的
46、半角关联点,求m的取值范围.11,22333解析解析(1)D、E.(2分)(2)由直线l的解析式得M(-2,0),N(0,-2),(3分)以O为圆心,ON长为半径画圆,交直线MN于点G,可得m0,(4分)设小圆O与y轴负半轴的交点为H,连接OG,HG,M(-2,0),N(0,-2),OM=2,ON=2,tanOMN=,OMN=30,ONM=60,OGN是等边三角形,GHy轴,点G的纵坐标为-1,代入y=-x-2可得,横坐标为-,33333333m-,(6分)-m0.(7分)33解题关键解题关键解决本题的关键是发现O的半角关联点的范围是半径为2的圆(及其内部).23.(2019北京石景山二模,2
47、8)对于平面直角坐标系xOy中的点P,Q,给出如下定义:若P,Q为某个三角形的顶点,且边PQ上的高h满足h=PQ,则称该三角形为点P,Q的“生成三角形”.(1)已知点A(4,0),若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O,A的“生成三角形”,求该三角形的腰长;若RtABC是点A,B的“生成三角形”,且点B在x轴上,点C在直线y=2x-5上,则点B的坐标为;(2)T的圆心为点T(2,0),半径为2,点M的坐标为(2,6),N为直线y=x+4上一点,若存在RtMND,是点M,N的“生成三角形”,且边ND与T有公共点,直接写出点N的横坐标xN的取值范围.解析解析(1)如图,不妨设满足条件的三角形为等
48、腰OAR,则OR=AR.过点R作RHOA于点H,OH=HA.以线段OA为底的等腰OAR恰好是点O,A的“生成三角形”,RH=OA=4.(1分)OR=2,即腰长为2.(2分)55(1,0)或(3,0)或(7,0).(5分)当A为直角顶点时,点B的坐标为(1,0)或(7,0);当B为直角顶点时,点B的坐标为(1,0)或(3,0).综上,点B的坐标为(1,0),(3,0)或(7,0).(2)-6xN0.(提示:如图,若N为直角顶点,则-1-xN0;2若M为直角顶点,-6xN-2.综上,-6xN0.)(7分)24.(2019北京朝阳二模,28)M,N是平面直角坐标系xOy中的两点,若平面内直线MN上方
49、的点P满足:45MPN90,则称点P为线段MN的可视点.(1)在点A1,A2,A3(0,),A4(2,2)中,线段MN的可视点为;(2)若点B是直线y=x+上线段MN的可视点,求点B的横坐标t的取值范围;(3)直线y=x+b(b0)与x轴交于点C,与y轴交于点D,若线段CD上存在线段MN的可视点,直接写出b的取值范围.11,2 11,210,21,02212解析解析(1)A1,A3.(2分)(2)如图,以为圆心,1为半径作圆,以为圆心,为半径作圆,两圆在直线MN上方的部分与直线y=x+分别交于点E,F.10,210,2212可求E,F两点坐标分别为和.(3分)只有当点B在线段EF上时,满足45
50、MBN90,点B是线段MN的可视点.点B的横坐标t的取值范围是0t1.(5分)(3)b或-b-.(7分)(提示:由(2)可知直线y=x+b(b0)平移经过的特殊点:半径为的半圆MF与直线的切点,此时b=+=;点M,此时b=;半径为1的半圆MN与x轴正半轴的交点,此时交点坐标为,所以b=-;点N,此时b=-.)10,231,2125232322221252123,023232一题多解一题多解当不能发现可视点区域是两个圆叠合后的图形时,解决本题第二问可借助三角板进行操作,进而也可以寻找到点E、F的坐标.25.(2018北京东城一模,28)给出如下定义:对于O的弦MN和O外一点P(M,O,N三点不共
