1、 中考数学（湖南专用）4.5特殊的平行四边形A组20162020年湖南中考题组考点一矩形1.(2020湖南怀化,9,3分)在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,若AOB的面积为2,则矩形ABCD的面积为()A.4B.6C.8D.10答案答案C四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O,AC=BD,且OA=OB=OC=OD,SADO=SBCO=SCDO=SABO=2,矩形ABCD的面积为4SABO=8,故选C.思路分析思路分析根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD,推出SADO=SCDO=SABO=SBCO=2,即可求出矩形ABCD的面积.2.(2020湖南湘西,9,4分)如图,在平面
2、直角坐标系xOy中,矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上,矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上,矩形的边AB=a,BC=b,DAO=,则点C到x轴的距离等于()A.acos+bsinB.acos+bcosC.asin+bcosD.asin+bsin答案答案A作CEy轴于E,如图.四边形ABCD是矩形,CD=AB=a,AD=BC=b,ADC=90,CDE+ADO=90,AOD=90,DAO+ADO=90,CDE=DAO=,sinDAO=,cosCDE=,ODADDECDOD=ADsinDAO=bsin,DE=CDcosCDE=acos,OE=DE+OD=acos+bsin,点C到x轴的距离等于ac
3、os+bsin.故选A.思路分析思路分析作CEy轴于E,由矩形的性质得出CD=AB=a,AD=BC=b,ADC=90,证出CDE=DAO=,由三角函数定义得出OD=bsin,DE=acos,进而得出答案.3.(2018湖南常德,15,3分)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点C落在点H处,已知DGH=30,连接BG,则AGB=.答案答案75解析解析由折叠的性质可知GE=BE,EGH=ABC=90,EBG=EGB,EGH-EGB=EBC-EBG,即BGH=GBC,又ADBC,AGB=GBC,AGB=BGH,DGH=30,AGH=150,AGB=AGH=75.12思路分析
4、思路分析由折叠的性质可知GE=BE,EGH=ABC=90,从而可证明EBG=EGB,进而得到BGH=GBC,由平行线的性质可知AGB=GBC,从而易证AGB=BGH,据此可得答案.4.(2020湖南张家界,16,8分)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.(1)求证:DOE BOF;(2)若AB=6,AD=8,连接BE,DF,求四边形BFDE的周长.解析解析(1)证明:四边形ABCD是矩形,ADBC,DO=BO,EDO=FBO,又EFBD,EOD=FOB=90,在DOE和BOF中,DOE BOF(ASA).(2)由(1)可得,EDBF,ED=
5、BF,四边形BFDE是平行四边形,在EBO和EDO中,EBO EDO,ED=EB,四边形BFDE是菱形,EDOFBODOBOEODFOB ,90,DOBOEODEOBEOEO 设AE=x,则BE=ED=8-x,在RtABE中,根据勾股定理可得BE2=AB2+AE2,即(8-x)2=x2+62,解得x=,BE=8-=,四边形BFDE的周长=4=25.74742542545.(2017湖南邵阳,20,8分)如图所示,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,OBC=OCB.(1)求证:平行四边形ABCD是矩形;(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.解析解析(1)证明:四边形ABCD
6、是平行四边形,OA=OC,OB=OD,OBC=OCB,OB=OC,BD=AC,平行四边形ABCD是矩形.(2)AB=AD或ACBD,答案不唯一.理由:四边形ABCD是矩形,AB=AD,四边形ABCD是正方形.或四边形ABCD是矩形,ACBD,四边形ABCD是正方形.思路分析思路分析(1)根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC,OB=OD,根据等角对等边可得OB=OC,所以BD=AC,再根据对角线相等的平行四边形是矩形得证;(2)根据正方形的判定方法添加条件即可.解题关键解题关键本题考查了正方形的判定,平行四边形的性质,矩形的判定,熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键.6.(201
7、9湖南郴州,25,10分)如图1,矩形ABCD中,点E为AB边上的动点(不与A,B重合),把ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1,延长EA1交直线DC于点F,再把BEF折叠,使点B的对应点B1落在EF上,折痕EH交直线BC于点H.(1)求证:A1DEB1EH;(2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴,若点A1恰好落在直线MN上,试判断DEF的形状,并说明理由;(3)如图3,在(2)的条件下,点G为DEF内一点,且DGF=150,试探究DG,EG,FG的数量关系.解析解析(1)证明:由折叠的性质可知DAE=DA1E=90,EBH=EB1H=90,AED=A1ED,BEH=B1EH,DEA1+
8、HEB1=90.又HEB1+EHB1=90,DEA1=EHB1,A1DEB1EH.(2)DEF是等边三角形.理由如下:直线MN是矩形ABCD的对称轴,点A1落在直线MN上,点A1是EF的中点,即A1E=A1F,在A1DE和A1DF中,A1DE A1DF(SAS),DE=DF,FDA1=EDA1,111111,90,DADADAEDAFAEAF 又ADE A1DE,ADF=90.ADE=EDA1=FDA1=30,EDF=60,DEF是等边三角形.(3)DG,EG,FG的数量关系是DG2+GF2=GE2.理由如下:由(2)可知DEF是等边三角形,将DGE绕点D顺时针旋转60到DGF的位置,如图,G
9、F=GE,DG=DG,GDG=60,DGG是等边三角形,GG=DG,DGG=60,DGF=150,GGF=90,在RtGGF中,GG2+GF2=GF2,DG2+GF2=GE2.思路分析思路分析(1)由折叠的性质可得DA1E=EB1H=90,AED=A1ED,BEH=B1EH,所以DEA1+HEB1=90,从而可得DEA1=EHB1,依据两个角对应相等的三角形相似可得A1DEB1EH;(2)由A1恰好落在直线MN上可知A1为EF的中点,由SAS易证A1DE A1DF,进而可得ADE=EDA1=FDA1=30,所以EDF=60,可证DEF是等边三角形;(3)将DGE绕点D顺时针旋转60到DGF的位
10、置,由旋转将DG,EG,FG集中到GGF中,结合DGG=60与DGF=150,可得GGF为直角三角形,由勾股定理可得GG2+GF2=GF2,即可证明DG2+GF2=GE2.考点二菱形1.(2017湖南长沙,10,3分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm,则这个菱形的周长为()A.5cmB.10cmC.14cmD.20cm答案答案D根据菱形的对角线互相垂直平分,可知OA=3cm,OB=4cm,且OAOB,在RtAOB中,根据勾股定理可得AB=5cm,所以菱形ABCD的边长为5cm,所以菱形ABCD的周长为45=20cm.方法总结方法总结已知菱形两条对角线的长求菱形的周长
11、时,利用菱形的对角线互相垂直平分,并结合勾股定理即可求解.2.(2018湖南湘潭,5,3分)如图,已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是()A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形答案答案B连接AC、BD,交于点O.设AC交FG于点L.四边形ABCD是菱形,ACBD,点G,H分别是CD,AD的中点,DH=HA,DG=GC,GHAC,HG=AC.12同理可得EFAC,EF=AC,GH=EF,GHEF,四边形EFGH是平行四边形,同理可证GFBD,OLF=AOB=90,ACGH,HGL=OLF=90,平行四边形EFGH是矩形.故选B.12解题关键解题关键本题考查菱形的
12、性质、平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题.3.(2018湖南郴州,19,7分)如图,在 ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于E,F,连接BE,DF.求证:四边形BFDE是菱形.证明证明在 ABCD中,EF为对角线BD的垂直平分线,BO=DO,EDB=FBO,在DOE和BOF中,EDOFBOODOBEODFOB DOE BOF(ASA).OE=OF,又OB=OD,四边形BFDE是平行四边形,EFBD,四边形BFDE为菱形.4.(2019湖南湘潭,21,6分)如图,将ABC沿着AC边翻折,得
13、到ADC,且ABCD.(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由;(2)若AC=16,BC=10,求四边形ABCD的面积.解析解析(1)四边形ABCD是菱形.理由:由翻折得ABC ADC,AB=AD,BC=CD,BAC=DAC.ABCD,BAC=DCA,DAC=DCA,AD=DC,AB=AD=BC=CD,四边形ABCD是菱形.(2)连接BD交AC于点O.四边形ABCD是菱形,ACBD,AO=CO,BO=DO.又AC=16,BC=10,CO=8,BO=6,BD=12,S菱形ABCD=1612=96.22-BC OC12考点三正方形1.(2019湖南衡阳,12,3分)如图,在直角三角形ABC中,C
14、=90,AC=BC,E是AB的中点,过点E作AC和BC的垂线,垂足分别为点D和点F,四边形CDEF沿着CA方向匀速运动,点C与点A重合时停止运动,设运动时间为t,运动过程中四边形CDEF与ABC的重叠部分面积为S.则S关于t的函数图象大致为()答案答案C在直角三角形ABC中,C=90,AC=BC,ABC是等腰直角三角形,EFBC,EDAC,四边形EFCD是矩形,E是AB的中点,EFBC,EDAC,EF=AC,DE=BC,EF=ED,四边形EFCD是正方形.设正方形EFCD的边长为a,它运动的速度为v,如图1,当运动的距离小于a时,S=正方形EFCD的面积-EEH的面积=a2-t2;121222
15、v图1当运动的距离大于a且小于2a时,如图2,图2S=SACH=(2a-vt)2=t2-2avt+2a2;当运动的距离等于2a时,S=0.S关于t的函数图象大致为C选项中的图象,故选C.1222v思路分析思路分析根据已知条件得到ABC是等腰直角三角形,推出四边形EFCD是正方形,设正方形EFCD的边长为a,它运动的速度为v,根据移动的距离小于a,大于a且小于2a及等于2a分别写出S关于t的函数关系式,根据函数关系式即可得到结论.2.(2017湖南长沙,12,3分)如图,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的H重合(H不与端点C,D重合),折痕交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC
16、交于点G.设正方形ABCD的周长为m,CHG的周长为n,则的值为()A.B.C.nm22125-12D.随H点位置的变化而变化答案答案B设正方形ABCD的边长为2a,则正方形的周长m=8a,设CH=x,DE=y,则DH=2a-x,EH=AE=2a-y,EHG=90,DHE+CHG=90,DHE+DEH=90,DEH=CHG,又D=C=90,CHGDEH,=,即=,CG=,GH=,CGDHCHDEGHEH2-CGa xxy2-GHa y(2-)xa xy(2-)xa yyCHG的周长为CH+CG+HG=,在RtDEH中,DH2+DE2=EH2,即(2a-x)2+y2=(2a-y)2,整理得4ax
17、-x2=4ay,CH+CG+HG=4a=n.=,故选B.24-ax xy24-ax xy4ayynm12思路分析思路分析设正方形ABCD的边长为2a,则正方形的周长m=8a,设CH=x,DE=y,则DH=2a-x,EH=2a-y,然后利用正方形的性质和折叠的性质证明CHGDEH,利用相似三角形的对应边成比例可以把CG、HG分别用含a、x、y的式子来表示,CHG的周长也可以用含a、x、y的式子来表示,然后在RtDEH中用勾股定理可以得到4ax-x2=4ay,进而得到CHG的周长n=4a,最后求得的值.nm3.(2020湖南常德,15,3分)如图1,已知四边形ABCD是正方形,将DAE,DCF分别
18、沿DE,DF向内折叠得到图2,此时DA与DC重合(A,C都落在G点),若GF=4,EG=6,则DG的长为.答案答案12解析解析设正方形ABCD的边长为x(x0),由翻折可得DG=DA=DC=x,GF=4,EG=6,AE=EG=6,CF=GF=4,BE=x-6,BF=x-4,EF=6+4=10,如图所示:在RtBEF中,由勾股定理得BE2+BF2=EF2,(x-6)2+(x-4)2=102,x2-12x+36+x2-8x+16=100,x2-10 x-24=0,(x+2)(x-12)=0,x1=-2(舍),x2=12.DG=12.思路分析思路分析设正方形ABCD的边长为x(x0),由翻折及已知线
19、段的长,可分别表示出BE、BF及EF的长.在RtBEF中,由勾股定理得到关于x的方程,解得x的值,即为DG的长.4.(2020湖南湘西,21,8分)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE、CE.(1)求证:BAE CDE;(2)求AEB的度数.解析解析(1)证明:四边形ABCD是正方形,AB=CD,BAD=CDA=90,ADE是等边三角形,AE=DE,EAD=EDA=60,BAE=BAD+EAD=150,CDE=CDA+EDA=150,BAE=CDE,在BAE和CDE中,BAE CDE(SAS).(2)AB=AD,且AD=AE,AB=AE,ABE=AEB,又BAE=150,
20、由三角形内角和定理可知AEB=(180-150)2=15.,ABCDBAECDEAEDE 思路分析思路分析(1)利用正方形的性质得到AB=CD,BAD=CDA,利用等边三角形的性质得到AE=DE,EAD=EDA=60.由“边角边”即可证明;(2)由AB=AD=AE,得到ABE=AEB,又BAE=90+60=150,所以利用三角形内角和定理即可求解.5.(2018湖南常德,26,10分)已知正方形ABCD中,AC与BD交于O点,点M在线段BD上,作直线AM交直线DC于E,过D作DHAE于H,设直线DH交AC于N.(1)如图1,当M在线段BO上时,求证:MO=NO;(2)如图2,当M在线段OD上时
21、,连接NE,当ENBD时,求证:BM=AB;(3)如图3,当M在线段OD上时,连接NE,当NEEC时,求证:AN2=NCAC.证明证明(1)正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OD=OA,AOM=DON=90,OND+ODN=90,ANH=OND,ANH+ODN=90,DHAE,DHM=90,ANH+OAM=90,ODN=OAM,DON AOM,OM=ON.(2)连接MN,ENBD,ENC=DOC=90,NEC=BDC=45=ACD,EN=CN,同(1)可得,OM=ON,OD=OC,DM=CN=EN,ENDM,四边形DENM是平行四边形,DNAE,DENM是菱形,DE=EN,EDN=E
22、ND,ENBD,END=BDN,EDN=BDN.BDC=45,BDN=22.5,AHD=90,AMB=DME=90-BDN=67.5,ABM=45,BAM=67.5=AMB,BM=AB.(3)设CE=a(a0),ENCD,CEN=90,ACD=45,CNE=45=ACD,EN=CE=a,CN=a,设DE=b(b0),2AD=CD=DE+CE=a+b,根据勾股定理得AC=AD=(a+b),同(1)可得OAM=ODN,OAD=ODC=45,EDN=DAE,DEN=ADE=90,DENADE,=,=,a=b(负值舍去),CN=a=b,AC=(a+b)=b,22DEADENDEbabab5-12210
23、-2221022AN=AC-CN=b,AN2=2b2,ACCN=bb=2b2,AN2=ACCN.2102210-22思路分析思路分析(1)先判断出OD=OA,AOM=DON,再利用同角的余角相等判断出ODN=OAM,即可证得DON AOM,进而得出结论.(2)先判断出四边形DENM是菱形,进而得出BDN=22.5,即可判断出AMB=67.5,得出结论.(3)设CE=a(a0),进而表示出EN=CE=a,CN=a,设DE=b(b0),进而表示出AD=a+b,根据勾股定理得,AC=(a+b),同(1)可得OAM=ODN,得出EDN=DAE,进而判断出DENADE,得出=,进而得出a=b,即可表示出
24、CN=b,AC=b,所以AN2=ACCN=2b2,得出结论.22DEADENDE5-1210-221022B组20162020年全国中考题组考点一矩形1.(2019重庆A卷,9,4分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上,对角线BDx轴,反比例函数y=(k0,x0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0),D(0,4),则k的值为()A.16B.20C.32D.40kx答案答案B点D(0,4),DBx轴,点B的纵坐标为4,设点B的坐标为(a,4).由点A(2,0),点D(0,4)可知OA=2,OD=4,AD=,AB=,DB=a.四边形ABCD是矩形,DAB
25、=90.在RtDAB中,DA2+AB2=DB2,()2+2=a2,解得a=10.点B的坐标为(10,4).四边形ABCD是矩形,点E为DB的中点.点E的坐标为(5,4).将点E(5,4)代入y=中,得k=20,故选B.22242022(-2)4a2022(-2)4akx思路分析思路分析由DBx轴,可得点B的纵坐标和点D的纵坐标相同,故可设点B(a,4).在RtDAB中,可用勾股定理列出关于a的方程,解得a的值.由于点E为DB的中点,故可求出点E的坐标,将点E的坐标代入y=中,便可求出k的值.kx2.(2020广东广州,10,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8
26、,过点O作OEAC,交AD于点E,过点E作EFBD,垂足为F,则OE+EF的值为()A.B.C.D.485325245125答案答案C四边形ABCD为矩形,ABC=90,ADBC,OA=OD,AC=10,sinACB=.ADBC,OA=OD,ODA=DAO=ACB.sinODA=sinDAO=sinACB=.在RtAOE和RtDEF中,OE=AEsinOAD=AE,EF=DEsinODA=DE,OE+EF=AE+DE=(AE+DE)=AD=8=.故选C.22ABBC2268ABAC610353535353535353535245一题多解一题多解连接CE.由DEF=AEO=CEO,得OEF=CE
27、D,OEFCED,=sinDAC=.=,OE+EF=(EC+DE)=AD=.OEECEFDE35OEEFECDE3535352453.(2020云南,6,3分)已知四边形ABCD是矩形,点E是矩形ABCD的边上的点,且EA=EC.若AB=6,AC=2,则DE的长是.10答案答案或832 343解析解析四边形ABCD是矩形,DC=AB=6,ADC=90,在RtADC中,AD=2.当点E在DC边上时,如图1,设EA=EC=x,则DE=6-x,在RtADE中,AD2+DE2=AE2,22+(6-x)2=x2,x=,DE=.22-AC DC40-3610383图1当点E在AB边上时,如图2,易求得AE
28、=,在RtADE中,DE=.10322AEAD2 343DE的长为或.图2832 343解后反思解后反思本题主要考查矩形的性质,勾股定理以及分类讨论的思想,因为点E的位置不确定,需根据EA=EC,讨论点E在边AB和边DC上的情况,分别求DE的长.4.(2019河南,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=a.连接AE,将ABE沿AE折叠,若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为.35答案答案或5353解析解析在矩形ABCD中,AB=CD=1,AD=BC=a,B=C=D=90,由折叠得BE=BE=a,ABE=90.当点B落在边AD上时,易证四边形
29、ABEB是正方形,BE=AB,即a=1,a=;当点B落在边CD上时,如图.3535531+2=2+3=90,1=3,又D=C=90,BCEADB,=.在RtADB中,由勾股定理得BD=,=,a=.综上所述,满足条件的a的值为或.ECEBBDAB22-BA AD21-a2321-a535353解后反思解后反思本题是以矩形为背景的折叠型题目,由于未指明折叠后点B的具体位置,所以分情况讨论是解决本题的关键.根据题意得,当点B在矩形边上时,有两种可能:当点B在AD上时,由四边形ABEB是正方形可求a的值;当点B在边CD上时,由相似三角形性质结合勾股定理可求a的值.5.(2019贵州贵阳,15,4分)如
30、图,在矩形ABCD中,AB=4,DCA=30,点F是对角线AC上的一个动点,连接DF,以DF为斜边作DFE=30的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程中,点E的运动路径长是.答案答案4 33解析解析连接BD,交AC于点O,矩形ABCD中,DCA=30,三角形AOD为等边三角形.AB=4,OD=AD=ABtan30=.当点F与点A重合时,点E在OD的中点E1处,DE1=OD=;当点F与点C重合时,点E(即E2)在DC的上方.连接E1E2,易知E1DE2=ADC=90,DE1E2=60.DFE=DAE1=30,=,又FDE=ADE1=60,FDA=EDE1,ADF
31、E1DE,DAF=DE1E=60,由此可知点E的运动轨迹为线段E1E2,E1DE2=90,DE1E=60,E1E2=2DE1=.4 33122 331DEADDEDF124 33思路分析思路分析首先确定点E的始点和终点,进而确定点E的运动轨迹,最后利用直角三角形的性质求得结果.易错警示易错警示本题的关键是确定点E的运动轨迹,错误得出点E的位置变化也就造成了错解.6.(2019云南,20,8分)如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且AOB=2OAD.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若AOB ODC=4 3,求ADO的度数.解析解析(1)证明:AO=
32、OC,BO=OD,四边形ABCD是平行四边形.(1分)又AOB=2OAD,AOB是AOD的外角,AOB=OAD+ADO.OAD=ADO.(2分)AO=OD.(3分)又AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD,AC=BD.四边形ABCD是矩形.(4分)(2)设AOB=4x,ODC=3x,则OCD=ODC=3x.(5分)在ODC中,DOC+OCD+ODC=180.4x+3x+3x=180,解得x=18.(6分)ODC=318=54.(7分)ADO=90-ODC=90-54=36.(8分)名师点拨名师点拨(1)对角线相等的平行四边形为矩形.(2)三角形的内角和为180.(3)三角形的一个外
33、角等于与它不相邻的两个内角之和.7.(2020安徽,23,14分)如图1,已知四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,AE=AD.EC与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB.(1)求证:BDEC;(2)若AB=1,求AE的长;(3)如图2,连接AG,求证:EG-DG=AG.2解析解析(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,所以EAF=DAB=90.又AE=AD,AF=AB,所以AEF ADB,所以AEF=ADB.所以GEB+GBE=ADB+ABD=90,即EGB=90,故BDEC.(5分)(2)由矩形性质知AECD,所以AEF=DCE,EAF=CDF,所以AEF
34、DCF,所以=,即AEDF=AFDC.设AE=AD=a(a0),则有a(a-1)=1,化简得a2-a-1=0.解得a=或(舍),所以AE的长为.(10分)(3)证法一:如图1,在线段EG上取点P,使得EP=DG.在AEP与ADG中,AE=AD,AEP=ADG,EP=DG,所以AEP ADG,所以AP=AG,EAP=DAG.所以PAG=PAD+DAG=PAD+EAP=DAE=90,所以PAG为等腰直角三角形.AEDCAFDF1521-52152于是EG-DG=EG-EP=PG=AG.(14分)证法二:如图2,过点A作AG的垂线,与DB的延长线交于点Q.在AEG与ADQ中,AE=AD,AEG=AD
35、Q,EAG=90+DAG=DAQ,2所以AEG ADQ,所以EG=DQ,AG=AQ,所以AGQ为等腰直角三角形.于是EG-DG=DQ-DG=QG=AG.(14分)2思路分析思路分析(1)先利用SAS证明AEF ADB,再利用互余性质得出EGB=90,问题解决;(2)先根据矩形性质可证AEFDCF,得到AEDF=AFDC,再设AE=AD=a(a0),则DF=a-1,解方程即可;(3)两种证法:在线段EG上截取线段EP=DG,然后证明AEP ADG(SAS),得到AP=AG,EAP=DAG,再证PAG=90,利用等腰直角三角形的性质得出结论;作AQAG交DB的延长线于点Q,然后利用(1)的结论及已
36、知证明AEG ADQ,得到EG=DQ,AG=AQ,再由等腰直角三角形的性质得出结论.难点突破难点突破解决第(3)问的突破口是构造AEP ADG(或AEG ADQ),将问题转化为求证PG=AG(或QG=AG),体现了转化与化归的思想.22考点二菱形1.(2019贵州贵阳,4,3分)如图,菱形ABCD的周长是4cm,ABC=60,那么这个菱形的对角线AC的长是()A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm答案答案A由已知及菱形四条边都相等可知AB=BC=1cm,因为ABC=60,所以三角形ABC为等边三角形,所以AC=AB=1cm,故选A.2.(2020宁夏,5,3分)如图,菱形ABCD的边长为13
37、,对角线AC=24,点E、F分别是边CD、BC的中点,连接EF并延长与AB的延长线相交于点G,则EG=()A.13B.10C.12D.5答案答案B连接BD交AC于点O.在菱形ABCD中,ACBD,且OC=OA=12,在RtDOC中,OD=5,BD=10.又E、F分别是CD、BC的中点,EF=BD=5.易得EFC GFB,EF=FG,EG=10.22-DC OC2213-12123.(2018河南,10,3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿ADB以1cm/s的速度匀速运动到点B.图2是点F运动时,FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()图1 图2A.B.2
38、C.D.25525答案答案C如图,作DEBC于点E,在菱形ABCD中,当F在AD上时,y=BCDE,即a=aDE,DE=2.由题意知DB=,在RtDEB中,BE=1,EC=a-1.在RtDEC中,DE2+EC2=DC2,22+(a-1)2=a2.1212522-DB DE解得a=.故选C.52思路分析思路分析当点F在AD上运动时,y不变,值为a,可求得菱形BC边上的高为2,由点F在BD上运动的时间为s,得出BD的长,由勾股定理可求a的值.5解后反思解后反思本题为菱形中的动点和函数图象问题,关键要根据菱形的各边都相等以及y的意义求出菱形BC边上的高和BD的长,再构造直角三角形,用勾股定理求解.4
39、.(2020陕西,14,3分)如图,在菱形ABCD中,AB=6,B=60,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为.答案答案27解析解析过A作AGBC于G,过E作EHBC于H,则四边形AGHE为矩形,AE=GH=2.在菱形ABCD中,AB=6,B=60,AG=ABsinB=6=3=EH,BG=ABcosB=6=3.HC=BC-BG-GH=6-3-2=1.EF平分菱形ABCD的面积,AE=FC=2.32312FH=FC-CH=2-1=1.在RtEFH中,由勾股定理可得EF=2.22EHFH22(3 3)175.(2019北京,2
40、0,5分)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF.(1)求证:ACEF;(2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O.若BD=4,tanG=,求AO的长.12解析解析(1)证明:四边形ABCD为菱形,AB=AD,AC平分BAD.BE=DF,AE=AF.ACEF.(2)四边形ABCD为菱形,AO=OC,OD=BD,ACBD.EFAC,BDEG.G=BDC.BD=4,OD=2.在RtCOD中,tanCDO=tanG=,可得OC=1.1212AO=1.6.(2020云南,22,9分)如图,四边形ABCD是菱形,点H为对角线AC的中点,点E在
41、AB的延长线上,CEAB,垂足为E,点F在AD的延长线上,CFAD,垂足为F.(1)若BAD=60,求证:四边形CEHF是菱形;(2)若CE=4,ACE的面积为16,求菱形ABCD的面积.解析解析(1)证明:在菱形ABCD中,BAD=60,BAC=30.(1分)CEAB,垂足为E,H为对角线AC的中点,CE=AC=CH,ECH=90-EAC=60.CEH是等边三角形,CE=CH=EH.同理可证CF=CH=FH.(3分)CE=EH=FH=CF,四边形CEHF是菱形.(4分)(2)CE=4,SACE=16,CEAB,垂足为E,AECE=16,解得AE=8.(6分)四边形ABCD是菱形,AB=BC.
42、1212设AB=BC=x,则BE=8-x.由BC2=CE2+BE2,即x2=42+(8-x)2,解得x=5,即AB=5.(8分)SABC=ABCE=54=10,S菱形ABCD=2SABC=20.(9分)1212思路分析思路分析(1)根据菱形的性质和含30角的直角三角形的性质,判定CEH为等边三角形,得CE=CH=EH,进而得出四边形CEHF的四条边都相等;(2)由SACE=CEAE求得边AE的长,在RtBCE中利用勾股定理得BC的长,进而可求得菱形ABCD的面积.12考点三正方形1.(2020天津,8,3分)如图,四边形OBCD是正方形,O,D两点的坐标分别是(0,0),(0,6),点C在第一
43、象限,则点C的坐标是()A.(6,3)B.(3,6)C.(0,6)D.(6,6)答案答案DO(0,0),D(0,6),OD=6.四边形OBCD是正方形,BC=CD=OD=6,CDOD,CBOB,点C的坐标是(6,6),故选D.2.(2019内蒙古包头,11,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E、F分别在边BC和CD上,AE=AF,EAF=60,则CF的长是()A.B.C.-1D.31432323答案答案C如图,连接EF,在正方形ABCD中,AB=AD,B=D=90,又AE=AF,RtABE RtADF,BE=DF,又BC=CD,CE=CF.EAF=60,AEF是等边三角形.设CE=x
44、(0 x1),C=90,EF=x,则AE=x.在RtABE中,12+(1-x)2=(x)2,化简得x2+2x-2=0,解得x=-1或x=-1-(舍),CF=CE=-1.故选C.2223333.(2019甘肃兰州,12,4分)如图,边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直线DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M,则OM=()A.B.C.-1D.-12122232答案答案D连接EM,由折叠性质可知EM=CM,DE=DC=,在正方形ABCD中,AC=DC=2,OC=OD=AC=1,ACBD,EM=CM=1-OM,OE=-1.解法一:在RtEOM中,
45、OM2+OE2=EM2,即OM2+=(1-OM)2,解得OM=-1.解法二:易知DMO=FMC,且DOC=DFC=90,ODM=FCM,又OD=OC,DOM=COE=90,DOM COE,OM=OE=-1,故选D.221222(2-1)224.(2018湖北武汉,14,3分)以正方形ABCD的边AD为三角形的一边作等边ADE,则BEC的度数是.答案答案30或150解析解析当点E在正方形ABCD外时,如图,四边形ABCD为正方形,ADE为等边三角形,AB=AD=AE,BAD=90,AED=DAE=60,BAE=150,AEB=ABE=15,同理可得DCE=DEC=15,则BEC=AED-AEB-
46、DEC=30.当点E在正方形ABCD内时,如图,四边形ABCD为正方形,ADE为等边三角形,AB=AD=AE,BAD=90,AED=DAE=60,BAE=30,AEB=ABE=75,同理可得DCE=DEC=75,则BEC=360-AED-AEB-DEC=150.综上,BEC=30或150.解题关键解题关键熟记正方形的性质、等边三角形的性质并准确作图是解题的关键.易错警示易错警示此题没有给出图形,需按点E的位置分类讨论,容易只画出点E在正方形外的情况而导致漏解.5.(2020河南,14,3分)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC
47、,FD的中点,连接GH,则GH的长度为.2答案答案1解析解析设EC与DF交于O,在正方形ABCD中,CD=BC,B=BCD=90,E,F分别为AB,BC的中点,BE=CF=AB=,CBE DCF,BCE=CDF,CE=DF,ECD+CDF=BCE+ECD=90,DOC=90,又OCF=BCE,COFCBE,=.在RtCEB中,CE=,=,OF=,OC=,HO=HF-OF=DF-OF=CE-OF=,GO=CG-OC=.在RtHOG中,由勾股定理得,HG=1.122CFCEOFBEOCBC22BCBE102102OF2 2OC1052 10512123 1010101022OGOH6.(2020山
48、西,22,12分)综合与实践问题情境:如图,点E为正方形ABCD内一点,AEB=90,将RtABE绕点B按顺时针方向旋转90,得到CBE(点A的对应点为点C).延长AE交CE于点F,连接DE.猜想证明:(1)试判断四边形BEFE的形状,并说明理由;(2)如图,若DA=DE,请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明;解决问题:(3)如图,若AB=15,CF=3,请直接写出DE的长.解析解析(1)四边形BEFE是正方形.(1分)理由:由旋转可知E=AEB=90,(2分)EBE=90.(3分)又AEB+FEB=180,AEB=90,FEB=90.四边形BEFE是矩形.(4分)由旋转可知,BE=BE.
49、四边形BEFE是正方形.(5分)(2)CF=FE.证明:如图,过点D作DHAE,垂足为H,(6分)则DHA=90,1+3=90,DA=DE,AH=AE.(7分)四边形ABCD是正方形,AB=DA,DAB=90.1+2=90.2=3.AEB=DHA=90,AEB DHA.(8分)AH=BE.由(1)知四边形BEFE是正方形,BE=EF.AH=EF.(9分)由旋转可得CE=AE,FE=CE.CF=FE.(10分)(3)3.(12分)详解:由(1)知四边形BEFE是正方形,FE=BE,由旋转得CE=AE,CF=3,BE=FE=AE-3,在RtABE中,AE2+BE2=AB2,即AE2+(AE-3)2
50、=152,解得AE=12或-9(舍),作DHAE于H点,DAH+ADH=DAH+EAB=90,ADH=EAB,又AHD=AEB=90,DAHABE,=1,DH=AE=12,AH=121217DHAEADAB=9,HE=3,DE=3.22-AD DH2215-1222HEDH2231217思路分析思路分析(1)根据旋转先证四边形BEFE是矩形,再由旋转得BE=BE,问题得解;(2)作DHAE于点H,由等腰三角形“三线合一”可得点H为AE的中点,根据四边形ABCD是正方形可证AEB DHA,可得AH=BE,再根据(1)的结论及旋转可证;(3)由(1)可知BE=AE-3,在RtABE中,AE2+BE
