1、第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录性质面积公式判定矩形性质面积公式判定菱形中点四边形正方形性质判定面积公式平行四边形、菱形矩形、正方形之间的关系包含关系转化关系矩形、菱形、正方形第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录考点精讲考点精讲【对接教材】【对接教材】人教人教：八下第十八章八下第十八章P52-P69；北师：北师：九上第一章九上第一章P1-P29.第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录矩形矩形
2、性质性质1.具有平行四边形的所有性质具有平行四边形的所有性质2.四个角都是四个角都是_3.对角线互相平分且对角线互相平分且_4.既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有2条对称轴条对称轴判定判定1.有一个角是有一个角是_的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形2.有三个角是有三个角是_的四边形是矩形的四边形是矩形3.对角线对角线_的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形面积面积公式公式Sab（a，b分别表示矩形的长和宽）分别表示矩形的长和宽）直角直角(90)相等相等直角直角(90)直角直角(90)相等相等第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回思返回思
3、维导图维导图返回返回目录目录菱形菱形性质性质1.具有平行四边形的所有性质具有平行四边形的所有性质2.四条边都四条边都_3.对角线互相对角线互相_且平分，每一条对角线且平分，每一条对角线_一一组对角组对角4.既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有2条对称轴条对称轴判定判定1.有一组邻边有一组邻边_的平行四边形是菱形的平行四边形是菱形2.四条边相等的四边形是菱形四条边相等的四边形是菱形3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形面积面积公式公式S=_(a,b分别表示菱形两条对角线的长分别表示菱形两条对角线的长)相等相等垂直垂直平分平分相
4、等相等12ab第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录正方形正方形性质性质1.既有矩形的性质，又有菱形的性质既有矩形的性质，又有菱形的性质2.四条边都相等四条边都相等3.四个角都是直角四个角都是直角4.对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角5.正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有4条对条对称轴称轴第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录判定判定1.有一组邻边相等的矩形是正方形（北师特有）
5、有一组邻边相等的矩形是正方形（北师特有）2.有一组邻边相等，并且有一个角是有一组邻边相等，并且有一个角是_的平行四边的平行四边形是正方形形是正方形3.有一个角是直角的菱形是正方形（北师特有）有一个角是直角的菱形是正方形（北师特有）4.对角线对角线_的菱形是正方形（北师特有）的菱形是正方形（北师特有）5.对角线互相对角线互相_的矩形是正方形（北师特有）的矩形是正方形（北师特有）6.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形（北师特有对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形（北师特有)面积面积公式公式Sa2(a表示正方形边长表示正方形边长)正方形正方形直角直角(90)相等相等垂直垂直第二节第二节 矩
6、形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录平行四边形、平行四边形、菱形菱形、矩形矩形、正方形之间的正方形之间的关系关系转化关系转化关系包含关系包含关系直角直角(90)相等相等直角直角(90)相等相等第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录中点中点四边四边形形2.常见结论：常见结论：1.定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形点四边形原图形原图形任意四任意四边形边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形对角线对角线相等的相等的四边形四边形对角线对角线
7、垂直的垂直的四边形四边形对角线垂直且对角线垂直且相等的四边形相等的四边形 中点四中点四边形形状边形形状平行四平行四边形边形菱形菱形矩形矩形正方形正方形菱形菱形矩形矩形正方形正方形第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录重难点突破重难点突破一、矩形的性质与判定一、矩形的性质与判定例例1 已知，如图，四边形已知，如图，四边形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O.例1题图图第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录（1）请添加一个条件）请添加一个条件_（写出一个即可），使四边（写出一个即可），使四边形形ABCD为矩形为矩形【判定依据】
8、【判定依据】_；若四边形若四边形ABCD是平行四边形，请添加一个条件是平行四边形，请添加一个条件_（写出一个即可），（写出一个即可），使平行四边形使平行四边形ABCD为矩形，为矩形，【判定依据】【判定依据】_；ABCBCDADC90ACBD或或AOBO或或CODO有三个角是直角的四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；(答案不唯一答案不唯一)对角线相等的平行四边形为矩形；对角线相等的平行四边形为矩形；第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录（2）如图，四边形）如图，四边形ABCD是矩形是矩形.若若AB3，BC4，则，则ABC_，BD_；连接连接AC,BD相交于点相
9、交于点O，若，若AB=2,AOD=120，则则AC的长为的长为_，矩形的面积为，矩形的面积为_；BC=2AB，在，在AD上取一点上取一点P，使，使BP=BC，则，则PCD的度数为的度数为_；（核心考法核心考法）点点Q是直线是直线AD上一点，若上一点，若ACB=ACQ，BC=4,DQ=1，则，则CD的长为的长为_；（核心考法核心考法）点点E,F分别是分别是AD,BC的中点，的中点，G是对角线是对角线AC上的点，若上的点，若AB=3,BC=4,EGF=90，则，则AG的长为的长为_.59044 3152 22 6或或1或或4例1题图图 第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回
10、目录练习练习1（2020贺州）如图，已知贺州）如图，已知ABC中中,AB=AC,AD是是BC边上的中线边上的中线,E、G分别分别是是AC、DC的中点，的中点，F为为DE延长线上的点，延长线上的点，FCACEG.（1）求证：）求证：ADCF;练习1题图练习练习1证明：证明：(1)FCACEG，CFEG.(.(1分分)E、G分别是分别是AC、DC的中点，的中点，EGAD.ADCF；(3分分)第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录（2）求证：四边形）求证：四边形ADCF是矩形是矩形.(2)在在CDF中，中，G是是CD的中点，且的中点，且CFEG.E是是DF的中点的中点(4
11、分分)E是是AC的中点，的中点，AC与与DF互相平分；互相平分；(5分分)四边形四边形ADCF是平行四边形是平行四边形(6分分)ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，ADBC，即，即ADC90，(7分分)四边形四边形ADCF是矩形是矩形(8分分)第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录1.矩形判定的一般思路：首先判定为平行四边形，然后找角或者对角线的关系，矩形判定的一般思路：首先判定为平行四边形，然后找角或者对角线的关系，若角度容易求，则可找其中一角为若角度容易求，则可找其中一角为90，便可判定是矩形；若对角线容易求，则，便可判定是矩形；若对角线容易求，则证明
12、其对角线相等即可得到其为矩形；证明其对角线相等即可得到其为矩形；2.运用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩运用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，可用勾股定理或三角函数求线段的长，又因为矩形对角形分成两个直角三角形，可用勾股定理或三角函数求线段的长，又因为矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形矩形的两条对角线线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，注意用这个结论建立线段或角度的等量关系把矩形分成四个等腰三角形，注意用这个结论建立线段或角度的
13、等量关系满 分 技 法满 分 技 法第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录二、菱形的性质与判定二、菱形的性质与判定例例2 已知，如图，四边形已知，如图，四边形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O.例2题图（1）请添加一个条件）请添加一个条件_（写出一个即可（写出一个即可），使四边形使四边形ABCD为菱形为菱形.使四边形使四边形ABCD为矩形为矩形，【判定依据】【判定依据】_；若四边形若四边形ABCD是平行四边形，请添加一个条件是平行四边形，请添加一个条件_（写出一个即可）使平行四边形（写出一个即可）使平行四边形ABCD为菱形，为菱形，【判定依据】【判
14、定依据】_；ABBCCDAD四条边都相等的四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；(答案不唯一答案不唯一)ACBD角线互相垂直的平行四边形为菱形角线互相垂直的平行四边形为菱形第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录（2）如图，四边形）如图，四边形ABCD是菱形是菱形.若若ABC=110，则，则ACD=_；若菱形若菱形ABCD的周长为的周长为4，BCD=60，那么菱形的，那么菱形的对角线对角线BD的长为的长为_；若若AC=24,BD=10,则菱形则菱形ABCD的周长为的周长为_；若若AB=3,BD=2,则菱形则菱形ABCD的面积为的面积为_；若若 =,则则sinDAB
15、的值为的值为_；(核心考法核心考法)若若BCD=60，AB=6,点点E在在AC上，上，OE=，则，则CE的长为的长为_.ACBD432 3135524 224255 33或或例2题图第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录练习2题图练习练习2（2020连云港）如图连云港）如图,在四边形在四边形ABCD中，中，ADBC，对角线，对角线BD的垂直平分线的垂直平分线与边与边AD、BC分别相交于点分别相交于点M、N.(1)求证求证:四边形四边形BNDM是菱形是菱形;(1)证明：证明：ADBC，CBDADB.MN是对角线是对角线BD的垂直平分线，的垂直平分线，OBOD，MBMD
16、.第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录在在BON和和DOM中，中，BONDOM(ASA)，MDNB，MDNB，四边形四边形BNDM是平行四边形是平行四边形又又MBMD，四边形四边形BNDM是菱形；是菱形；(5分分)NBOMDOOB=ODBONDOM第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录(2)若若BD24，MN=10，求菱形，求菱形BNDM的周长的周长.(2)解：解：四边形四边形BNDM为菱形，为菱形，BD24，MN10.OB BD12，OM MN5.在在RtBOM中，中，BM 13.菱形菱形BNDM的周长的周长4BM41352.(.(1
17、0分分)121222OM+BO225+12第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录1.菱形判定的一般思路：首先判定其是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边菱形判定的一般思路：首先判定其是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等，来判定其是菱形，这是判定菱形最基本的思路，同时也可以考虑其他判定相等，来判定其是菱形，这是判定菱形最基本的思路，同时也可以考虑其他判定方法，如四条边相等或对角线互相垂直平分；方法，如四条边相等或对角线互相垂直平分；2.与菱形有关的计算常涉及下面几种：与菱形有关的计算常涉及下面几种：(1)求长度求长度(线段长或者周长线段长或者周长)时，应注意使用
18、等腰三角形的性质：若菱形中存在一个时，应注意使用等腰三角形的性质：若菱形中存在一个内角为内角为60，则菱形被较短的对角线所割的两个三角形为等边三角形，故在计算，则菱形被较短的对角线所割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上时，可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行计算；的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行计算；(2)求面积时，可利求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线之积的一半进行计算用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角
19、线之积的一半进行计算满 分 技 法满 分 技 法第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录三、正方形的性质与判定三、正方形的性质与判定例例3 如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线为平行四边形，对角线AC，BD相交于点相交于点O.例3题图图（1）若四边形）若四边形ABCD为菱形，请添加一个条件为菱形，请添加一个条件_(写出一个即可写出一个即可)，使菱形，使菱形ABCD为正方形，为正方形，【判定依据】【判定依据】_；若四边形若四边形ABCD是矩形，请添加一个条件是矩形，请添加一个条件_(写出一个即可写出一个即可)，使矩形，使矩形ABCD为正方形，为正
20、方形，【判定依据】【判定依据】_；ACBD对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形ABBC一组邻边相等的矩形是正方形一组邻边相等的矩形是正方形第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录（2）如图，若）如图，若ABCD是正方形，是正方形，AB=1，则，则AC=_；已知已知AC=，正方形，正方形ABCD的面积为的面积为_；(核心考法核心考法)点点E在直线在直线BC上，上，AB=6，tanAEB=_，则则CE的长为；的长为；(核心考法核心考法)以以AD为一边作等边为一边作等边ADP，连接，连接PC，则，则APC的的度数为度数为_.5 22 254或或845或或135例
21、3题图图第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录与正方形有关的计算应注意灵活运用其性质，还有常见的结论，如：边长与对与正方形有关的计算应注意灵活运用其性质，还有常见的结论，如：边长与对角线的长度比为角线的长度比为1 2.另外在几何题中求线段长，一般会用列方程的思想，列方另外在几何题中求线段长，一般会用列方程的思想，列方程的主要依据是：程的主要依据是：(1)勾股定理勾股定理(需要有直角的条件或构造出直角三角形需要有直角的条件或构造出直角三角形)；(2)相相似三角形对应边成比例似三角形对应边成比例(适用于等角较多易证相似的题目适用于等角较多易证相似的题目).满 分 技 法
22、满 分 技 法第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录玩转云南玩转云南8年中考真题年中考真题矩形的相关证明及计算矩形的相关证明及计算（省卷省卷4考考,昆明卷昆明卷3考考）命题点命题点11.第第1题图题图(2016昆明卷昆明卷5题题3分分)如图，如图，E,F,G,H分别是矩形分别是矩形ABCD各边的中点，各边的中点，AB=6,BC=8,则四边形则四边形EFGH的面积是的面积是_.第1题图242.（2020省卷省卷6题题3分分）已如四边形已如四边形ABCD是矩形，是矩形，点点E E是矩形是矩形ABCD的边上的点的边上的点.且且EA=EC.若若AB=6，AC=.=.则则DE
23、的长是的长是_.2 1082 3433或或第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录3.(2019省卷省卷20题题8分分)如图如图,四边形四边形ABCD中中,对角线对角线AC、BD相交于点相交于点O，AO=OC，BO=OD，且，且AOB=2OAD.(1)求证求证:四边形四边形ABCD是矩形是矩形;第3题图(1)证明：证明：AOOC，BOOD，四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形(1分分)又又AOB2OAD，AOB是是AOD的外角，的外角，AOBOADADO.OADADO.(2分分)AOOD.(3分分)又又ACAOOC2AO，BDBOOD2OD，ACBD.四边形四
24、边形ABCD是矩形；是矩形；(4分分)第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录(2)若若AOB ODC=4 3，求，求ADO的度数的度数.(2)解：设解：设AOB4x，ODC3x，则，则OCDODC3x.(.(5分分)在在ODC中，中，DOCOCDCDO180.(.(6分分)4x3x3x180，解得，解得x18.(.(7分分)ODC31854.ADO9090ODC905436.(8.(8分分)第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录4.(2020昆明昆明23题题12分改编分改编)如图如图,在矩形在矩形ABCD中，中，AB=5,BC=8,点点E
25、,F分别为分别为AB,CD的中点的中点.(1)求证求证:四边形四边形AEFD是矩形；是矩形；第4题图(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ABCD，ABCD，A90，点点E，F分别是分别是AB，CD的中点，的中点，AE AB，DF CD，AEDF，AEDF，四边形四边形AEFD是平行四边形，是平行四边形，A90，四边形四边形AEFD是矩形是矩形1212第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录(2)如图，点如图，点P是边是边AD上一点，上一点，BP交交EF于点于点O,点点A关于关于BP的对称点为点的对称点为点M,当点当点M落在线段落在线段EF上时，则有上
26、时，则有OB=OM.请说明理由；请说明理由；第4题图 第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录(2)解：如解图，连接解：如解图，连接OA，AM.点点A关于关于BP的对称点为点的对称点为点M，BP垂直平分垂直平分AM，OAOM.四边形四边形AEFD是矩形，是矩形，EFAB，点点E是是AB的中点，的中点，EF垂直平分垂直平分AB，OAOB，OBOM.第4题解图第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录(3)如图如图,若点若点P是射线是射线AD上一个动点，点上一个动点，点A关于关于BP的对称点为点的对称点为点M,连接连接AM,DM.当当AMD是以是以
27、AD为底的等腰三角形时，求为底的等腰三角形时，求AP的长的长.当当AMD是以是以AD为腰的等腰三角形时，求为腰的等腰三角形时，求AP的长的长.第4题图 第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录第4题解图(3)当当MAMD，且点，且点P在边在边AD上时，上时，如解图，过点如解图，过点M作直线作直线MHAD于点于点H，交，交BC于点于点G，连接，连接PM，BM.ADBC8，AH AD4，BAHABGAHG90，四边形四边形ABGH是矩形，是矩形，BGAH4，HGAB5，BP垂直平分垂直平分AM，BMBA5，APPM.12HG第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方
28、形返回目录返回目录在在RtBGM中，由勾股定理可得：中，由勾股定理可得：MG 3.HM2.设设APPMa，则，则PH4a，在在RtPHM中，由勾股定理可得：中，由勾股定理可得：PH2HM2PM2，即即(4a)222a2，解得，解得a ，AP .22BM-BG225-45252第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录第4题解图(ii)当当AMMD，且点，且点P在边在边AD的延长线上时，的延长线上时，如解图，过点如解图，过点M作作MHAD于点于点H，交，交BC于点于点G，连接连接PM，BM.ADBC8，AH AD4，BAHABGAHG90，四边形四边形ABGH是矩形，是矩
29、形，BGAH4，HGAB5.在在RtBGM中，中，BGM90，BMBA5，12第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录由勾股定理可得：由勾股定理可得：MG 3，HM8.设设APPMa，则，则PHa4，在在RtPHM中，由勾股定理可得：中，由勾股定理可得：PH2HM2P PM2，即即(a4)4)282a2，解得，解得a10.AP10.22BM-BG225-4第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录当以当以AD为腰时，分两种情况为腰时，分两种情况i当当DADM时，如解图，连接时，如解图，连接BM，BABM.BD为为AM的垂直平分线，的垂直平分线，
30、即点即点D为为AM的垂直平分线与射线的垂直平分线与射线AD的交点，的交点，点点A关于关于BP的对称点为点的对称点为点M，点点P为为AM的垂直平分线与射线的垂直平分线与射线AD的交点，的交点，点点D与点与点P重合，重合，APAD8.第4题解图第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录(ii)当当AMAD8时，如解图，设时，如解图，设BP交交AM于点于点Q，连接，连接PM，BM.BP垂直平分垂直平分AM，BABM5，AQ AM AD4，在在RtABQ中，由勾股定理可得：中，由勾股定理可得：BQ 3，ABQPBA，BQABAP90，ABQPBA.，即，即 ，AP .综上所述，
31、综上所述，AP的长为的长为 或或10或或8或或 .第4题解图121222AB-AQ225-4BQBAQAAP354AP20320352第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录5.如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB3，对角线，对角线AC，BD相交于点相交于点O.AE垂直平分垂直平分OB于于点点E，则，则AD的长为的长为()()A.4 B.C.5 D.第5题图 玩转真题玩转真题 拓展训练拓展训练3 35 2B第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录6.如图，矩形如图，矩形ABCD中，连接中，连接AC，延长，延长BC至点至点E，使，使BE
32、AC，连接，连接DE.若若BAC40，则，则E的度数是的度数是()()A A.65 B.60 C.50 D.40第6题图 A第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录菱形的相关证明及计算菱形的相关证明及计算（省卷省卷3考考,昆明卷昆明卷2考考）命题点命题点2类型一类型一 菱形的性质及计算菱形的性质及计算（省卷（省卷2016.18，昆明卷，昆明卷2015.7）第7题图7.第第7题图题图(2015昆明卷昆明卷7题题3分分)如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O,下列结论：下列结论：ACBD；OA=OB；ADB=CDB；ABC是等边三
33、角形，是等边三角形，其中一定成立的是其中一定成立的是()()A.B.C.D.D第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录8.(2016省卷省卷18题题6分分源于人教八下源于人教八下P67第第5题题 )如图，菱形如图，菱形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O，ABCBAD=12，BEAC，CEBD.（1）求）求tanDBC的值；的值；第8题图(1)解：解：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ADBC，DBC ABC.ABCBAD180.又又ABC BAD1 2，ABC 18060.(.(2分分)DBC ABC30.tanDBCtan30 ；(4分分)1212
34、1333第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录（2）求证：四边形）求证：四边形OBEC是矩形是矩形.(2)证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ACBD，即，即BOC90.(.(5分分)BEAC，CEBD，BEOC，CEOB.四边形四边形OBEC是平行四边形是平行四边形又又BOC90，四边形四边形OBEC是矩形是矩形(6分分)第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录(3)若菱形若菱形ABCD的周长是的周长是16,求四边形求四边形OBEC的面积的面积.玩转真题玩转真题 补充设问补充设问(3)解：解：四边形四边形ABCD是菱形，周长是
35、是菱形，周长是16，BC 164，OCOA，OBOD，ACBD.在在RtBOC中，设中，设OCx，tanOBC ，OB x.由由OC2OB2BC2，得，得x2(x)242，解得解得x12，x22(舍去舍去)，则则OCOA2，OBOD2 .S四边形四边形OBECOBOC2 24 .14OCOB3333333第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录类型类型二二 菱形的判定菱形的判定（省卷（省卷2考，昆明卷考，昆明卷2018.23（2）第9题图9.(2014曲靖卷曲靖卷7题题3分分)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，E、F分别是分别是AD、BC的中点，连接的中点，连接
36、AF、BE、CE、DF分别交于点分别交于点M、N，四边形，四边形EMFN是是()A.正方形正方形 B.菱形菱形 C.矩形矩形 D.无法确定无法确定B第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录第10题图10.(2013曲靖卷曲靖卷7题题3分分)如图，在如图，在 ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD相交于点相交于点O，过点，过点O作作EFAC交交BC于点于点E，交，交AD于点于点F，连接，连接AE、CF，则四边形，则四边形AECF是是()()A.梯形梯形 B.矩形矩形 C.菱形菱形 D.正方形正方形C第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录若若
37、AC=BD，且，且AB=4，AD=8，求，求AF的长的长.玩转真题玩转真题 补充设问补充设问解：解：四边形四边形ABCD为平行四边形，且为平行四边形，且ACBD，四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，ABE90.设设AFx，四边形四边形AECF为菱形，为菱形，AEAFECx，ADBC8，BE8x，在在RtABE中，中，AE2AB2BE2，即即x242(8x)2，解得，解得x5，AF5.第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录第11题图11.(2017省卷省卷20题题8分分源于北师九上源于北师九上P27第第8题题)如图，如图，ABC是以是以BC为底的等腰为底的等腰三角形三
38、角形,AD是边是边BC上的高上的高,点点E、F分别是分别是AB、AC的中点的中点,连接连接DE，DF(1)求证：四边形求证：四边形AEDF是菱形；是菱形；(1)证明：证明：AD是等腰是等腰ABC底边底边BC上的高，上的高，AD是是BC边上的中线，即边上的中线，即D是是BC的中点的中点(1分分)点点E、F分别是分别是AB、AC的中点，的中点，DEAF，DFAE.四边形四边形AEDF是平行四边形是平行四边形(2分分)ABC是以是以BC为底的等腰三角形，点为底的等腰三角形，点E、F分别是分别是AB、AC的中点，的中点，AEAF.四边形四边形AEDF是菱形；是菱形；(4分分)第二节第二节 矩形、菱形、
39、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录(2)如果四边形如果四边形AEDF的周长为的周长为12,两条对角线的和等于两条对角线的和等于7，求四边形，求四边形AEDF的面积的面积S.第11题解图(2)解：如解图，连接解：如解图，连接EF.由由(1)知：四边形知：四边形AEDF是菱形是菱形四边形四边形AEDF的周长为的周长为12，菱形菱形AEDF的边长为的边长为3，对角线，对角线AD与与EF互相垂直平分互相垂直平分()()2()()2 9，即即AD2EF236.(.(6分分)S菱形菱形AEDF ，且两条对角线的和等于且两条对角线的和等于7，S .(.(8分分)1342AD2EF224+ADEF2AD
40、 EF2224+(AD EF)ADEF第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录12.（2020咸宁）如图，在咸宁）如图，在 ABCD中，以点中，以点B为圆心，为圆心，BA长为半径画弧，交长为半径画弧，交BC于于点点E,在在AD上截取上截取AF=BE,连接连接EF.（1）求证：四边形）求证：四边形ABEF是菱形；是菱形；全国视野全国视野 创新考法创新考法 第12题图解：解：(1)根据作图过程可知：根据作图过程可知：ABBE，AFBE，四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，AFBE，AFBE，四边形四边形ABEF为平行四边形，为平行四边形，ABBE，平行四边形平
41、行四边形ABEF为菱形；为菱形；第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录（2）请用无刻度的直尺在请用无刻度的直尺在 ABCD内找一点内找一点P，使，使APB90.（标出点（标出点P的位置，的位置，保留作图痕迹，不写作法）保留作图痕迹，不写作法）(2)如解图如解图，点点P即为所作图形即为所作图形，四边形四边形ABEF为菱形，则为菱形，则BFAE，APB90.第12题解图P第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录13.（2020省卷省卷22题题9分分）如图，四边形如图，四边形ABCD是菱形，点是菱形，点H为对角线为对角线AC的中点的中点,点点E在
42、在AB的延长线上，的延长线上，CEAB，垂足为，垂足为E，点，点F在在AD的延长线上，的延长线上，CFAD，垂足为，垂足为F.(1)若若BAD=60，求证：四边形，求证：四边形CEHF是菱形；是菱形；第13题图(1)证明：证明：在菱形在菱形ABCD中，中，BAD60，BAC30.CEAB，垂足为，垂足为E，H为对角线为对角线AC的中点，的中点，CE ACCH，ECH90EAC60.CEH是等边三角形是等边三角形CECHEH.同理可证同理可证CFCHFH.CEEHFHCF.四边形四边形CEHF是菱形；是菱形；12第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录(2)若若CE=4
43、，ACE的面积为的面积为16，求菱形，求菱形ABCD的面积的面积.(2)解：解：CE4，SACE16，CEAB，垂足为，垂足为E，AECE16，解得，解得AE8.四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ABBC.设设ABBCx，则，则BE8x.由由BC2CE2BE2，即，即x242(8x)2，解得解得x5，即，即AB5.S菱形菱形ABCDABCE20.12第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录正方形的相关证明及计算正方形的相关证明及计算（省卷省卷2017.5涉及，昆明卷涉及，昆明卷3考考）命题点命题点3类型一类型一 菱形的性质及计算菱形的性质及计算（省卷（省卷2016.
44、18，昆明卷，昆明卷2015.7）第14题图14.（2016昆明卷昆明卷14题题4分分）如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，AC为对角线，为对角线，E为为AB上一上一点，过点点，过点E作作EFAD，与，与AC、DC分别交于点分别交于点G、F、H为为CG的中点，连接的中点，连接DE、E H、D H、F H.下 列 结 论：下 列 结 论：E G=D F；A E H+A D H=1 8 0 ；EHFDHC；若；若 =,=,则则3SEDH=13SDHC，其中结论正确的有，其中结论正确的有()()A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个23AEABD第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、
45、菱形、正方形返回目录返回目录15.（2013昆明卷昆明卷8题题3分改编分改编）如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，点中，点P是是AB上一动点（不上一动点（不与与A、B重合），对角线重合），对角线AC、BD相交于点相交于点O，过点，过点P分别作分别作AC、BD的垂线，分别的垂线，分别交交 A C、B D 于 点于 点 E、F，交，交 A D、B C 于 点于 点 M、N,连 接连 接 O P.下 列 结 论：下 列 结 论：APEAME;PM+PN=AC;PE2+PF2=PO2；POFBNF;当当PMNAMP时时,点点P是是AB的中点其中正确的结论有的中点其中正确的结论有_.第15题图第二节
46、第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录1.(人教八下人教八下P61习题习题18.2第第11题题)如图，四边形如图，四边形ABCD是菱形，是菱形，AC=8，DB=6，DHAB于点于点H.求求DH的长的长.第1题图教材改编题教材改编题教材母题教材母题1解：解：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ACBD，OAOC AC4，OBOD BD3，AB 5，S菱形菱形ABCD ACBDABDH，DH .1212122456 82 52AC BDAB224+322OA+OB第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录改变条件：改变条件：“知长度知长度”变为变为“知
47、面积知面积”；增加条件连接；增加条件连接OH第2题图母 题 变 式母 题 变 式2.(2020龙东地区龙东地区)如图，菱形如图，菱形ABCD的对角线的对角线AC、BD 相交于点相交于点O,过点过点D作作DHAB于点于点H，连接，连接OH，若，若OA=6，S菱形菱形ABCD=48，则，则OH的长为的长为()()A.4 B.8 C.D.613A第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录强化条件：多一个顶点到对边的垂线强化条件：多一个顶点到对边的垂线第3题图3.（2019百色百色）如图，菱形如图，菱形ABCD中，作中，作BEAD、CFAB，分别交，分别交AD、AB的延的延长线
48、于点长线于点E、F.（1）求证：）求证：AE=BF;(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ABBC，ADBC，ACBF.BEAD，CFAB，AEBBFC90，AEBBFC(AAS)，AEBF；第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录（2）若点若点E恰好是恰好是AD的中点，的中点，AB=2,求求BD的值的值.(2)解：解：E是是AD的中点，且的中点，且BEAD，直线直线BE为为AD的垂直平分线，的垂直平分线，BDAB2.第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录添加条件：连接添加条件：连接OH第4题图对 接 中 考对 接 中 考4
49、.如图，四边形如图，四边形ABCD是菱形，对角线是菱形，对角线AC、BD相交于点相交于点O，DHAB于点于点H,连接连接OH.（1）求证：）求证：OHD=ODH;(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ODOB，ABCD，BDAC.DHAB，DHB90，OH BDOD，OHDODH；12第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录（2）若若OC=4,BD=6,求菱形求菱形ABCD的周长和面积的周长和面积.(2)解：解：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ODOB BD3，OCOA4，BDAC，在在RtOCD中，中，CD 5，菱形菱形ABCD的周长的周长4CD
50、20，菱形菱形ABCD的面积的面积 6824.12224+322OD+OC12第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录5.(人教八下人教八下P68复习题复习题18第第12题题)如图，过如图，过 ABCD的对角线的对角线AC的中点的中点O作两条互作两条互相垂直的直线相垂直的直线,分别交分别交AB,BC,CD,DA于于E,F,G,H四点四点,连接连接EF,FG,GH,HE.试判断四试判断四边形边形EFGH的形状，并说明理由的形状，并说明理由.第5题图教材母题教材母题2第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形返回目录返回目录解：四边形解：四边形EFGH是菱形，理由
