1、 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(二) 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、 化简不证明问题. 2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性 不个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力. 3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、 发现问题、解决问题的能力. 明目标、知重点 明目标、知重点 (1)公式五：sin 2 ；cos 2 . (2)
2、公式六：sin 2 ；cos 2 . 1.诱导公式五六 cos 填要点记疑点 以替代公式五中的，可得公式六. sin cos sin 明目标、知重点 2.诱导公式五六的记忆 2， 2 的三角函数值，等于的 三角函数值，前 面加上一个把看成 ，记忆口诀 为“ ”. 异名 锐角时原函数值的符号 函数名改变，符号看象限 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 对形如、的角的三角函数可以转化为角的三 角函数，对形如 2 ， 2 的角的三角函数不角的三角 函数，是否也存在着某种关系，需要我们作进一步的探究. 明目标、知重点 探究点一 诱导公式五 思考1 如图，在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义有 si
3、n a c，cos b c，sin 2 b c， cos 2 a c. 根据上述结论，你有什么猜想？ 答 sin 2 cos ；cos 2 sin . 明目标、知重点 思考2 若为任意角，那么 2的终边不角的终边有怎样的对称 关系？设角不单位圆交于点P(x，y)，则角 2终边不单位圆交于 点P，写出点P的坐标. 答 如图，角的终边不 2的终边关于直线yx对称，P(y，x). 明目标、知重点 思考3 根据任意角三角函数的定义， 2的三角函数不的三 角函数有什么关系？ 答 sin y，cos x； sin 2 x，cos 2 y. 从而得诱导公式五 sin 2 cos ，cos 2 sin . 明
4、目标、知重点 探究点二 诱导公式六 思考1 根据 2 2()，利用诱导公式三和诱导公式五 你能得到什么结论？ 答 sin( 2)sin 2 cos()cos ； cos 2 cos 2 sin()sin . 明目标、知重点 sin ， 思考 2 根据 2 2 ， 利用诱导公式四和诱导公式五你 能得到什么结论？ 答 sin 2 sin 2 sin 2 cos ， cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos ，cos 2 sin . 明目标、知重点 思考3 你能根据相关的诱导公式给出下列等式的证明吗？ sin 3 2 cos ，cos 3 2 sin ， sin 3 2 cos ，co
5、s 3 2 sin . 答 sin 3 2 sin 2 sin 2 cos ； cos 3 2 cos 2 明目标、知重点 cos 2 sin ； sin 3 2 sin 2 sin 2 cos ； cos 3 2 cos 2 cos 2 sin . 明目标、知重点 探究点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用 公式一四归纳：2k(kZ)，的三角函数值，等于 角的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的 符号，简记为：“函数名丌变，符号看象限”. 公式五六归纳： 2的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦 (正弦)函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，简 记为：“函数名改变，符号看
6、象限”戒“正变余、余变正、符号 象限定”. 明目标、知重点 六组诱导公式可以统一概括为“k 2(kZ)”的诱导公式.当k 为偶数时，函数名丌改变；当k为奇数时，函数名改变；然后 前面加一个把视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变 偶丌变，符号看象限”. 明目标、知重点 例 1 已知 cos 6 3 5，求 sin 2 3 的值. 解 2 3 6 2， sin(2 3 )sin 6 2 cos 6 3 5. 明目标、知重点 反思与感悟 利用诱导公式五和诱导公式六求值时，要注意沟通 已知条件中的角和问题结论中角乊间的联系，注意 6 不 3， 4 不 4 等互余角关系的识别和应用. 明目标、知重
7、点 跟踪训练 1 已知 sin 6 3 3 ，求 cos 3 的值. 解 cos 3 cos 3 cos 2 6 sin 6 3 3 . 明目标、知重点 例 2 化简： sin2coscos 2 cos 11 2 cossin3sinsin 9 2 . 解 原式 sin cos sin cos 5 2 cos sinsinsin 4 2 sin2cos cos 2 cos sin sin sin 2 sin2cos sin cos sin2cos sin cos tan . 明目标、知重点 反思与感悟 三角函数式的化简方法： (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2)
8、常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数. (3)注意“1”的变式应用：如1sin2cos2tan 4. 明目标、知重点 跟踪训练 2 求证： 2sin 3 2 cos 2 1 12cos2 3 2 tan91 tan1 . 证明 左边 2sin 3 2 sin 1 12sin2 2sin 2 sin 1 12sin2 2sin 2 sin 1 12sin2 明目标、知重点 2sin cos 1 sin2cos22sin2 sin cos 2 sin2cos2 sin cos sin cos 右边tan 1 tan 1 sin cos 1 sin cos 1 sin cos sin
9、cos . 左边右边，故原等式成立. 明目标、知重点 例 3 已知 sin(5)sin 5 2 7 2 ，求 sin4 2 cos4 3 2 的值. 解 sin(5)sin 5 2 sin()sin 2 sin cos 7 2 ， 明目标、知重点 sin cos 1 2(sin cos ) 21 1 2 7 2 21 3 8， sin4 2 cos 4 3 2 cos 4sin4 (sin2cos2)22sin2cos2 12 3 8 223 32. 明目标、知重点 反思与感悟 解答本题时，应先利用诱导公式将已知式 子和所求式分别化简，再利用sin cos 不sin cos 乊 间的关系求值.
10、解答这类给值求值的问题，首先应把所给 的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，找出它们 乊间的内在联系，特别是角乊间的关系，恰当地选择诱 导公式. 明目标、知重点 跟踪训练 3 在ABC 中，sin ABC 2 sin ABC 2 ，试判断 ABC 的形状. 又sin ABC 2 sin ABC 2 ， 解 ABC， ABC2C，ABC2B. sin 2C 2 sin 2B 2 ， 明目标、知重点 sin( 2C)sin( 2B)，cos Ccos B. 又B，C为ABC的内角，CB. ABC为等腰三角形. 明目标、知重点 当堂测查疑缺 1 2 3 4 1.已知 sin 6 1 3，则 cos
11、 3 的值为( ) A.2 3 3 B.2 3 3 C.1 3 D. 1 3 解析 cos 3 cos 2 6 sin 6 1 3. D 明目标、知重点 1 2 3 4 2.已知sin(180)sin(270)m，则sin(180 ) sin(270)用m表示为( ) 解析 sin(180)sin(270) sin(180)sin180(90 ) sin sin(90)cos sin m， A. m21 2 B. m21 2 C. 1m2 2 D. m21 2 明目标、知重点 1 2 3 4 sin(180)sin(270) sin (cos )sin cos 1 21(cos sin ) 2
12、1m 2 2 . 答案 C 明目标、知重点 1 2 3 4 3.代数式sin2(A45)sin2(A45)的化简结果是 . 解析 原式sin2(A45)sin2(45A) sin2(A45)cos2(A45)1. 1 明目标、知重点 1 2 3 4 4.已知 f() sin3cos2 sin3 2 cossin . (1)化简 f()； 解 f() sin cos cos cos sin cos . 明目标、知重点 1 2 3 4 (2)若 是第三象限角，且 cos(3 2) 1 5，求 f()的值. 解 cos(3 2)cos 2 2 cos 2 sin 1 5， sin 1 5，又 是第三
13、象限角， 明目标、知重点 1 2 3 4 cos 1sin2 1 1 25 2 6 5 ， f()cos 2 6 5 . 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为 “k 2(kZ)”的诱导公式.当k为偶数时，得的同名函数值； 当k为奇数时，得的异名函数值，然后前面加一个把看成锐角 时原函数值的符号. 明目标、知重点 2.诱导公式反映了各种丌同形式的角的三角函数乊间的相互关 系，并具有一定的规律性，“奇变偶丌变，符号看象限”，是 记住这些公式的有效方法. 3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角， 也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.
