1、专题突破(七)新定义问题类型一点与图形关系类新定义(2017,29/2016,29/2015,29/2013,25)此类问题通常给定一个点和一个图形,将满足一定条件的点定义为这个图形的“某某点”.解决此类问题的关键还是要深入理解“新定义”,明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论,把文字语言转化为符号语言和图形语言,同时注意各种可能的图形分类.图Z7-1B,C图Z7-1图Z7-1图Z7-2 题型精练解:(1)P1,P2图Z7-2图Z7-2图Z7-3图Z7-3解:(1)(2,0)解析如图中,P(0,2),B(1,1),点P关于直线OB的对称点为G(2,0),故答案为(2,0).图Z7-3解:
2、(1)C,D图Z7-3图Z7-3类型二与距离有关的新定义(2020,28/2018,28/2012,25)此类问题通常给定一个有关距离的新定义,解题的关键是深入理解新定义,抓住问题的本质,将问题转化为某类知识,通常情况下是直线和圆的位置关系问题,并注意分类讨论思想和数形结合思想的应用.例2 2018北京28题对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记为d(M,N).已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).(1)求d(点O,ABC).(2)记函数y
3、=kx(-1x1,k0)的图象为图形G.若d(G,ABC)=1,直接写出k的取值范围.(3)T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(T,ABC)=1,直接写出t的取值范围.【分层分析】(1)根据A,B,C三点的坐标作出ABC,利用“闭距离”的定义求解即可;解:(1)如图,可知点O到ABC的最小距离为2,即原点(0,0),(-2,0)(或(0,-2)两点间的距离,故d(点O,ABC)=2.例2 2018北京28题对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记为d(M,
4、N).已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).(2)记函数y=kx(-1x1,k0)的图象为图形G.若d(G,ABC)=1,直接写出k的取值范围.【分层分析】(2)由题意知y=kx在-1x1范围内函数图象为过原点的线段,再分别求得经过(1,-1)和(-1,-1)时k的值,结合函数图象可得k的取值范围;解:(2)如图,直线y=kx(k0)经过原点,在-1x1范围内,函数图象为线段.当y=kx(-1x1,k0)经过(1,-1)时,k=-1,此时,d(G,ABC)=1;当y=kx(-1x1,k0)经过(-1,-1)时,k=1,此时,d(G,ABC)=1.-1k1.又k0,-1k1且k
5、0.例2 2018北京28题对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记为d(M,N).已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).(3)T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(T,ABC)=1,直接写出t的取值范围.【分层分析】(3)分T在ABC的左侧、内部和右侧三种情况,利用“闭距离”的定义逐一判断即可.题型精练1.2019平谷区一模对于平面直角坐标系xOy中的图形P,Q,给出如下定义:M为图形P上任意一点,N为图形Q上任意一点,如果M,N两点间的
6、距离有最小值,那么称这个最小值为图形P,Q间的“非常距离”,记作d(P,Q).已知点A(4,0),B(0,4),连接AB.(1)d(点O,AB)=;(2)O半径为r,若d(O,AB)=0,求r的取值范围;(3)点C(-3,-2),连接AC,BC,T的圆心为T(t,0),半径为2,d(T,ABC),且0d2,求t的取值范围.图Z7-41.2019平谷区一模对于平面直角坐标系xOy中的图形P,Q,给出如下定义:M为图形P上任意一点,N为图形Q上任意一点,如果M,N两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形P,Q间的“非常距离”,记作d(P,Q).已知点A(4,0),B(0,4),连接AB.(2)
7、O半径为r,若d(O,AB)=0,求r的取值范围;图Z7-41.2019平谷区一模对于平面直角坐标系xOy中的图形P,Q,给出如下定义:M为图形P上任意一点,N为图形Q上任意一点,如果M,N两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形P,Q间的“非常距离”,记作d(P,Q).已知点A(4,0),B(0,4),连接AB.(3)点C(-3,-2),连接AC,BC,T的圆心为T(t,0),半径为2,d(T,ABC),且0d2,求t的取值范围.图Z7-4图Z7-5平行P3图Z7-5图Z7-5解:(1)如图,b=2,B(0,2),d(B,O)=2+1=3.类型三与图形有关的新定义(2019,28)此类问
8、题通常给定一个新图形的定义,解决此类问题的关键还是要深入理解“新定义”,明确“新定义”的本质概念,把文字语言转化为符号语言和图形语言,同时注意各种可能的图形分类.对于“弧”相关的定义,要把握的关键点是圆的两个关键要素:圆心和半径.图Z7-6图Z7-6图Z7-6 题型精练1.2020海淀区二模在平面内,对于给定的ABC,如果存在一个半圆或优弧与ABC的两边相切,且该弧上的所有点都在ABC的内部或边上,则称这样的弧为ABC的内切弧.当内切弧的半径最大时,称该内切弧为ABC的完美内切弧(注:弧的半径指该弧所在圆的半径).在平面直角坐标系xOy中,A(8,0),B(0,6).(1)如图Z7-7,在弧G
9、1,弧G2,弧G3中,是OAB的内切弧的是.图Z7-7(2)如图,若弧G为OAB的内切弧,且弧G与边AB,OB相切,求弧G的半径的最大值.(3)如图,动点M(m,3),连接OM,AM.直接写出OAM的完美内切弧的半径的最大值;记中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T.点P为弧T上的一个动点,过点P作x轴的垂线,分别交x轴和直线AB于点D,E,点F为线段PE的中点,直接写出线段DF长度的取值范围.图Z7-7解:(1)弧G3,弧G2.1.2020海淀区二模在平面内,对于给定的ABC,如果存在一个半圆或优弧与ABC的两边相切,且该弧上的所有点都在ABC的内部或边上,则称这样的弧为ABC的内切弧.当内切
10、弧的半径最大时,称该内切弧为ABC的完美内切弧(注:弧的半径指该弧所在圆的半径).在平面直角坐标系xOy中,A(8,0),B(0,6).(2)如图,若弧G为OAB的内切弧,且弧G与边AB,OB相切,求弧G的半径的最大值.图Z7-7解：(2)如图,弧G与边AB,OB相切,弧G所在圆的圆心在ABO的平分线上,易知若弧G的半径最大,则弧G所在圆的圆心I在AOB的边OA上,设弧G与边AB,OB相切,且分别切于点M,O,连接BI,IM,IMAB.BOI=BMI=90,IBO=IBM,BI=BI,IBO IBM(AAS),BM=BO=6,OI=IM,1.2020海淀区二模在平面内,对于给定的ABC,如果存
11、在一个半圆或优弧与ABC的两边相切,且该弧上的所有点都在ABC的内部或边上,则称这样的弧为ABC的内切弧.当内切弧的半径最大时,称该内切弧为ABC的完美内切弧(注:弧的半径指该弧所在圆的半径).在平面直角坐标系xOy中,A(8,0),B(0,6).(3)如图,动点M(m,3),连接OM,AM.直接写出OAM的完美内切弧的半径的最大值;图Z7-71.2020海淀区二模在平面内,对于给定的ABC,如果存在一个半圆或优弧与ABC的两边相切,且该弧上的所有点都在ABC的内部或边上,则称这样的弧为ABC的内切弧.当内切弧的半径最大时,称该内切弧为ABC的完美内切弧(注:弧的半径指该弧所在圆的半径).在平
12、面直角坐标系xOy中,A(8,0),B(0,6).图Z7-7(3)如图,动点M(m,3),连接OM,AM.记中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T.点P为弧T上的一个动点,过点P作x轴的垂线,分别交x轴和直线AB于点D,E,点F为线段PE的中点,直接写出线段DF长度的取值范围.图Z7-7图Z7-8图Z7-8图Z7-8图Z7-8图Z7-8解：(3)0AOM30类型四其他类型图Z7-9解：(1)B,C,D解析如图,在坐标系中描出各点,观察图象可知:BCD=90,在A,B,C,D四个点中能够围成“黄金角”的点是B,C,D.故答案为B,C,D.图Z7-9图Z7-9图Z7-10解:(1)如图中,过点D作T的切线,切点分别为B,C,连接OB,OC,则BDC即为点D(0,2)对T的视角.D(0,2),OD=2.DB,DC是T的切线,DBOB,DCOC,ODB=ODC.OD=2OC,ODC=ODB=30,=BDC=60.图Z7-10图Z7-10
