1、 中考二轮总复习数学专题六运动型问题 所谓“运动型问题”是指：在图形中，当某一个元素如点、线或面在运动变化时，问题的结论随之改变或保持不变，它是用运动变化的观点，创设一个由静止的定态到按某一规则运动的动态情景.题型呈现点动型线动型面动型几何图形中的动点问题单（或双）点运动函数图象中的动点问题直线（线段、射线）或曲线（抛物线、双曲线）旋转、平移、翻折三角形、四边形、圆等平面图形平移、旋转、翻折提分技巧审清题意，明确研究对象.明确运动过程，抓住关键时刻的动点，如起点、终点.将运动元素看作静止元素，画草图，运用不等式或函数知识解决问题.解题策略动中窥定变中求静以静制动必要时，多作出几个符合条件的草图
2、是解决问题的最好办法！观察、分析、归纳、推理 关心“不变量”从中探求本质、规律、方法常用思想求特殊位置关系或数值（特殊化）转化求变量之间的关系（一般化）建模分类讨论数形结合方程不等式函数常用方法特殊探路，一般推证动手实践，操作确认建立联系，计算说明考点1 点动问题 关于点（单点或双点）运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图.解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量，用含未知数的代数式去表示所需的线段，根据题意中隐含的条件借助相似等方式构造方程或函数表达式.【例】如图1，在RtABC中，C90，AC2，BC的长为常数，点P从起点C出发，沿CB向终点B运动，设
3、点P所走过的路程CP的长为x，APB的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（）C解析 设BC=a（a为常数为常数），则BP=a-x即y=-x+a2对应训练对应训练1.如图，RtABC中，ACB=90，ABC=60，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的 速度从点A出发，沿着A B A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0 t6），连接DE，当 BDE是直角三角形时，t的值为（）A.2 B.2.5或3.5 C.3.5或4.5 D.2或3.5或4.5解析 Et=2 1=2EEt=61=6EA B B ABE=BD 2=0.5路程4-0.5=3.5t=3.5 1=3.
4、5路程2路程4+0.5=4.5t=4.5 1=4.5路程4+2=6D2.如图，在ABC中，ACB=90，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发,以2cm/s的 速度沿折线A C B A运动，设运动时间为t秒（t 0）.（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；解：解析 P取AB的中点O，过点O作AB的垂线与AC的交点即为点P.（唯一）O根据题意可知AP=2t（cm），ACB=90，AB=5cm，BC=3cm在ABC中，若PA=PB，则PB=2t（cm）则PC=AC-AP=4-2t（cm）在RtPCB中，（4-2t）2+32=（2t）2PC2+BC2=PB22t2t5cm3
5、cm4cm4-2t在整个运动过程中，点P与点O重合时，也能满足PA=PB.t=（4+3+2.5）2=4.75（2）若点P恰好在BAC的平分线上，求t的值；NM2t-47-2t5cm3cm4cm2t-4P（P）4cm1cmQD解析 以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、点N，再分别以点M、点N为圆心，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点Q，作射线AQ，与CB的交点就是要求的点P.特殊地，P与A重合时也符合.（两个）解：作BAC的平分线交CB于点P，此时CP=2t-4，PB=7-2t过点P作PD AB于点DAP平分BAC，C=90，PD AB PD=CP=2t-4又AP=AP
6、 RtACP RtADP（HL）AD=AC=4cmBD=AB-AC=5-4=1cm在RtPDB中，（2t-4）2+12=（7-2t）2PD2+BD2=PB2也可以用相似知识或三角函数知识求解.当点P运动到终点，即与点A重合时，点P也在 BAC的平分线上.此时t=（4+3+5）2=6（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，BCP为等腰三角形.5cm3cm4cm解析 当CB=CP时，以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点P1 、点P2；解：P1P2P3P4 当BC=BP时，以点B为圆心，CB长为半径画弧，交AB 于点P3 ；当PC=PB时，分别以点C、点B为圆心，大于 长为半径
7、画弧，交 于两点，再过这两点作直线，这条直线就是CB的垂直平分线.它与AB的交点为点P4.P13cm1cmt=1 2=0.5（s）路程1cmP2路程4+3+3.6=10.6cmt=10.6 2=5.3（s）P3路程4+3+3=10cmt=10 2=5（s）过点C作CH AB于点HHBH=BC53=1.8cmP4路程4+3+2.5=9.5cmt=9.5 2=4.75（s）当当t=0.5或或4.75或或5或或5.3时，时，BCP为等腰三角形为等腰三角形.考点2 线动问题 此类题绝大多数是在一个运动变化过程中，某些直线或线段保持一种未知关系不变，如垂直、平行，而一些线段的长度发生变化.这类问题通常用
8、直角三角形、全等形、相似形等知识建立线段之间的数量关系，从而解决问题.先抓运动时的关键点，以点带线.少量的是抛物线、双曲线等函数图象经过平移、旋转、翻折保持图象大小、形状不变，位置发生改变；难度较大的是含参数的抛物线，a值不变，图象形状、大小不变，但是参数数值变化改变图象位置.【例】如图，已知RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的 速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的 速度从A B C的方向运动，它们到C点都停止运动，设点P、Q的运动时间为t秒.（1）在运动过程中，请你用t表示P、Q两点间的距离，并求出P、Q两点间的距离的最大值；解：分两种情况考虑.当Q在AB边
9、上时，过Q作QEAC，交AC于点E，连接PQE2tt8610C=90QEBCABCAQE在RtABC中，根据勾股定理得：AB=10AQ=2t，AP=t在RtPQE中，根据勾股定理得：这种情况下，当Q与B重合时，PQ的值最大.即当t=5时，PQ最大值为 当Q在BC边上时，连接PQPQ1086t2t根据勾股定理得：CQ=10+6-2t=16-2t，PC=8-t这种情况下，也是当Q与B重合时，PQ的值最大.即当t=5时，PQ最大值为综上所述，当t=5时，PQ最大值为（2）经过t秒的运动，求ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式E2tt8610综上所述，经过t秒的运动，ABC被直线PQ扫过的
10、面积S与时间t的函数关系式为当Q在AB边上时，如图1，ABC被直线PQ扫过的面积为SAQP解：分两种情况考虑.当Q在BC边上时，ABC被直线PQ扫过的面积为S四边形ABQPPQ1086t2tS=SABC-SPQC以点带线（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（224，结果保留一位小数）E2tt8610PQ当Q在AB边上时，解：分两种情况考虑.由（1）可知PC=8-t由勾股定理得.若PQ=PC，则PQ2=PC2，即.若CQ=CP，则CQ2=CP2，即.若QP=QC，则QP2=QC2，即PQ1086t2t当Q在BC边上时，
11、若PQC为等腰三角形，只能是CP=CQ而根据题意可知P、Q两点同时到达点C，点Q的速度又是点P的两倍，2 CP=CQ 这种情况不存在综上所述，若PQC为等腰三角形，则1.如图，直线 分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线 与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）（1）求点C的坐标；以点带线解：对应训练对应训练解：（2）当0t5时，求S与t之间的函数关系式，并求S
12、的最大值；A点的坐标为(8,0)令y=0，解得x=8AE=t OE=8-t根据题意可知xE=xP=xQ=8-ttttt=0t=5当MN落在AD上时，PQ=AE即10-2t=tttS=t(10-2t)=-2t2+10tS=(10-2t)2=4t2-40t+100且a=-2 0且a=4 0时，在t=5左侧S随t增大而减小（3）当t0时，直接写出点 在正方形PQMN内部时t的取值范围不等式法 当当0t5时，时，当当t 5时，时，解：当t=5时，P、Q、C三点重合；特殊值法 当当0t5时，时，当当t5时，时，解：当当t=5时，时，P、Q、C三点重合；三点重合；知OE=4时是临界条件，即8-t=4即t=
13、4点Q的纵坐标为5 ，点 在正方形边界PQ上，E继续往左移动，但点Q的纵坐标在减少，则点 进入正方形内部，当Q点的纵坐标为 时，Q点的横坐标为OE=8-t=即t=，此时OE+PN=+（10-2t）=4满足条件，由图和条件知，则有E（8-t，0），PQ=2t-10要满足点 在正方形的内部，则临界条件N点横坐标为4，即PQ+OE=（2t-10）+（8-t）=t-2=4 即t=6，此时Q点的纵坐标为 ,满足条件需2在平面直角坐标系中，点A（0，a）、B（b，0）且a|b|（1）若a、b满足a2+b2-4a-2b+5=0 求a、b的值；a2+b2-4a-2b+5=0解：a2-4a+4+b2-2b+1=
14、0（a-2）2+（b-1）2=0又（a-2）2 0，（b-1）2 0（a-2）2=0且（b-1）2=0 a=2且b=1如图1，在的条件下，将点B在x轴上平移，且b满足：0b2；在第一象限内以AB为斜边作 等腰RtABC，请用b表示S四边形AOBC，并写出解答过程2bA（0，2），B（b，0）ABC是等腰直角三角形S四边形AOBC=SAOB+SABC（2）若将线段AB沿x轴向正方向移动a个单位得到线段DE（D对应A，E对应B）,连接DO，作EFDO于F，连接AF、BF 如图2，判断AF与BF的关系并说明理由；（2）结论：FA=FB，FAFB理由如下：如图，连接ADaba AB沿x轴向正方向平移a
15、个单位得到DE且A（0,a）OA=BE=AD=a ,AD BE，OAD=90DOE=AOD=45EFODOFE=90，FOE=FEO=45a454545AOD=45FO=EF,AOF=BEFFA=FB，AFO=BFE AFBFAOFBEF（SAS）AFB=OFE=90AFO+OFB=BFE+OFB若BF=OA-OB，则OAF=（直接写出结果）60解析 AOFBEFOAF=EBFabaa454545H?过点F作FHx轴于点HFOE为等腰直角三角形又 BF=OA-OB=a-bBFH=30FBH=90-30=60OAF=EBF=603如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对
16、角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值是 .N解析 点B、点D关于正方形ABCD的对角线AC对称 连接BM，交AC于点N，连接DN 在此处DN+MN的值最小，最小值就是BM的长.1345考点3 面动问题 图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等.解答这类问题，应注意到图形在运动过程中，对应线段、对应角保持不变.也是要先抓运动时的关键点，以点带线，以线带面.其中 以三角形、四边形的运动是最常见的一种题型.【例】如图，RtABC中，C90，BAC30，AB8，以 为边长的正方形DEFG的一边CD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿AB的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B
17、重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数图象大致是（）A.B.C.D.308H4668A.B.C.D.308H46BAC30C90 AB8正方形DEFG的边长为沿AB的方向以每秒1个单位的速度匀速运动对应训练对应训练1.锐角ABC中，BC=6，SABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MNBC，以MN 为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与ABC公共部分的面积为y（y0）.（1）ABC中边BC上高AD=_；解析 AD=44（2）当x=_时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；（1）（2）当PQ恰好落在边BC上时，
18、设AD与MN交于点EE MN BCA MN ABCAD是ABC中边BC上高ADB=90ADB=AEM=90即AE为AMN中边MN上的高 MN BC解得x=2.42.4（3）当PQ在ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值 时y最大，最大值是多少？当PQ在ABC外部时，设AD与MN交于点E，BC分别交MP、NQ于点G、H MN BCA MN ABCAD是ABC中边BC上高ADB=90ADB=AEM=90即AE为AMN中边MN上的高 MN BCx=3时，y最大，最大值是6.解：GHE 2.如图，平面直角坐标系中，RtABC中，ACB=90，CAB=30，直
19、角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=，经过O，C两点做抛物线 y1=ax(x-t)（a为常数，a0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k0）（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A ，k=；（2）随着三角板的滑动，当a=1时：请你验证：抛物线y1=ax(x-t)的顶点在函数 y=-x2的图象上；当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值.解：（2）a=1时，y1=x2-tx代入y=-x2中，即当a=1时，抛物线y1=ax(x-t)的顶点在函数 y=-x2的图象上.F 过点E作EF CB于点F，则EFB=90 E为AB的中点 AC
20、B=90 AC EF F为CB的中点E F为ACB的中位线ABC中，ACB=90，CAB=30，AC=BC=2 OF=t+1代入抛物线y1=x(x-t)中t30y2=kxy1=ax(x-t)2对应训练对应训练初中数学它不难，代数几何不用烦。初中数学它不难，代数几何不用烦。模型解题不能乱，只需三步记心间。模型解题不能乱，只需三步记心间。第一步，抓题型；第一步，抓题型；（找出该题的特征和特定条件）（找出该题的特征和特定条件）第二步，套题型；第二步，套题型；（套用符合该题特征的对应模型）（套用符合该题特征的对应模型）第三步，出结果第三步，出结果.（按模型轨道步骤，准确计算，快速出果（按模型轨道步骤，准确计算，快速出果.）做一题、学一法；做一题、学一法；会一类、通一片会一类、通一片.学有道，行天下；学有道，行天下；行有恒，天不负行有恒，天不负.
