1、专题六专题六在图形运动中探究在图形运动中探究专题六专题六命题者说-2-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究命题者说“形”动,这里包括点动、线动和形动,而初中阶段一定是以点动问题为最重要.形动,则一定会引起图形中其他部分的形状、大小和位置发生变化,研究这些变化规律,就形成数学问题.形动产生的数学问题有时会和函数知识相联系,如2016年安徽数学中考第22题、2018年安徽数学中考第10题等就是和二次函数知识相联系;有时也会和点的轨迹等知识相联系,如2016、2017年安徽数学中考的第10题以及2018年安徽数学中考第14题都是和点的轨迹(弧和直线 )相联系.有关与函数知识相联系的问题我
2、们将在本书专题八函数图象,建模解题中具体解决,这里只是点到为止.专题六专题六命题者说-3-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究典例精析类型1类型2“形”动“脑”动,函数解题典例1如图,已知正方形ABCD的边长为4,点P是AB边上的一个动点,连接CP,过点P作PC的垂线交AD于点E,以PE为边作正方形PEFG,顶点G在线段PC上,对角线EG,PF相交于点O.在点P从点A到点B的运动过程中,APE的外接圆的圆心也随之运动,求该圆心到AB边的距离的最大值.专题六专题六命题者说-4-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究典例精析类型1类型2【解析】由题意可得EP为RtAPE的外接
3、圆的直径,PE的中点M即为圆心,过点M作MNAB于点N,MNAE,由MNAE可得成比例线段,从而得到MN关于其他线段的函数关系式,利用二次函数的最大值可求MN的最大值.专题六专题六命题者说-5-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究典例精析类型1类型2【名师点拨】(1 )本题的关键在于当点P在AB边上移动时,虽然APE的外接圆的圆心M也随之运动,但MNP和PBC一直保持相似,在动中找到MNPPBC这个规律性的结论,得到 .再设NP=x,MN=y,得到y与x的函数关系式,利用函数知识解答.注意经历“图形运动图形规律函数式问题解决”这个过程,感悟用“函数”解“图形”这种方法.(2 )“形
4、”动不仅可以得到二次函数,还可以得到一次函数和反比例函数,这类问题在本书专题二用“数”解“形”中已有详细解读,这里不再赘述.专题六专题六命题者说-6-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究典例精析类型1类型2“形”动“脑”动,轨迹解题典例2(2018安徽第14题 )矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为.专题六专题六命题者说-7-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究典例精析类型1类型2【解析】本题中找到满足条件的点P,E很关键,而其中点P尤为关键.APD是等腰三角形,即PA=PD或
5、DP=DA或PA=AD.当PA=PD时,则点P在AD的垂直平分线MN上(设直线MN与AD,BC两边的交点为M,N ),又点P在矩形的内部,点P在线段MN上,当满足PBEDBC时,且点E在边BC上,点E与N重合,则PE为BDC的中位线(如图1 ),即PE=3;当DP=DA时,即点P在以D为圆心,DA为半径的圆弧上,又点P在矩形的内部,且PBEDBC,即可得PBE(如图2 ),这时点P在线段BD上,且DP=DA=8,PEBC,由PBEDBC,可得 ;当PA=AD时,即点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧上,又点P在矩形的内部,如图3,易得PBEDBC,即PBEDBC不可能成立,综上,PE的长为3或
6、.专题六专题六命题者说-8-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究典例精析类型1类型2命题拓展命题拓展考向一考向一利用点动成直线解题利用点动成直线解题有关点的运动轨迹还有很多,如本书专题四利用图形变换添加辅助线中的典例2直线l也是点的轨迹.考向二考向二利用点动前后保持图形相似的特征解题利用点动前后保持图形相似的特征解题(2018合肥包河区一模 )如图,在ABC中,已知AB=AC=6,BC=8,P是BC边上一动点(P不与点B,C重合 ),Q是AC上另一动点(Q不与点A,C重合 ),运动时始终保持APQ=B.当APQ为等腰三角形时,则PB的长为.【解析】当AP=PQ时,易得ABP PCQ
7、,PC=AB=6,即PB=2;当AQ=PQ时,易得ABCPAC,PC=4.5,即PB=3.5;当AQ=AP时,则AQP=APQ=C,此时P与B重合,不合题意.综上,PB的长为2或3.5.2或3.5 专题六专题六命题者说-9-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究针对训练12345678910111.如图,在ABC中,BC=8,AB=,B=45,直线l从A向BC平行移动,分别与AB,AC交于M,N,设MN=x,点M到BC的距离为y,则y关于x的函数图象的大致形状是()B专题六专题六命题者说-10-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究针对训练12345678910112.如图
8、,AOB为等边三角形,且边长为定长,C为射线BA上一个动点,连接OC,以OC为边作等边三角形COD,设OA为x,点D到射线BO的距离为y,当x增大时,y值()A.不变 B.增大C.减小 D.不确定【解析】过点D作DEBO于点E,过点O作OMAB于点M,B,O,E在同一条直线上,AOC+DOE=180-60-60=60,AOC+ACO=60,ACO=DOE,易证OCM DOE,B专题六专题六命题者说-11-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究针对训练12345678910113.如图,在AOB的一边OA上截取线段OC=2,P,Q分别是另一边的两个动点,运动中时刻保持OCP=OQC,记
9、OP=x,OQ=y,则y关于x的函数图象大致是()D专题六专题六命题者说-12-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究针对训练1234567891011BA.1B.2C.3D.4【解析】直线满足条件,则以D为圆心,为半径作圆,那么直线是圆D的切线.直线满足条件有两种情况:一是直线与AC平行,这时与圆D相切的直线有两条(如图所示 );二是直线经过AC的中点O,这时直线与圆D相交,不可能相切,故这样的直线不存在.综上可知,满足条件的直线共有两条.专题六专题六命题者说-13-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究针对训练12345678910115.如图,在正方形ABCD中,AB
10、=3 cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动,同时动点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2 cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设AMN的面积为y(cm2 ),运动时间为x(秒 ),则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是()A专题六专题六命题者说-14-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究针对训练1234567891011专题六专题六命题者说-15-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究针对训练12345678910116.如图,在ABC中,C=90,AC=3,BC=4,点D,E分别在AC,BC上移动(点D,E均不与ABC的顶点重合 ),移动
11、时保持DEC=A,设CD=x,DE=y.则y关于x的函数关系式为.专题六专题六命题者说-16-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究针对训练12345678910117.等腰ABC中,顶角A为40,P为ABC所在的平面上一动点(点P与点A在BC所在直线的同侧 ),P到A的距离等于BC,且BP=BA,则PBC的度数为.30或110 专题六专题六命题者说-17-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究针对训练12345678910118.(2018广州节选 )设P(x,0 )是x轴上的一个动点,它与原点的距离为y1.求y1关于x的函数解析式,并画出这个函数的图象.解:P(x,0
12、)与原点的距离为y1,当x0时,y1=OP=x,当x0时,y1=OP=-x,y1关于x的函数解析式为即为y=|x|,函数图象如图所示.专题六专题六命题者说-18-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究针对训练12345678910119.如图,在四边形ABCD中,B=60,D=30,AB=BC.(1 )求A+C的度数;(2 )连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;(3 )若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.专题六专题六命题者说-19-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究针对训练1234567
13、891011解:(1 )在四边形ABCD中,B=60,D=30,A+C=360-B-D=360-60-30=270.(2 )如图1,将BCD绕点B逆时针旋转60,得到BAQ,连接DQ,BD=BQ,DBQ=60,BDQ是等边三角形,BD=DQ,BAD+C=270,BAD+BAQ=270,DAQ=360-270=90,DAQ是直角三角形,AD2+AQ2=DQ2,即AD2+CD2=BD2.专题六专题六命题者说-20-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究针对训练1234567891011(3 )如图2,将BCE绕点B逆时针旋转60到BAF,连接EF,BE=BF,EBF=60,BEF是等边三
14、角形,EF=BE,BFE=60,AE2=BE2+CE2,AE2=EF2+AF2,AFE=90,BFA=BFE+AFE=60+90=150,BEC=150,动点E在四边形ABCD内部运动,满足BEC=150,以BC为边向下作等边OBC,专题六专题六命题者说-21-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究针对训练123456789101110.如图,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象经过x轴上的两点A(4,0 ),B(-2,0 ),与y轴交于C点.(1 )直接写出C点的坐标.(2 )求此二次函数的表达式.(3 )连接AC,BC,P是线段AB上的一个动点(P不与A,B重合 ),过点P作P
15、DAC,交BC于点D,连接CP.当P在什么位置时,PCD的面积取最大值?求出这个最大值.专题六专题六命题者说-22-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究针对训练1234567891011专题六专题六命题者说-23-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探究针对训练123456789101111.已知P为正方形ABCD内一点.(1 )如图1,点E在AD边上,若PA=PC=PE,延长EP与AB的延长线交于点F.求证:PE=PF;求EPC的度数;(2 )如图2,若PB=1,PC=2,PD=3,求BPC的度数.专题六专题六命题者说-24-典例精析针对训练在图形运动中探究在图形运动中探
16、究针对训练1234567891011解:(1 )过点P作PMAE于点M,PA=PE,AM=ME,PMAB,PE=PF.连接BP并延长,PA=PC,易得ABP CBP,ABP=CBP=45,BP的延长线一定经过D点,BAP=BCP,DPC=DPA,PMAE,PA=PE,PM平分APE,EPM=APM=BAP,EPC=DPC+DPE=2DPC-2APM=2(45+BCP )-2BAP=90.(2 )如图2,过点C作CQCP,并截取CQ=CP,连接PQ,BQ,易得PCQ为等腰直角三角形,CPQ=45,PQ=,易证DCP BCQ,BQ=PD=3,PB=1,PB2+PQ2=BQ2,BPQ=90,即BPC=90+45=135.
