1、专题九传统数学文化1.1.主要类型主要类型:(1)(1)以科技或民间艺术为题材以科技或民间艺术为题材;(2)(2)以数学名著为题材以数学名著为题材;(3)(3)以数学名人为题材以数学名人为题材.2.2.规律方法规律方法:(1)(1)数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言,以及它们的形成和发展以及它们的形成和发展.在近几年的中考中在近几年的中考中,以数学文化为载体的数学题越来越多以数学文化为载体的数学题越来越多,只要平时注意积累和只要平时注意积累和了解这方面的常识了解这方面的常识,解题时注意审题解题时注意审题,实现载体与考点的有效转化实现载体与考
2、点的有效转化,透过现象看透过现象看本质本质,问题便可迎刃而解问题便可迎刃而解;(2)(2)此类问题涉及古代数学名著中关于数学计算的典型事例分析或者典型问题此类问题涉及古代数学名著中关于数学计算的典型事例分析或者典型问题展示展示,也会涉及古代著名数学家提出的相关问题也会涉及古代著名数学家提出的相关问题,首先理解问题内容首先理解问题内容,再转化为再转化为数学语言进行解答即可数学语言进行解答即可,一般难度不大一般难度不大.3.3.渗透的思想渗透的思想:转化思想转化思想.类型一以科技或民间艺术为题材类型一以科技或民间艺术为题材【典例探究【典例探究】【典例【典例1 1】(2020(2020扬州中考扬州中
3、考)“)“致中和致中和,天地位焉天地位焉,万物育焉万物育焉.”.”对称美是我国古对称美是我国古人和谐平衡思想的体现人和谐平衡思想的体现,常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上,使对称之美惊艳了千年的时光使对称之美惊艳了千年的时光.在下列与扬州有关的标识或简图中在下列与扬州有关的标识或简图中,不是轴对称不是轴对称图形的是图形的是()C C【规律方法【规律方法】中心对称图形绕着某个点旋转中心对称图形绕着某个点旋转180180后与自身重合后与自身重合;轴对称图形沿轴对称图形沿着某条直线进行对折着某条直线进行对折,直线两旁的部分能够完全重合直线两旁
4、的部分能够完全重合.【题组过关【题组过关】1.(20201.(2020徐州中考徐州中考)下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形,又是中心对称又是中心对称图形的是图形的是()C C2.(20202.(2020齐齐哈尔中考齐齐哈尔中考)下面四个化学仪器示意图中下面四个化学仪器示意图中,是轴对称图形的是轴对称图形的是是()D D类型二以数学名著为题材类型二以数学名著为题材 【典例探究【典例探究】【典例【典例2 2】(2020(2020宁波中考宁波中考)我国古代数学名著我国古代数学名著孙子算经孙子算经中记载中记载:“:“今有木今有木,不知长短不知长短,引绳度之引绳度之
5、,余绳四尺五寸余绳四尺五寸;屈绳量之屈绳量之,不足一尺不足一尺,木长几何木长几何?”?”意思是意思是:用一根绳子去量一根木条用一根绳子去量一根木条,绳子还剩余绳子还剩余4.54.5尺尺;将绳子对折再量木条将绳子对折再量木条,木条剩余木条剩余1 1尺尺,问木条长多少尺问木条长多少尺?如果设木条长如果设木条长x x尺尺,绳子长绳子长y y尺尺,那么可列方程组为那么可列方程组为()A Ayx4.5yx4.5yx4.5yx4.5A.B.C.D.0.5yx1y2x10.5yx1y2x1【思路点拨【思路点拨】直接利用直接利用“绳长绳长=木条长木条长+4.5;+4.5;绳长绳长=木条长木条长-1”-1”分别
6、得出等式分别得出等式即可得出答案即可得出答案.12【规律方法【规律方法】由实际问题抽象出二元一次方程由实际问题抽象出二元一次方程(组组),),找准等量关系找准等量关系,正确列出二正确列出二元一次方程组是解题的关键元一次方程组是解题的关键.【题组过关【题组过关】1.(20201.(2020临沂中考临沂中考)孙子算经孙子算经是中国古代重要的数学著作是中国古代重要的数学著作,成书大约在一成书大约在一千五百年前千五百年前,其中一道题其中一道题,原文是原文是:“:“今三人共车今三人共车,两车空两车空;二人共车二人共车,九人步九人步.问问人与车各几何人与车各几何?”?”意思是意思是:现有若干人和车现有若干
7、人和车,若每辆车乘坐若每辆车乘坐3 3人人,则空余两辆车则空余两辆车;若若每辆车乘坐每辆车乘坐2 2人人,则有则有9 9人步行人步行.问人与车各多少问人与车各多少?设有设有x x人人,y,y辆车辆车,可列方程组为可列方程组为 ()B Bxxxxy2y2y2y23333A.B.C.D.xx9x9x9yyy9y22222.(20202.(2020襄阳中考襄阳中考)我国古代数学名著我国古代数学名著孙子算经孙子算经中记载了一道题中记载了一道题,大意大意是是:100:100匹马恰好拉了匹马恰好拉了100100片瓦片瓦,已知已知3 3匹小马能拉匹小马能拉1 1片瓦片瓦,1,1匹大马能拉匹大马能拉3 3片瓦
8、片瓦,求求小马小马,大马各有多少匹大马各有多少匹.若设小马有若设小马有x x匹匹,大马有大马有y y匹匹,则下列方程组中正确的是则下列方程组中正确的是 ()C Cxy100 xy100 xy100 xy100A.B.C.D.11y3xx3yx3y100y3x100333.(20203.(2020岳阳中考岳阳中考)我国古代数学名著我国古代数学名著九章算术九章算术上有这样一个问题上有这样一个问题:“:“今今有醇酒一斗有醇酒一斗,直钱五十直钱五十;行酒一斗行酒一斗,直钱一十直钱一十.今将钱三十今将钱三十,得酒二斗得酒二斗.问醇、行酒问醇、行酒各得几何各得几何?”?”其大意是其大意是:今有醇酒今有醇酒
9、(优质酒优质酒)1)1斗斗,价值价值5050钱钱;行酒行酒(劣质酒劣质酒)1)1斗斗,价价值值1010钱钱.现用现用3030钱钱,买得买得2 2斗酒斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少问醇酒、行酒各能买得多少?设醇酒为设醇酒为x x斗斗,行酒行酒为为y y斗斗,根据题意根据题意,可列方程组为可列方程组为_._.xy250 x10y304.(20194.(2019张家界中考张家界中考)田亩比类乘除捷法田亩比类乘除捷法是我国古代数学家杨辉的著作是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题其中有一个数学问题:“:“直田积八百六十四步直田积八百六十四步,只云长阔共六十步只云长阔共六十步,问长多阔几问长多阔
10、几何何”.意思是意思是:一块矩形田地的面积为一块矩形田地的面积为864864平方步平方步,只知道它的长与宽共只知道它的长与宽共6060步步,问问它的长比宽多多少步它的长比宽多多少步?根据题意得根据题意得,长比宽多长比宽多_步步.12125.(20175.(2017安徽中考安徽中考)九章算术九章算术中有一道阐述中有一道阐述“盈不足术盈不足术”的问题的问题,原文如原文如下下:今有人共买物今有人共买物,人出八人出八,盈三盈三;人出七人出七,不足四不足四.问人数问人数,物价各几何物价各几何?译文为译文为:现有一些人共同买一个物品现有一些人共同买一个物品,每人出每人出8 8元元,还盈余还盈余3 3元元;
11、每人出每人出7 7元元,则还差则还差4 4元元,问共有多少人问共有多少人?这个物品的价格是多少这个物品的价格是多少?请解答上述问题请解答上述问题.【解析【解析】设共有设共有x x人人,根据题意可列方程为根据题意可列方程为8x-3=7x+4.8x-3=7x+4.解得解得x=7,x=7,8x-3=53(8x-3=53(元元).).答答:共有共有7 7人人,这个物品的价格是这个物品的价格是5353元元.类型三以数学名人为题材类型三以数学名人为题材【典例探究【典例探究】【典例【典例3 3】(2020(2020泰安中考泰安中考)如表被称为如表被称为“杨辉三角杨辉三角”或或“贾宪三角贾宪三角”.其规律其规
12、律是是:从第三行起从第三行起,每行两端的数都是每行两端的数都是“1”,1”,其余各数都等于该数其余各数都等于该数“两肩两肩”上的数上的数之和之和.表中两平行线之间的一列数表中两平行线之间的一列数:1,3,6,10,15,:1,3,6,10,15,我们把第一个数记为我们把第一个数记为a a1 1,第第二个数记为二个数记为a a2 2,第三个数记为第三个数记为a a3 3,第第n n个数记为个数记为a an n,则则a a4 4+a+a200200=_.=_.20 11020 110【思路点拨【思路点拨】观察观察“杨辉三角杨辉三角”可知第可知第n n个数个数a an n=(1+2+=(1+2+n)
13、=n(n+1),+n)=n(n+1),依此求依此求出出a a4 4,a,a200200,再相加即可求解再相加即可求解.12【题组过关【题组过关】1.(20191.(2019郴州中考郴州中考)我国古代数学家刘徽将勾股形我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股古人称直角三角形为勾股形形)分割成一个正方形和两对全等的三角形分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示如图所示,已知已知A=90A=90,BD=4,BD=4,CF=6,CF=6,则正方形则正方形ADOFADOF的边长是的边长是()A.B.2 C.D.4A.B.2 C.D.4B B232.(20202.(2020自贡中考自贡中考)
14、我国著名数学家华罗庚说过我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观数缺形时少直观,形少数时形少数时难入微难入微”,数形结合是解决数学问题的重要思想方法数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如例如,代数式代数式|x-2|x-2|的几何的几何意义是数轴上意义是数轴上x x所对应的点与所对应的点与2 2所对应的点之间的距离所对应的点之间的距离:因为因为|x+1|=|x-(-1)|,|x+1|=|x-(-1)|,所所以以|x+1|x+1|的几何意义就是数轴上的几何意义就是数轴上x x所对应的点与所对应的点与-1-1所对应的点之间的距离所对应的点之间的距离.(1)(1)发现问题发现问题:代数式代数式|x
15、+1|+|x-2|x+1|+|x-2|的最小值是多少的最小值是多少?(2)(2)探究问题探究问题:如图如图,点点A,B,PA,B,P分别表示数分别表示数-1,2,x,AB=3.-1,2,x,AB=3.|x+1|+|x-2|x+1|+|x-2|的几何意义是线段的几何意义是线段PAPA与与PBPB的长度之和的长度之和,当点当点P P在线段在线段ABAB上时上时,PA+PB=3,PA+PB=3,当点当点P P在点在点A A的左侧或点的左侧或点B B的右侧时的右侧时,PA+PB3.,PA+PB3.|x+1|+|x-2|x+1|+|x-2|的最小值是的最小值是3.3.(3)(3)解决问题解决问题:|x-
16、4|+|x+2|x-4|+|x+2|的最小值是的最小值是;利用上述思想方法解不等式利用上述思想方法解不等式:|x+3|+|x-1|4;:|x+3|+|x-1|4;当当a a为何值时为何值时,代数式代数式|x+a|+|x-3|x+a|+|x-3|的最小值是的最小值是2.2.【解析【解析】解决问题解决问题:|x-4|+|x+2|x-4|+|x+2|的最小值是的最小值是6.6.答案答案:6 6如图所示如图所示,满足满足|x+3|+|x-1|4|x+3|+|x-1|4的的x x的范围为的范围为x-3x1.x1.设设A A表示表示-a,B-a,B表示表示3,P3,P表示表示x,x,则线段则线段ABAB为
17、为|-a-3|,|-a-3|,则则|x+a|+|x-3|x+a|+|x-3|的几何意义表示为的几何意义表示为PA+PB,PA+PB,|-a-3|=2,a+3=2|-a-3|=2,a+3=2或或a+3=-2,a+3=-2,a=-1a=-1或或a=-5.a=-5.3.(20193.(2019山西中考山西中考)阅读以下材料阅读以下材料,并按要求完成相应的任务并按要求完成相应的任务:莱昂哈德莱昂哈德欧拉欧拉(LeonhardEu(LeonhardEul lerer)是瑞士数学家是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理命名的重要常数、公式和定理,下面就
18、是欧拉发现的一个定理下面就是欧拉发现的一个定理:在在ABCABC中中,R,R和和r r分别为外接圆和内切圆的半径分别为外接圆和内切圆的半径,O,O和和I I分别为其外心和内心分别为其外心和内心,则则OIOI2 2=R=R2 2-2Rr.-2Rr.如图如图1,1,O O和和I I分别是分别是ABCABC的外接圆和内切圆的外接圆和内切圆,I I与与ABAB相切于点相切于点F,F,设设O O的半的半径为径为R,R,I I的半径为的半径为r,r,外心外心O(O(三角形三边垂直平分线的交点三角形三边垂直平分线的交点)与内心与内心I(I(三角形三三角形三条角平分线的交点条角平分线的交点)之间的距离之间的距
19、离OI=d,OI=d,则有则有d d2 2=R=R2 2-2Rr.-2Rr.下面是该定理的证明过程下面是该定理的证明过程(部分部分):):延长延长AIAI交交O O于点于点D,D,过点过点I I作作O O的直径的直径MN,MN,连接连接DM,AN.DM,AN.D=N,DMI=NAI(D=N,DMI=NAI(同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等).).MDIMDIANI.ANI.IAIAID=IMID=IMIN,IN,IMIDIAIN，如图如图2,2,在图在图1(1(隐去隐去MD,AN)MD,AN)的基础上作的基础上作O O的直径的直径DE,DE,连接连接BE,BD,BI,IF.BE,BD,
20、BI,IF.DEDE是是O O的直径的直径,所以所以DBE=90DBE=90.I I与与ABAB相切于点相切于点F,F,所以所以AFI=90AFI=90,DBE=IFA.DBE=IFA.BAD=E(BAD=E(同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等),),AIFAIFEDB,EDB,IAIABD=DEBD=DEIF,IF,IAIF.DEBD任务任务:(1):(1)观察发现观察发现:IM=R+d,IN:IM=R+d,IN=(用含用含R,dR,d的代数式表示的代数式表示););(2)(2)请判断请判断BDBD和和IDID的数量关系的数量关系,并说明理由并说明理由.(3)(3)请观察式子请观察式子
21、和式子和式子,并利用任务并利用任务(1),(2)(1),(2)的结论的结论,按照上面的证明思路按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分完成该定理证明的剩余部分;(4)(4)应用应用:若若ABCABC的外接圆的半径为的外接圆的半径为5 cm,5 cm,内切圆的半径为内切圆的半径为2 cm,2 cm,则则ABCABC的外心的外心与内心之间的距离为与内心之间的距离为cm.cm.【解析【解析】(1)O,I,N(1)O,I,N三点共线三点共线,OI+IN=ON,OI+IN=ON,IN=ON-OI=R-d;IN=ON-OI=R-d;答案答案:R-dR-d(2)BD=ID.(2)BD=ID.理由如下理由
22、如下:如图如图3,3,过点过点I I作作O O的直径的直径MN,MN,连接连接AIAI交交O O于于D,D,连接连接MD,BI,BD,MD,BI,BD,点点I I是是ABCABC的内心的内心,BAD=CAD,CBI=ABI.,BAD=CAD,CBI=ABI.DBC=CAD,BID=BAD+ABI,DBI=DBC+CBI,BID=DBI,BDDBC=CAD,BID=BAD+ABI,DBI=DBC+CBI,BID=DBI,BD=ID.=ID.(3)(3)由由(2)(2)知知:BD=ID,IA:BD=ID,IAID=DEID=DEIF,IF,DEDEIF=IMIF=IMIN,2RIN,2Rr=(R+d)(R-d),r=(R+d)(R-d),RR2 2-d-d2 2=2Rr,=2Rr,dd2 2=R=R2 2-2Rr.-2Rr.(4)(4)由由(3)(3)知知:d:d2 2=R=R2 2-2Rr;-2Rr;将将R=5,r=2,R=5,r=2,代入得代入得d d2 2=5=52 2-2-25 52=5,2=5,d0,d=.d0,d=.答案答案:55
