1、理科数学 第 1 页 共 6 页 2020 届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4） 理 科 数 学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 6 页 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上考生要认真核对答题 卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号非选择题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在 答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答案无效 3考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 一、选择题：本大题共 12 小题，每小
2、题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1设集合 |ln0Axx， |1Bx x ，则AB R I = A | 11xx B. |01xx C. | 11xx D. |1x x 2设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 3 3a ， 7 13a ，则 9 S A36 B70 C72 D144 3干支是天干（甲、乙、癸）和地支（子、丑、亥）的合 称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法如图是查找公历某年所 对应干支的程序框图例如公元 1988 年，即输入1988N ，执行 该程序框图，运行相应的程序，输出5x ，从干支表中查出对应 的干支为戊辰我国古代杰出数学家祖冲之出
3、生于公元429年， 则该年所对应的干支为 A. 己巳 B. 庚午 C. 壬戌 D. 癸亥 4 51 12x x 的展开式中， 3 x的系数是 A50 B30 C50 D30 开始 输入 N 是 否 1ii 输出 x 60x 结束 1i 360*xNi 六十干支表（部分） 5 6 7 戊辰 己巳 庚午 58 59 60 辛酉 壬戌 癸亥 理科数学 第 2 页 共 6 页 5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A B9 C12 D36 6已知,0 2 ，且3sin2cos21，则cos A0 B 1 2 C 3 2 D0或 3 2 7在复平面内O为坐标原点，复数 1 i( 3i)z ，
4、1 2 3i z z 对应的 点分别为 1 Z， 2 Z，则 12 Z OZ的大小为 A 5 12 B 1 2 C 7 12 D 11 12 8函数( )ln0f xaxx ()a R恒成立的一个充分不必要条件是 A 1 , e a B0,a C1,a D(,ea 9已知O为坐标原点，AB是 :C 22 (3)(4)1xy的直径若点Q满足 2OQ ，则 QA QB的最小值为 A2 B3 C8 D15 10方程 22 :2(1)(3)ee xx xxy 的曲线有下列说法： 该曲线关于2x =对称； 该曲线关于点(2, 1) 对称； 该曲线不经过第三象限；该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数 其
5、中正确的是 A B C D 11如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形， 且平面ABCD与平面EFBD互相垂直若多面体ABCDEF 的体积为 16 3 ，则该多面体外接球表面积的最小值为 A16 B12 C8 D6 12双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，O为坐标原点P为 曲线C右支上的点，点M在 12 F PF外角平分线上，且 2 0F M PM uuuu v uuuv 若 2 OFM恰为 顶角为120o的等腰三角形，则该双曲线的离心率为 A2 3 B 4 3 3 C2 D3 E D C B A F 4 正视图 侧视图 3
6、 3 俯视图 理科数学 第 3 页 共 6 页 54n m6533 6 5 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13若抛物线经过点 1 1, 2 ，(2,2)，则该抛物线的标准方程为_ 14 记 n S为 正 项 数 列 n a的 前n项 和 ， 2 12nnn aaa 若 1 1a ， 3 7S ， 则 5 a _ 15宁德市中学生篮球比赛中，右图为某球队8场比赛得分的茎叶 图，其中有两个数字不慎被墨迹污染（分别用 ,m n标注）.目前得 知这组数据的平均值为58，则方差 2 S最大时m n 的值为_ 16 已知函数 1 2 ,0, ( ) ,0. 2 1 x x ex f x
7、x x x 若关于x的不等式 2( ) 2( )20fxaf xa的解集非空， 且 为有限集，则实数a的取值集合为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须做答第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12分） 如图， 在平面四边形ABCD中，ABBC，3 3AB ，3CD ， 1 cos 7 BDC ， 3 C . （1）求sinDBC； （2）求AD的长. 理科数学 第 4 页 共 6 页 18 （12分） 如图，在棱柱ABCDA B C D中，底面ABCD为平行
8、四边形，4,DDCD 2AD , 3 BAD ,且D在底面上的投影H恰为CD的中点. （1）过D H作与BC垂直的平面，交棱BC于点N，试确定点N的位置，并说明理由； （2）若点P满足DPDC ，试求的值，使二面角PBHA为 3 4 . 19 （12分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ， 12 ,F F分别为椭圆的左、右焦点，点 P为椭圆C上的一动点， 12 PFF面积的最大值为 2. （1）求椭圆C的方程； （2）直线 2 PF与椭圆C的另一个交点为Q，点 2 2,0A，证明：直线PA与直线QA关 于x轴对称. 20 （12分） 已知函数 2 (
9、)ln(1) 2 a f xxxax（aR） （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）求证： 32 2 6 (1ln )235 0 1 xxxx x 理科数学 第 5 页 共 6 页 21 （12分） 某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通（年 卡） 为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了 2019 年到本市景区 旅游的 1000 个游客的年旅游消费支出（单位：百元） ，并制成如下频率分布直方图： 由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分 布 2 ( ,3.2 )N，其中近似为样本平均数x（同一组数据用该组区
10、间的中点值作代表）. (1) 若 2019 年到本市景区旅游游客为 500 万人，试估计 2019 年有多少游客在本市的年 旅游消费支出不低于 1820元； (2) 现依次抽取n个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A表示“连续 3 人的旅游消费支出超出”若 n P表示A的概率， 123 1 (3, , 4 nnnn PaPPbPna b 为常数） ，且1 210 PPP. （i）求 3 P， 4 P及a，b； （ii）判断并证明数列 n P 从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义 (参考数据：()0.6826PX ， (22 )0.9544PX ， (33 )0.99
11、73)PX 理科数学 第 6 页 共 6 页 (二二)选考题：共选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的题中任选一题做答，如果多做，则按所做的 第一题记分第一题记分 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 cos , sin x y 为参数以坐标原点O为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为1, 2 ，直线l的极坐标方 程为cos2 sin80 (1)求A的直角坐标和 l 的直角坐标方程； (2)把曲线 1 C上各点的横坐标伸长为原来的2倍， 纵坐标伸长为原来的3倍， 得
12、到曲线 2 C，B为 2 C上动点，求AB中点P到直线l距离的最小值 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数( )1,f xxmxm N. 若存在实数x使得( )3f x 成立. (1)求m的值； (2)若 ,0 ， 411m ，求 的最小值. 理科数学 第 7 页 共 6 页 2020 年宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4） 数学（理科）参考答案及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的 评分细则 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的
13、内容和难度，可视影响的 程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部 分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分分，满分 60 分分 1B 2C 3A 4D 5A 6A 7B 8C 9C 10D 11B 12D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 2 2xy 1416
14、 15 16 1,3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换 等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、 函数与方程思想等满分 12 分 解：（1） 因为 1 cos 7 BDC ， 22 sincos1BDCBDC ， 所以 4 3 sin 7 BDC .2 分 在BDC中，, 3 CDBCCBDC =， 所以sin sin()DBCBDCC3 分 sincoscossinBDCCBDCC4 分 4 3 1133
15、3 727214 . 5 分 （2）在BDC中，由正弦定理得 sinsin CDBD DBCC ，6 分 即 3 3 33 142 BD ，解得7BD .8 分 因为 2 ABDDBC ， 3 3 sin 14 DBC， 理科数学 第 8 页 共 6 页 所以cosABD 3 3 14 ，9 分 在ABD中，3 3AB ，根据余弦定理， 222 2cosADABBDAB BDABD10 分 22 3 3 (3 3)72 3 3 749 14 解得7AD 12 分 18本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基 础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力
16、，考查化归与转化思想等满 分 12 分 解： 解法一： （1）当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，1 分 下面给出证明. 分别连结NH，ND. 在HNC中， 22 2cos3 3 NHNCCHNC CH 所以 222 HCNCHN，因此 2 HNC ，即NHBC，2 分 因为D在底面上的投影H恰为CD的中点， 所以D H平面ABCD， 又BC 平面ABCD，所以DHBC，3 分 又NHBC，DHNHH，,DH NH平面DHN, 所以BC 平面DHN, 因此，点N即为所求，平面DHN即为.5 分 （2）证明：由题（1）知可得HNBC,/HNDB,/ADBC， 所以ADBD,6 分 AB C D
17、 H AB C D N 理科数学 第 9 页 共 6 页 分别以,DA DB为, x y轴的正方向，以过D点垂直于平面ABCD的方向为z轴，建立空 间直角坐标系Dxyz， 2 3HD，(0,0,0)D，( 1, 3,0)H ，(0,2 3,0)B，( 1, 3,2 3)D ，( 2,2 3,0)C ， ( 3,3 3,2 3)C ，.7 分 所以 ( 2,2 3,0)( 2 ,2 3 ,0)DPDC 易得平面AHB的一个法向量为(0,0,1)m .8 分 (1, 3,0),(0,0,2 3)HB HD ， ( 2 ,2 3 ,2 3)HPHDDP 设( , , )nx y z为平面PBH的一个
18、法向量，则： 0 0 n HB n HP ，即得 30 22 32 30 xy xyz ， 令3x ，得( 3, 1,2 )n，.10 分 因为二面角PBHA为 3 4 ，所以 3 |cos,| |cos| 4 m n ，即 |2 | | |2 m n mn ， 所以 2 |2|2 2 44 ，又因为二面角PBHA的大小为钝角，故112 分 解法二： （1）当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，.1 分 下面给出证明. 分别连结NH，ND，BH. 因为D在底面上的投影H恰为CD的中点，所以D H平面ABCD， 又BC 平面ABCD，所以DHBC2 分 z y x D C BA H D C BA
19、 N 理科数学 第 10 页 共 6 页 在HBC中，2, 3 HCBCHCB ,故HBC为等边三角形， 又点N为棱BC的中点，所以NHBC，.3 分 又DHBC，DHNHH，,DH NH平面DHN, 所以BC 平面DHN, 因此，点N即为所求，平面DHN即为5 分 （2）证明：连结HA， 在平行四边形ABCD中， 因为 2 2, 33 ADDHHCBCHCBADH , 所以, 63 DHABHC ，故 2 AHB ，即HAHB,6 分 分别以,HA HB HD为, ,x y z轴的正方向建立空间直角坐标系Hxyz， 2 3HD，(0,0,0)H，(2 3,0,0)A，(0,2,0)B，(0,
20、0,2 3) D ，( 2 3,2,2 3)C ， ( 2 3,2,0)( 2 3 ,2 ,0)DPDC 7 分 易得平面AHB的一个法向量为(0,0,1)m 8 分 设( , , )nx y z为平面PBH的一个法向量，则： 0 0 n HB n HP ，即 20 2 322 30 y xyz ， 令1x ，得(1,0, )n，9 分 因为二面角PBHA为 3 4 ， 所以 3 |cos,| |cos| 4 m n ，即 |2 | | |2 m n mn ， 所以 2 |2 2 1 ，又因为二面角PBHA的大小为钝角，解得1.12 分 AB C D H AB C D x y z N 理科数学
21、 第 11 页 共 6 页 （其他正确建系方法酌情相应给分） 19本题主要考查直线椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推 理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题 的能力，满分 12 分 解： （1）因为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ， 所以 2 2 c e a ，即 22 2ca，又 222 abc，所以bc， 1 分 因为 12 MFF面积的最大值为 2，所以 1 22 2 c b，即2c b， 又因为bc，所以2bc， 2 4a ， 3 分 故椭圆C的方程为 22 1 42 xy . 4 分 （
22、2）由（1）得 2( 2,0) F， 当直线l的斜率为0时，符合题意， 5 分 当直线l的斜率不为0时， 设直线l的方程为2xty，代入 22 1 42 xy 消去x整理得： 6 分 22 (2)2 220tyty，易得 222 (2 2 )8(2)16160ttt ，7 分 设 1122 ( ,), (,)P x yQ xy，则 12 2 12 2 2 2 2 2 2 t yy t y y t ， 8 分 记直线,PA QA的斜率分别为, PAQA kk，则 12121212 121212 22 12 22() 2 22 222(2)(2) 44 () 22 0 (2)(2) PAQA yy
23、yyty yyy kk xxtytytyty tt tt tyty 11 分 所以 PAQA kk ，因此直线PA与直线QA关于x轴对称 12 分 理科数学 第 12 页 共 6 页 20本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能 力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思 想等满分 12 分 解:（1）定义域为(0, )， 2 1(1)1(1)(1) ( )(1) axaxaxx fxaxa xxx .1 分 当0a 时，10ax ， 所以函数 ( )f x的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)； 2 分 当0a 时
24、，令 ( )0fx ，得1x 或 1 x a ，3 分 当1a 时， 2 (1) ( )0 x fx x 恒成立， 所以函数 ( )f x的单调递增区间为(0,)，无减区间；4 分 当1a 时， 1 01 a ， 所以函数 ( )f x的单调递增区间为 1 0, a 和(1, )，单调递减区间为 1 ,1 a ；5 分 当01a时，1 1 a ， 所以函数 ( )f x的单调递增区间为0,1和 1 , a ，单调递减区间为 1 1, a 6 分 综上所述，当0a 时，函数 ( )f x的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)； 当 1a 时，函数 ( )f x 的单调递增区间为(0, )
25、 ，无减区间； 当1a 时，函数 ( )f x的单调递增区间为 1 0, a 和(1, )，单调递减区间为 1 ,1 a ； 当01a时， 函数 ( )f x的单调递增区间为0,1和 1 , a ， 单调递减区间为 1 1, a (2)设 32 ( )6 (1ln )235h xxxxx， 22 ( )666ln666(ln)h xxxxxxx ，7 分 理科数学 第 13 页 共 6 页 由（1）可知，当2a 时， 2 ( )lnf xxxx， 且 ( )f x的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)， 所以 ( )h x 的单调递增区间为(1, )，递减区间为(0,1)，8 分 故
26、( )(1)0h xh ，所以 ( )h x 在(0, ) 上单调递增. 9 分 又(1) 6(1ln1)2350h ， 所以当01x时， ( )0h x ，1x 时， ( )0h x ；10 分 又当01x时， 2 10x ，1x 时， 2 10x ，11 分 所以 32 2 6 (1ln )237 0 1 xxxx x 12 分 21本小题主要考查频率分布直方图、平均数、正态分布、随机事件的概率、数列及其性 质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、统 计思想、化归与转化思想满分 12 分 解：（1）直方图可得 0.012540.05 80.1375 12
27、0.375 160.12520411.8x 2 分 11.8x，3.2，218.2旅游费用支出不低于1820元的概率为 1(22 )10.9544 (2 )0.0228 22 Px P x ， 3 分 5000.02211.4， 估计2019年有11.4万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元 4 分 （2） （i） 3 17 1 88 P ，5 分 4 2113 1 1616 P ，6 分 所以 3210 4321 1 , 4 1 , 4 PaPPbP PaPPbP 即 71 , 84 1371 , 1684 ab ab 7 分 解得 1 , 2 1. 8 a b 8 分 理科数学 第
28、 14 页 共 6 页 （i）数列 n P 从第三项起单调递减. 9 分 123 111 (3) 248 nnnn PPPPn ， 故 1nn PP 12123 111111 248248 nnnnnn PPPPPP 123 1111 2488 nnnn PPPP 123123 1 111111 2 248488 nnnnnn PPPPPP 3 1 16 n P 又0 n P ，所以 3 1 0 16 n P ，10 分 即从第三项起数列 n P单调递减. 由此，可知随着抽查人数n的增加，事件“不连续 3 人的旅游费用支出超出”的可能性会 越来越小. (即最终会出现连续 3 人的旅游费用支出超
29、出这一事件).12 分 22选修44；坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用，意在考查考生综合运用 知识和运算求解能力 满分 10 分 （1）因为点A的极坐标为1, 2 ，直线l的极坐标方程为cos2 sin80， 由 cos sin x y ，2 分 得点A的直角坐标为0,1， 3 分 直线l的直角坐标方程为280xy 4 分 解法一： （2）设( , )B x y，则由条件知点( ,) 23 xy 在曲线 1 C上，所以6 分 cos 2 sin 3 x y ，即 2cos 3sin x y ，7 分 又因为P为AB中点，所以 3sin1 cos , 2 P
30、，8 分 理科数学 第 15 页 共 6 页 则点P到直线l距离为 72sin cos3sin7 6 55 ，9 分 当sin1 6 时，72sin 6 取得最小值5，故AB中点P到直线l距离的最小值 为510 分 解法二： （2）设( , )B x y，则由条件知点( ,) 23 xy 在曲线 1 C上，6 分 cos 2 sin 3 x y ，即 2cos 3sin x y ，7 分 则点A到直线l的距离为 0286 55 ，8 分 点B到直线l距离为 84sin 2cos2 3sin8 6 55 ， 当sin1 6 时，84sin 6 取得最小值4， 故点B到直线l距离的最小值为 4 5
31、 ，9 分 又因为点P为AB中点，则点P到直线l距离的最小值为510 分 23选修4 5：不等式选讲 本小题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、 推理论证能力，考查化归与转化思想等 满分 10 分 解法一： （1）存在实数x使得 3f x 成立等价于存在实数x使得12xmx成立， 而111xmxxmxm，2 分 故存在实数x使得 3f x 成立等价于13m，3 分 解得42m ，4 分 又因为 * mN，则1m 5 分 理科数学 第 16 页 共 6 页 （2）由（1）得1m ，故4111， 所以 1 1 41 ， 6 分 由 ,0 ， 故 14 10 4141 ， 所以 1 4 ，1， 7 分 11151159 12 41441444144 ， 9 分 当且仅当 33 , 42 时取最小值 9 4 .10 分 解法二： （1）同解法一； （2）由 4111， 得4 40 ， 即 11 1 4 ， 7 分 由 ,0 ， 所以 11159 12 444444 9 分 当且仅当 33 , 42 时取最小值 9 4 . 10 分
