1、第 1页（共 20页） 2020 年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合1A ，2，3，4， | 13Bxx ，则(AB ) A1B(1，2C1，2，3D1，2，3，4 2 （5 分）复数 1 ( i zi i 是虚数单位）在复平面内对应的点在() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3 （5 分）设 1 3 2a ，
2、2 3 1 ( ) 4 b ， 2 1 log 2 c ，则() AabcBacbCbacDbca 4 （5 分）设、是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，且l，m，则( ) A若/ /，则/ /lmB若/ /m，则/ /C若m，则 D若，则lm 5 （5 分） “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝， “火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火 纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正方 形内随机投掷 2000 个点， 已知恰有 800 个点落在阴影部分， 据此可估计阴影部分的面积是( ) A 16 5 B 18 5 C10D 32 5 6 （5 分）若变
3、量x，y满足约束条件 0 0 34 0 xy xy xy ，则2yx的最小值是() A1B6C10D15 7 （5 分）已知函数( )yf x的图象由函数( )cosg xx的图象经如下变换得到：先将( )g x的 第 2页（共 20页） 图象向右平移 6 个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函 数( )yf x的对称轴方程为() A 212 k x ，kZB 26 k x ，kZ C 12 xk ，kZD 6 xk ，kZ 8 （5 分）直线340xym与圆 22 2410xyxy 相切，则(m ) A5或 15B5 或15C21或 1D1或 21 9 （5 分）已
4、知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 5 ，直线2100xy过椭圆的左顶 点，则椭圆方程为() A 22 1 54 xy B 22 1 259 xy C 22 1 169 xy D 22 1 2516 xy 10（5 分） 已知三棱锥PABC的四个顶点均在球面上，PB 平面ABC2 3PB ，ABC 为直角三角形，ABBC，且1AB ，2BC 则球的表面积为() A5B10C17D 17 17 6 11 （5 分）关于函数( )sin |cos|f xxx有下述四个结论： ( )f x是偶函数 ( )f x在区间( 2 ，)单调递减 ( )f x最大值为2 当( 4
5、x ，) 4 时，( )0f x 恒成立 其中正确结论的编号是() ABCD 12 （5 分）已知关于x的方程为 22 22 (3)2 3(3) x x x ex ee ，则其实根的个数为() A2B3C4D5 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知0a ，0b ，24ab，则 3 ab 的最小值为 第 3页（共 20页） 14 （5 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S，且 6 3 3 38 S S ，则 6 54 2a aa 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab
6、的实轴长为 8，右焦点为F，M是双曲线 C的一条渐近线上的点，且OMMF，O为坐标原点，若6 OMF S，则双曲线C的离心 率为 16（5 分） 在ABC中， 角A，B，C所对应的边分别为a，b，c， 且2cos( 2cos)AaC， 2c ，D为AC上一点，:1:3AD DC ，则ABC面积最大时，BD 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作
7、答（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知等差数列 n a为递增数列，且满足 1 2a ， 222 345 aaa （）求数列 n a的通项公式； （）令 1 1 (*) (1)(1) n nn bnN aa ， n S为数列 n b的前n项和，求 n S 18 （12 分）如图（1）在等腰直角三角形ABC中，90ACB，4AB ，点D为AB中 点，将ADC沿DC折叠得到三棱锥 1 ABCD，如图（2） ，其中 1 60A DB，点M，N， G分别为 1 AC，BC， 1 A B的中点 （）求证：MN 平面DCG； （）求三棱锥 1 GADC的体积 19 （12 分） 2017 年
8、 3 月郑州市被国务院确定为全国 46 个生活垃圾分类处理试点城市之一， 此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿， 第 4页（共 20页） 最终形成郑州市城市生活垃圾分类管理办法 （以下简称办法) 办法已于 2019 年 9 月 26 日被郑州市人民政府第 35 次常务会议审议通过，并于 2019 年 12 月 1 日开始施 行 办法中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾 4 类为 了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况， 某中学设计了一份调查问卷， 500 名学生参加测试， 从中随机抽 取了 100 名学生问卷，记录他们的分数，将数
9、据分成 7 组：20，30)，30，40)，80， 90，并 整理得到如图频率分布直方图： （）从总体的 500 名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于 60 的概率； （）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间40，50)内的学生 人数； （）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践” 活动，以增强学生的环保意识首次活动从样本中问卷成绩低于 40 分的学生中随机抽取 2 人参加，已知样本中分数小于 40 的 5 名学生中，男生 3 人，女生 2 人，求抽取的 2 人中男 女同学各 1 人的概率是多少？ 20 （12 分）设曲线 2
10、:2(0)C xpy p上一点( ,2)M m到焦点的距离为 3 （）求曲线C方程； （）设P，Q为曲线C上不同于原点O的任意两点，且满足以线段PQ为直径的圆过原点 O，试问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )f xaxxln x （）若( )f x在点(1，f（1）)处的切线与直线21yx平行，求( )f x在点(1，f（1） )的切线方程； 第 5页（共 20页） （）若函数( )f x在定义域内有两个极值点 1 x， 2 x，求证： 12 ()()223f xf xln （二）选考题：共（二）选考题：共 10
11、分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第如果多做，则按所做的第 题记分题记分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点 3 (1, ) 2 P，其参数方程 cos ( 3sin xa y 为参数） ，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线E的极坐标方程； （2）若直线l交E于点A，B，且OAOB，求证： 22 11 |OAOB 为定值，并求出这个定 值 选修选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 23已知函数( ) |1|21|f xxxm （）求
12、不等式( )f xm 的解集； （）若恰好存在 4 个不同的整数n，使得( ) 0f n ，求m的取值范围 第 6页（共 20页） 2020 年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合1A ，2，3，4， | 13Bxx ，则(AB ) A1B(1，2C1，2，3D1，2，3，4 【解答】解：1A ，2，3，4， | 13Bxx
13、， 1AB ，2 故选：B 2 （5 分）复数 1 ( i zi i 是虚数单位）在复平面内对应的点在() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【解答】解：复数 1(1) 1 iii zi ii i 在复平面内对应的点(1, 1)位于第四象限 故选：D 3 （5 分）设 1 3 2a ， 2 3 1 ( ) 4 b ， 2 1 log 2 c ，则() AabcBacbCbacDbca 【解答】解： 1 0 3 221a ， 2 0 3 11 0( )( )1 44 b， 22 1 loglog 10 2 c ， abc 故选：A 4 （5 分）设、是两个不同的平面，l、m是两条不同的直
14、线，且l，m，则( ) A若/ /，则/ /lmB若/ /m，则/ /C若m，则 D若，则lm 【解答】若/ /，则直线l与m平行或异面，故A错误 若/ /m，则平面与平行或相交，故B错误 若m，m，平面经过平面a的垂线m，由线面垂直的判定定理，得，故C 正确 若，则l与m平行或异面，或相交，故D错误 故选：C 第 7页（共 20页） 5 （5 分） “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝， “火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火 纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正方 形内随机投掷 2000 个点， 已知恰有 800 个点落在阴影部分， 据此可估计阴影
15、部分的面积是( ) A 16 5 B 18 5 C10D 32 5 【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为 9， 向正方形内随机投掷 2000 个点，已知恰有 800 个点落在阴影部分内， 则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率 8002 20005 P ； 而 9 s P ，则 2 95 s ， 解可得， 18 5 S ； 故选：B 6 （5 分）若变量x，y满足约束条件 0 0 34 0 xy xy xy ，则2yx的最小值是() A1B6C10D15 【解答】解：令2zyx，得2yxz， 作出变量x，y满足约束条件 0 0 34 0 xy xy xy 对应的
16、可行域， 平移直线2yxz， 由平移可知当直线2yxz经过点A时， 直线2yxz的截距最小，此时z取得最值， 由 0 340 xy xy ，解得(2, 2)A， 第 8页（共 20页） 将(2, 2)代入2zyx，得2226z ， 即2zyx的最小值为6 故选：B 7 （5 分）已知函数( )yf x的图象由函数( )cosg xx的图象经如下变换得到：先将( )g x的 图象向右平移 6 个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函 数( )yf x的对称轴方程为() A 212 k x ，kZB 26 k x ，kZ C 12 xk ，kZD 6 xk ，kZ 【解答】
17、解：已知函数( )f x的图象是由函数( )cosg xx的图象经过如下变换得到： 先将( )g x的图象向右平移 6 个单位长度，可得cos() 6 yx 的图象， 再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半， 纵坐标不变， 可得函数( )cos(2) 6 f xx 的 图象， 令2 6 xk ，可得( )f x的图象的对称轴方程为 212 k x ，kZ， 故选：A 8 （5 分）直线340xym与圆 22 2410xyxy 相切，则(m ) A5或 15B5 或15C21或 1D1或 21 【解答】解：圆 22 2410xyxy 的标准方程为 22 (1)(2)4xy， 直线340xym与
18、圆 22 2410xyxy 相切， 由圆心(1, 2)到直线的距离等于半径得 |38| 2 5 m ， 第 9页（共 20页） |5| 10m ， 故5m ，或 15， 故选：A 9 （5 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 5 ，直线2100xy过椭圆的左顶 点，则椭圆方程为() A 22 1 54 xy B 22 1 259 xy C 22 1 169 xy D 22 1 2516 xy 【解答】解：椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 5 ，直线2100xy过椭圆的左顶点， 可得 3 5 c a ，5a ，所以3c ，则4b ，
19、所以椭圆的方程为： 22 1 2516 xy 故选：D 10（5 分） 已知三棱锥PABC的四个顶点均在球面上，PB 平面ABC2 3PB ，ABC 为直角三角形，ABBC，且1AB ，2BC 则球的表面积为() A5B10C17D 17 17 6 【解答】解：由题意如图所示：设底面外接圆的圆心为 O ， 因为三角形ABC是直角三角形，所以 O 为斜边的中点， 则底面外接圆的半径r等于斜边的一半，即 22 125 22 r ， 过 O 做垂直于底面的直线 OO 交三棱锥的中截面与O点， 则O为外接球的球心，且3 2 PB OO ，所以 222 517 3 44 Rr OO ， 球的表面积 2
20、417SR， 故选：C 第 10页（共 20页） 11 （5 分）关于函数( )sin |cos|f xxx有下述四个结论： ( )f x是偶函数 ( )f x在区间( 2 ，)单调递减 ( )f x最大值为2 当( 4 x ，) 4 时，( )0f x 恒成立 其中正确结论的编号是() ABCD 【解答】解：()sin |cos()| sin |cos|( )fxxxxxf x， ( )f x是偶函数 当( 2 x ，)时，sin | sinxx，|cos|cosxx 则( )sin( cos )sincos2sin() 4 f xxxxxx ， 在( 2 ，)上单调递减 当(0x， 2 时
21、，( )sincos2sin() 4 f xxxx ， 此时( )f x最大值 1， 当( 2 x ，时，( )sincos2sin() 4 f xxxx ， 此时( )f x最大值 1， 当(x， 3 2 时，( )sincos2sin() 4 f xxxx ， 此时( )f x最大值1， 当 3 ( 2 x ，2 时，( )sincos2sin() 4 f xxxx ， 此时( )f x最大值1， 所以( )f x最大值为 1 第 11页（共 20页） 当(0x， 4 时，( )sincos2sin()0 4 f xxxx ， 又因为( )f x是偶函数，当( 4 x ，0时，( )0f
22、x ， 所以，当( 4 x ，) 4 时，( )0f x 恒成立， 故正确的是， 故选：D 12 （5 分）已知关于x的方程为 22 22 (3)2 3(3) x x x ex ee ，则其实根的个数为() A2B3C4D5 【解答】解：3x 不是方程 22 22 (3)2 3(3) x x x ex ee 的根， 所以方程可变形为 2 22 233 3 x x ex eexe ， 原问题等价于考查函数 2 y e 与 函数 2 22 33 ( ) 3 x x ex g x exe 的交点个数， 令 2 ( ) 3 x e h x x ， 则 2 22 (23) ( ) (3) x exx h
23、 x x ， 列表可得： x (,3) (3，1)( 1, 3)( 3，3) (3,) ( )h x ( )h x 单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增 函数 2 31 yx ex 在有意义的区间内单调递增， 故( )g x的单调性与函数( )h x的单调性一致， 且( )g x的极值( 1)gg（3） 3 3 1 2 2 e e ， 绘制函数图象如图所示， 观察可得， 2 y e 与函数( )g x恒有 3 个交点， 即方程实数根的个数是 3， 故选：B 第 12页（共 20页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （
24、5 分）已知0a ，0b ，24ab，则 3 ab 的最小值为 3 2 【解答】解：0a ，0b ，24ab， 由基本不等式可得，4 2 2ab ， 2ab，当且仅当2ba即2b ，1a 时取等号 则 3 ab 的最小值为 3 2 故答案为： 3 2 14 （5 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S，且 6 3 3 38 S S ，则 6 54 2a aa 1 3 【解答】解：等比数列 n a中， 6 3 3 38 S S ， 显然1q ， 6 31 1 (1)9 (1) 18 aq aq q ， 3 9 1 8 q， 1 2 q ， 则 52 61 43 541 1 2221 2 3
25、 ()13 2 aa qq aaa qqq 第 13页（共 20页） 故答案为： 1 3 故选：A 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的实轴长为 8，右焦点为F，M是双曲线 C的一条渐近线上的点，且OMMF，O为坐标原点，若6 OMF S，则双曲线C的离心 率为 5 4 【解答】解：由题意可得4a ，双曲线的一条渐近线方程为0bxay，( ,0)F c， 可得 22 | | bc MFb ba ， 在直角三角形OMF中，可得 2222 |OMOFMFcba， 则OMF的面积为 1 26 2 abb，可得3b ， 22 5cab， 则 5 4 c e a
26、 故答案为： 5 4 16（5 分） 在ABC中， 角A，B，C所对应的边分别为a，b，c， 且2cos( 2cos)AaC， 2c ，D为AC上一点，:1:3AD DC ，则ABC面积最大时，BD 6 2 【解答】解：2cos( 2cos)AaC，2c ， cos2coscAaaC， 由正弦定理可得sincossincos2sinCAACA， sin()sin2sinACBA， 2ba， 由 22 2 aa p ， 22 2 aa pa ， 22 2 aa pc ， 22 2 aa pb ， 由三角形的海伦面积公式可得 22222222 ()()() 2222 ABC aaaaaaaa Sp
27、 papbpc 22222222242 1111 (2)22(2) 4(4)4(4)16(4)2416 4444 aaaaaaaaaaaa 第 14页（共 20页） 22 1 (12)128 4 a， 当 2 12a ，即2 3a 时，2 6b ，ABC的面积取得最大值， D为AC上一点，:1:3AD DC ， 6 2 AD， 由余弦定理可得 2 222 6 4 24412 4 cos 222 626 22 2 BD bca A bc ， 解得 6 2 BD 故答案为： 6 2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
28、骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知等差数列 n a为递增数列，且满足 1 2a ， 222 345 aaa （）求数列 n a的通项公式； （）令 1 1 (*) (1)(1) n nn bnN aa ， n S为数列 n b的前n项和，求 n S 【解答】解： （）等差数列 n a为递增数列，可得公差0d ， 由 1 2a ， 222 345 aaa，可得 222 (22 )(23 )(24 )dd
29、d， 解得 2 2( 3 d 舍去） ， 则22(1)2 n ann； （） 1 11111 () (1)(1)(21)(21)2 2121 n nn b aannnn ， 第 15页（共 20页） 11111111 (1)(1) 2335212122121 n n S nnnn 18 （12 分）如图（1）在等腰直角三角形ABC中，90ACB，4AB ，点D为AB中 点，将ADC沿DC折叠得到三棱锥 1 ABCD，如图（2） ，其中 1 60A DB，点M，N， G分别为 1 AC，BC， 1 A B的中点 （）求证：MN 平面DCG； （）求三棱锥 1 GADC的体积 【解答】解： （）由
30、题意知，在图（1）中，2 2ACBC，2ADBDCD， 在三棱锥 1 ABCD中， 1 ADBD， 1 ACBC， G是 1 A B的中点， 1 DGA B， 1 CGAB， DGCGG ， 1 A B平面DGC， 点M，N，分别为 1 AC，BC的中点 1 / /MNAB， MN平面DCG （）解：由图（1）知 1 CDA D，CDBD， 1 ADBDD ， CD平面 1 A DG， 又 1 60A DB， 1 ADB是等边三角形， 1 DGA B， 1 2AB ， 11 1 1 2 AGAB，3DG ， 1 1 113 13 222 A DG SAGDG ， 三棱锥 1 GADC的体积：
31、第 16页（共 20页） 111 1133 2 3323 GA DCCA DGA DG VVSCD 19 （12 分） 2017 年 3 月郑州市被国务院确定为全国 46 个生活垃圾分类处理试点城市之一， 此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿， 最终形成郑州市城市生活垃圾分类管理办法 （以下简称办法) 办法已于 2019 年 9 月 26 日被郑州市人民政府第 35 次常务会议审议通过，并于 2019 年 12 月 1 日开始施 行 办法中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾 4 类为 了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况， 某中
32、学设计了一份调查问卷， 500 名学生参加测试， 从中随机抽 取了 100 名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20，30)，30，40)，80， 90，并 整理得到如图频率分布直方图： （）从总体的 500 名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于 60 的概率； （）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间40，50)内的学生 人数； （）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践” 活动，以增强学生的环保意识首次活动从样本中问卷成绩低于 40 分的学生中随机抽取 2 人参加，已知样本中分数小于 40 的 5 名学生中，男生
33、 3 人，女生 2 人，求抽取的 2 人中男 女同学各 1 人的概率是多少？ 第 17页（共 20页） 【解答】解： （）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于 60 的频率为： (0.020.040.02) 100.8， 所以样本中分数高于 60 的概率为 0.8 故从总体的 500 名学生中随机抽取一人，其分数高于 60 的概率估计为 0.8 （）根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为： (0.010.020.040.02) 100.9， 分数在区间40，50)内的人数为1001000.955， 所以总体中分数在区间40，50)内的人数估计为 5 50025 100 ， （）设 3 名
34、男生分别为A，B，C，2 名女生分别为 1，2，则从这 5 名同学中选取 2 人 的结果为： A，B，A，C，A，1，A，2， B，C，B，1，B，2，C，1，C，2，1，2 共 10 种情况 其中 2 人中男女同学各 1 人包含结果为：A，1，A，2，B，1，B，2，C，1， C，2，共 6 种， 设事件A 抽取的 2 人中男女同学各 1 人，则P（A） 63 105 ， 所以，抽取的 2 人中男女同学各 1 人的概率是 3 5 20 （12 分）设曲线 2 :2(0)C xpy p上一点( ,2)M m到焦点的距离为 3 （）求曲线C方程； （）设P，Q为曲线C上不同于原点O的任意两点，且
35、满足以线段PQ为直径的圆过原点 O，试问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由 第 18页（共 20页） 【解答】解： （1）曲线 2 :2(0)C xpy p上一点( ,2)M m到焦点的距离为 3 由抛物线定义得23 2 p ，解得2p ， 曲线C方程为 2 4xy （2）以PQ为直径的圆过原点O，OPOQ， 设直线OP的方程为ykx，(0)k ，与曲线C方程 2 4xy联立，得 2 4xkx， 解得0x （舍)或4xk， 2 (4 ,4)Pkk， 又直线OQ的方程为 1 yx k ，同理 4 (Q k ， 2 4 ) k ， 又直线PQ斜率存在， PQ的直
36、线方程为 2 2 2 44 44 44 ykxk kk kk ， 1 ()4ykx k ， 直线PQ恒过定点(0,4) 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )f xaxxln x （）若( )f x在点(1，f（1）)处的切线与直线21yx平行，求( )f x在点(1，f（1） )的切线方程； （）若函数( )f x在定义域内有两个极值点 1 x， 2 x，求证： 12 ()()223f xf xln 【解答】解： （1） 2 1 ( )f xaxxln x ， 1 ( )21fxax x ， 由题意可得，kf（1）2a， 因为( )f x在点(1，f（1）)处的切线与直线21yx平行，
37、22a即1a ， f（1）0，故切点(1,0)，切线方程22yx， （2） 2 121 ( )2 axx fxax xx ， 2 210axx 在(0,)上有两个不等的实数根 1 x， 2 x， 第 19页（共 20页） 12 12 180 1 0 2 1 0 2 a xx a x x a 1 0 8 a， 又 2 2 1221212 1 ()()()f xf xaxaxxxlnxlnx， 2 12121212 ()2()a xxx xxxlnx x， 11 1 24 ln aa 令 1 2 t a ， 1 ( )1 2 g tlntt，4t ， 则 112 ( )0 22 t g t tt
38、， ( )g t在(4,)上单调递减，( )g tg（4）43223lnln， 即 12 ()()223f xf xln （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第如果多做，则按所做的第 题记分题记分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点 3 (1, ) 2 P，其参数方程 cos ( 3sin xa y 为参数） ，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线E的极坐标方程； （2）若直线l交E于点A，B，
39、且OAOB，求证： 22 11 |OAOB 为定值，并求出这个定 值 【解答】解：() I将点 3 (1, ) 2 P代入曲线E的方程， 得 1cos , 3 3sin, 2 a 解得 2 4a ， 所以曲线E的普通方程为 22 1 43 xy ， 极坐标方程为 222 11 ( cossin)1 43 第 20页（共 20页） （）不妨设点A，B的极坐标分别为 1212 (, ), (,),0,0 2 AB ， 则 2222 11 2222 22 11 (cossin)1, 43 11 (cos ()sin ()1, 4232 即 22 2 1 22 2 2 111 cossin, 43 1
40、11 sincos, 43 22 12 11117 4312 ，即 22 117 |12OAOB 选修选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 23已知函数( ) |1|21|f xxxm （）求不等式( )f xm 的解集； （）若恰好存在 4 个不同的整数n，使得( ) 0f n ，求m的取值范围 【解答】解析：() I由( )f xm ，得， 不等式两边同时平方，得 22 (1)(21)xx ， 即3 (2) 0x x ，解得20x 所以不等式( )f xm 的解集为 | 20xx （）设( ) |1|21|g xxx， 1 2, 2 1 ( )3 ,1 2 2,1 xx g xxx xx ， ( ) 0( )f ng nm 因为( 2)(0)0gg，( 3)1g ，( 4)2g ，g（1）3 ， 又恰好存在 4 个不同的整数n，使得( ) 0f n ， 所以21m ， 故m的取值范围为1，2)
